2.5. Geraden und Ebenen

Schnittpunkt zweier Geraden
Sind zwei Geraden
G = a + Ru und H = b + Rv
mit verschiedenen Ortsvektoren a und b gegeben, so muss man zur Bestimmung des Schnittpunkts
(sofern er überhaupt existiert) das folgende lineare Gleichungssystem nach r und s auflösen:
a + ru = b + sv (+).
Das gelingt allgemein durch Normieren von u und v , d.h.durch Ersetzen von u durch u* und v
durch v*, wonach man
|u| =1 und |v|=1
annehmen kann. Jetzt ergibt Multiplikation der vektoriellen Gleichung (+) mit u bzw. v das lineare
Gleichungssystem
au + r = bu + svu
bv + s = av + ruv
woraus man leicht r und s bestimmen kann.
Im Falle uv = 0, d.h. bei aufeinander senkrecht stehenden Richtungsvektoren, ergibt sich die
besonders einfache Lösung
r = (b - a)u
s = (a - b)v
Die Winkelhalbierenden
zweier von Null verschiedener Vektoren u,v (oder der durch sie verlaufenden Geraden) bestimmt
man ebenfalls durch Normierung: Danach haben beide Vektoren die gleiche Länge (nämlich 1),
und die Diagonalen des von ihnen aufgespannten Parallelogramms sind die Winkelhalbierenden:
w(u,v) = (u* + v*)
h(u,v) = (u* - v*) .
Sie stehen aufeinander senkrecht, da
w(u,v) h(u,v) = (u* + v*)(u* - v*) = u*u* - v*v* = 1 − 1 = 0.
Für zwei Geraden
G = a + Ru und H = a + Rv
mit Schnittpunkt a ist eine Winkelhalbierende gegeben durch
W = a + R(u* + v*) ,
die andere (dazu senkrechte) durch
H = a + R(u* - v*) .