2.5. Geraden und Ebenen

2.5. Geraden und Ebenen
Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen
gewinnt man, indem man einen Ortsvektor (mit Spitze auf der Geraden oder Ebene) und einen
bzw. zwei Richtungsvektoren wählt, welche die in den Nullpunkt verschobene Gerade oder Ebene
aufspannen:
Gerade: G = a + Ru := {a + ru : r = −∞ .. ∞}
Ebene: E = a + Ru + Rv := {a + ru + sv : r, s = −∞ .. ∞}
Zwei Geraden
mit gleichem Ortsvektor a
G = a + Ru und H = a + Rv
haben als Schnittpunkt natürlich die Spitze dieses Ortsvektors ...
und spannen die folgende Ebene auf:
E = a + Ru + Rv .

Schnittpunkt zweier Geraden
Sind zwei Geraden
G = a + Ru und H = b + Rv
mit verschiedenen Ortsvektoren a und b gegeben, so muss man zur Bestimmung des Schnittpunkts
(sofern er überhaupt existiert) das folgende lineare Gleichungssystem nach r und s auflösen:
a + ru = b + sv (+).
Das gelingt allgemein durch Normieren von u und v , d.h.durch Ersetzen von u durch u* und v
durch v*, wonach man
|u| =1 und |v|=1
annehmen kann. Jetzt ergibt Multiplikation der vektoriellen Gleichung (+) mit u bzw. v das lineare
Gleichungssystem
au + r = bu + svu
bv + s = av + ruv
woraus man leicht r und s bestimmen kann.
Im Falle uv = 0, d.h. bei aufeinander senkrecht stehenden Richtungsvektoren, ergibt sich die
besonders einfache Lösung
r = (b - a)u
s = (a - b)v
Die Winkelhalbierenden
zweier von Null verschiedener Vektoren u,v (oder der durch sie verlaufenden Geraden) bestimmt
man ebenfalls durch Normierung: Danach haben beide Vektoren die gleiche Länge (nämlich 1),
und die Diagonalen des von ihnen aufgespannten Parallelogramms sind die Winkelhalbierenden:
w(u,v) = (u* + v*)
h(u,v) = (u* - v*) .
Sie stehen aufeinander senkrecht, da
w(u,v) h(u,v) = (u* + v*)(u* - v*) = u*u* - v*v* = 1 − 1 = 0.
Für zwei Geraden
G = a + Ru und H = a + Rv
mit Schnittpunkt a ist eine Winkelhalbierende gegeben durch
W = a + R(u* + v*) ,
die andere (dazu senkrechte) durch
H = a + R(u* - v*) .

Beispiel 1: Winkelhalbierende in einem Dreieck
Die durch den Ursprung 0 = (0,0,0) verlaufenden Seiten des Dreiecks mit den beiden weiteren
Ecken
u = (1,-2,2) und v = (0,1,1)
haben die von folgenden Vektoren erzeugten Winkelhalbierenden:
⎛ 1 2 2 ⎞ ⎛
w(u,v) = (u*+ v*) = ⎜ , − , ⎟ + ⎜
2 2 ⎞ ⎛
⎜0,
, ⎟ = ⎜
1 2 2 2
⎜ , − + , +
⎝ 3 3 3 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 3 3 2 3
⎛ 1 2 2 ⎞ ⎛
h(u,v) = (u* - v*) = ⎜ , − , ⎟ − ⎜
2 2 ⎞ ⎛
⎜0,
, ⎟ = ⎜
1 2 2 2
⎜ , − − , −
⎝ 3 3 3 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 3 3 2 3
Gleichungsdarstellung von Ebenen
2 ⎞
⎟
2 ⎠
2 ⎞
⎟
2 ⎠
Ebenen kann man auch mittels einer Gleichung definieren, indem man einen auf der Ebene
senkrecht stehenden Vektor n wählt (z.B. in der Parameterdarstellung a + Ru +Rv das
Vektorprodukt uxv) und dann die in der Ebene liegenden Punkte bzw. deren Orstvektoren
Vektoren x durch eine der Gleichungen
kennzeichnet.
n(x a) = 0 oder
nx = na oder
nx = c (mit c = na)

Geraden in der Ebene
Eine Gerade mit der zweidimensionalen Parameterdarstellung
G = a + Ru = ( a1, a2 )+ R( u1, u2 )
lässt sich durch eine entsprechende Gleichung beschreiben, indem man für n einen auf u = ( u1, u2 )
senkrecht stehenden Vektor nimmt, z. B.
n = (−u2 , u1 ) oder -n = (u2 , −u1 ) .
Geraden im Raum
lassen sich nicht durch eine einzige Koordinaten-Gleichung charakterisieren. Man braucht hier
entweder eine vektorielle Gleichung
ux(x a) = 0
die besagt, daß die Vektoren zwischen zwei Punkten der Geraden stets ein Vielfaches des
Richtungsvektors sind. Oder man beschreibt die Gerade durch zwei Koordinatengleichungen, was
geometrisch der Tatsache entspricht, daß eine Gerade (auf viele verschiedene Weisen) als
Schnittmenge zweier Ebenen darstellbar ist:
Die Gerade
G = a + Ru
ist der Durchschnitt der Ebenen
E = a + Ru + Rv und F = a + Ru + Rw,
sofern nicht E mit F übereinstimmt.

Schnittmenge zweier Ebenen
Will man sie durch Lösen von Gleichungen bestimmen, so empfiehlt es sich, eine der beiden
Ebenen in Parameterform und die andere durch eine Gleichung darzustellen. Dann kann man
nämlich die Parameterdarstellung in die Gleichung einsetzen:
E = { a + ru + sv : r, s = - ∞ .. ∞ }
F = { x : nx = c }
Die Schnittmenge besteht aus den Lösungen
x = a + ru + sv
der Gleichung
n(a + ru + sv) = c ,
d. h. falls nu nicht 0 ist,
r = (c - na - snv)/nu ,
x = a + ((c - na)/nu)u + s(v - (nv/nu)u) ,
bzw. falls nv nicht 0 ist,
s = (c - na - rnu)/nv ,
x = a + ((c - na)/nv)v + r(u - (nu/nv)v).
Diese Formeln braucht man sich nicht zu merken, nur den Lösungsweg dorthin.
Gilt sowohl nu = 0 als auch nv = 0, so sind die Ebenen parallel. (Warum?)
Ist dann auch noch na = c , so sind die Ebenen sogar gleich, andernfalls ist ihr Schnitt leer.

Beispiel 2: Schnitt der Koordinatenebenen mit der Diagonalebene
x1 + x2 + x3 = 1.
Erste Koordinatenebene, senkrecht zur x 1 -Achse:
r ( 0, 1, 0) + s ( 0, 0, 1 ) = ( 0, r, s).
Schnitt ergibt
r + s = 1 bzw. s = 1 − r,
also die Gerade
G = { ( 0, r , 1 − r), r = −∞ .. ∞ } = ( 0, 0, 1 ) + R ( 0, 1, −1 ) .
Entsprechend rechnet man für die anderen Koordinatenebenen.
Schnittgeraden
Falls die Schnittmenge zweier Ebenen eine Gerade ist, genügt es, einen einzigen Schnittpunkt b zu
kennen. Die Schnittgerade ist dann
G = b + Rw,
wobei man
w = (nu)v (nv)u = (uxv)xn
nehmen kann. Denn für dieses w gilt
nw = (nu)(nv) (nv)(nu) = 0 und (uxv)w = 0,
d.h. w steht senkrecht auf n und uxv ; mit anderen Worten, w liegt sowohl in der Ebene
Ru + Rv
als auch in der Ebene
nx = 0.
Ein von 0 verschiedenes Vielfaches von w tut es natürlich auch.

Parallelentest
Wie prüft man, ob zwei in Parameterform gegebene Ebenen
E = a + Ru + Rv und F = b + Rw + Rz
parallel sind? Man bildet die Normalenvektoren
n = uxv , p = wxz
und testet, ob diese linear abhängig sind:
nxp = 0 ,
oder alternativ, ob einer davon senkrecht auf den beiden anderen Richtungsvektoren steht:
nw = nz = 0 .
Der zweite Test ist rechnerisch meist der bequemere, weil man nur ein Kreuzprodukt zu bilden
hat.
Beachten Sie, daß es viele verschiedene Parameterdarstellungen bzw. Gleichungsdefinitionen für
ein und dieselbe Gerade bzw. Ebene gibt. Unter allen Gleichungen, die eine Ebene bestimmen, gibt
es allerdings eine besonders nützliche, die
Hessesche Normalform
nx = d ,
wobei n ein (auf der Ebene senkrechter) Einheitsvektor (also |n|=1) und 0 ≤ d ist.
In dieser Form beschreibt d den Abstand der Ebene vom Ursprung.
Bei einer solchen Darstellung sind n und d eindeutig bestimmt!

Hat man eine Ebenengleichung
d.h.
nx = c,
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = c ,
in der n = ( n1, n2, n3 ) noch kein Einheitsvektor ist, dividiert man beide Seiten durch die Länge von
n und erhält im Falle 0 ≤ c die Normalform
n*x = nx/|n| = d
bzw. in Koordinatenschreibweise:
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 2
n1 2
n2 + +
2
n3 =
2
n1 c
2
n2 + +
2
n3 = d .
Im Falle c < 0 muss man noch auf beiden Seiten das Vorzeichen ändern, um 0 ≤ d zu erreichen.
Umformung von Parameterdarstellung in Normalform
Ist eine Ebene in Parameterdarstellung gegeben, etwa
E = a + Ru + Rv,
so bekommt man Normalenvektoren
n = (uxv)* oder n = (vxu)*
(entgegengesetzte Richtungen!) und wählt denjenigen aus, für den
d = na > 0
gilt. Dann ist die Hessesche Normalform der Ebene E:
nx = d.
Zur Erinnerung:
Der Flächeninhalt
des von u = ( u1, u2, u3 ) und v = ( v1, v2, v3 ) aufgespannten Parallelogramms ist
2
u x v = ( u2 v3 − u3 v2 ) + ( u3 v1 − u1 v3 ) + ( u1 v2 − u2 v1 )
und ein Normalenvektor der Länge d auf dieser Fläche ist gegeben durch
nd ( u, v )
⎡ d ( u ⎤
= ⎢ 2 v3 − u3 v2 ) d ( u3 v1 − u1 v3 ) d ( u1 v2 − u2 v1 )
⎢
, ,
⎥
⎣ u x v
u x v
u x v
⎦
2
2

Umformung einer Ebenengleichung nx = c in eine Parameterdarstellung
Man bestimmt eine spezielle Lösung
a = ( a1, a2, a3 ) von nx = c (also na = c) ,
indem man eine von 0 verschiedene Koordinate n i des Normalenvektors
n = ( n1, n2, n3 )
wählt und
a i
=
c
n i
sowie aj =
a k = 0
für die anderen beiden Koordinaten setzt. Nun ergänzt man n zu einer
Orthogonalbasis (n,u,v)
Sie besteht aus drei paarweise senkrechten Vektoren. Dazu wählt man beispielsweise einen
beliebigen Vektor b, der kein Vielfaches von n ist, und bildet die Vektorprodukte
u = nxb, v = nxu .
Dann ist
x = a + Ru + Rv
eine Parameterdarstellung der durch die Gleichung nx = d beschriebenen Ebene.
Man kann natürlich im Einzelfall auch die Gleichung
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = c
explizit lösen, indem man eine Unbekannte x i , für die der Faktor n i nicht Null ist, isoliert, etwa
x 1 =
c − n2 x2 − n3 x3 n 1
,
und die Lösungsmenge, also die gesuchte Ebene, in folgender Parameterdarstellung mit r = x2 und
s = x3 bekommt:

⎛ c ⎞ ⎛ n
( x1, x2, x3 ) = ⎜ , 0, 0 ⎟ + r ⎜ 2 ⎞ ⎛ n
⎟ +
⎝ n
⎜ − , 1, 0⎟ s ⎜ 3 ⎞
1 ⎠ ⎝ n
⎜−
, 0, 1 ⎟ .
1 ⎠ ⎝ n1 ⎠
Das geht in der Praxis meist schneller, liefert aber im Allgemeinen keine Orthogonalbasis.
Beispiel 3: Parameterdarstellung der Diagonalebene
E = {( x1, x2, x3 ) : x1 + x2 + x3 = 1}.
Ortsvektor:
a = ( 1, 0, 0).
Normalenvektor:
n = ( 1, 1, 1).
Ergänzung zu einer Orthogonalbasis mittels b = ( 1, 0, 0):
u = nxb = ( 0, 1, −1),
v = nxu = ( −2, 1, 1).
Eine von vielen Parameterdarstellungen:
a + Ru + Rv
= { ( 1, 0, 0) + r ( 0, 1, −1) + s ( −2, 1, 1 ) , r = −∞ .. ∞ , s = −∞ .. ∞}.