Licht und geometrische Optik
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Physik II für Nebenfächler - SS 02<br />
Kapitel 25<br />
Ian C. Brock<br />
27. August 2002 – 11 : 50<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
25 <strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> 1<br />
25.1 Die <strong>Licht</strong>geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
25.2 Das Huygensche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
25.3 Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
25.4 Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
25.5 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
25.6 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
25.7 Geometrische <strong>Optik</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
25.8 Durch Brechung erzeugte Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
25.9 Dünne Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
25.10Bildkonstruktion bei Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
25.11Optische Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
25.11.1 Das Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
25.11.2 Die Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
25.11.3 Das Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
25.11.4 Das Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
25 <strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong><br />
In diesem Kapitel werde ich über die allgemeinen Eigenschaften von <strong>Licht</strong> <strong>und</strong> von der<br />
<strong>geometrische</strong>n <strong>Optik</strong> reden. Im nächsten Kapitel beschäftige ich mich mit Interferenz <strong>und</strong><br />
Beugung. Da die Zeit sehr knapp ist, kann ich eigentlich nur versuchen, Ihnen einen Einblick<br />
in die wichtigsten Themen zu geben. Ich werde versuchen die Gr<strong>und</strong>ideen zu erklären.<br />
Wenn Sie mehr über Anwendungen, wie z.B. optische Instrumente oder die Vielzahl von<br />
Interferenzeffekte wissen wollen, müssen Sie es in den Büchern nachlesen.<br />
Ist <strong>Licht</strong> ein Teilchen oder eine Welle? Mit dieser Frage beschäftigt man sich seit Jahrh<strong>und</strong>erten.<br />
Gegen Ende des 17. Jahrh<strong>und</strong>erts gab es einen erbitterten Streit darüber. Isaac<br />
Lecture 31, 10/07/2002
2<br />
Newton favorisierte eine Teilchenbeschreibung, weil er damit die geradlinige Ausbreitung<br />
des <strong>Licht</strong>s erklären konnte. Er konnte auch die Gesetze der Brechung <strong>und</strong> Reflexion mit ihr<br />
in Einklang bringen. Allerdings musste er annehmen, dass sich das <strong>Licht</strong> im Wasser oder<br />
im Glas schneller als in der Luft ausbreitet; dies stellte sich später als falsch heraus.<br />
Die Hauptbefürworter der Wellentheorie des <strong>Licht</strong>s waren Christian Huygens <strong>und</strong> Robert<br />
Hooke. Huygens konnte die Reflexion <strong>und</strong> Brechung erklären. Dabei nahm er an, dass<br />
sich <strong>Licht</strong> in transparenten Medien wie Wasser oder Glas deutlich langsamer als in Luft<br />
ausbreitet.<br />
Zu der Zeit waren Beugungseffekte, also die Ablenkung eines <strong>Licht</strong>strahls an einem Hindernis,<br />
noch nicht beobachtet worden. Newtons großes Ansehen führte dazu, dass seine<br />
Ablehnung der Wellentheorie des <strong>Licht</strong>s von vielen Wissenschaftlern übernommen wurde.<br />
Newtons Teilchentheorie des <strong>Licht</strong>s wurde über 100 Jahre lang akzeptiert, bis im Jahr 1801<br />
Thomas Young die Interferenz als Wellenphänomen erklärte. Solche Effekte treten sowohl<br />
bei akustischen als auch bei <strong>Licht</strong>wellen auf. Es dauerte aber mehr als ein Jahrzehnt bis<br />
Youngs Ideen sich durchsetzen konnte. Einen wesentlichen Beitrag dazu lieferte Augustin<br />
Fresnel, der umfassende Experimente zur Interferenz <strong>und</strong> zur Beugung durchführte <strong>und</strong><br />
dabei eine mathematische Formulierung der Wellentheorie erarbeitete. Er zeigte, dass die<br />
beobachtete geradlinige <strong>Licht</strong>ausbreitung auf den sehr kurzen Wellenlängen des sichtbaren<br />
<strong>Licht</strong>s beruht. Im Jahre 1850 wies Jean Foucault experimentell nach, dass die <strong>Licht</strong>geschwindigkeit<br />
in Wasser kleiner als in Luft ist. Damit war Newtons Teilchentheorie widerlegt.<br />
Im Jahre 1860 veröffentlichte James Maxwell seine Theorie des Elektromagnetismus.<br />
Sie sagte die Existenz elektromagnetischer Wellen voraus, die sich im Vakuum mit<br />
<strong>Licht</strong>geschwindigkeit ausbreiten sollten. Maxwells Theorie wurde im Jahre 1887 durch die<br />
Versuche von Heinrich Hertz bestätigt. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrh<strong>und</strong>erts wurden<br />
die Maxwellsche Gleichungen verwendet, um die Interferenz <strong>und</strong> die Beugung von <strong>Licht</strong><br />
<strong>und</strong> anderen elektromagnetischen Wellen zu erklären. Damit erhielten die empirischen Methoden<br />
von Huygens eine weitere theoretische F<strong>und</strong>ierung.<br />
Es gibt aber Effekte, darunter den photoelektrischen Effekt, die man jedoch nur damit<br />
erklären kann, wenn <strong>Licht</strong> auch ein Teilchencharakter hat. Die <strong>Licht</strong>teilchen werden Photonen<br />
genannt. Die Energie eines Photons hängt mit der Frequenz des <strong>Licht</strong>s zusammen<br />
über:<br />
E = hν<br />
Dabei ist h das Plancksche Wirkungsquantum. Nach 1920 zeigten Experimente, dass Elektronen<br />
(also Teilchen) ebenfalls eine duale Natur besitzen, d.h. sowohl Welleneigenschaften<br />
als auch Teilcheneigenschaften. Diese Erscheinungen werden Wellen-Teilchen-Dualismus<br />
genannt.<br />
In den letzten Jahrzehnten waren die technische Entwicklung in der <strong>Optik</strong> rasant. Die<br />
Welt ohne Laser ist fast <strong>und</strong>enkbar. Ihre Anwendungen reichen von der Beobachtung unbekannter<br />
optischer Effekte bis zum Abtasten von CDs <strong>und</strong> das Lesen von Barcodes im<br />
Supermarkt!<br />
Ich werde mich hier aber ausschließlich mit der Wellennatur des <strong>Licht</strong>s beschäftigen. Wir<br />
messen zuerst die Geschwindigkeit des <strong>Licht</strong>s <strong>und</strong> dann werde ich das Huygensche Prinzip<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 31, 10/07/2002
25.1: Die <strong>Licht</strong>geschwindigkeit 3<br />
vorstellen <strong>und</strong> über Reflexion, Brechung <strong>und</strong> Dispersion reden. Wegen Zeitmangels, kann<br />
ich sehr wenig über Polarisation erzählen.<br />
25.1 Die <strong>Licht</strong>geschwindigkeit<br />
Die erste Abschätzung der <strong>Licht</strong>geschwindigkeit stammte aus astronomischen Messungen,<br />
<strong>und</strong> zwar aus der Umlaufdauer (Periode) des Jupitermondes Io. Ich überlasse es Ihnen<br />
(oder Fragen), wie man aus solchen Messungen die <strong>Licht</strong>geschwindigkeit herleiten kann.<br />
⇒ Transparency Io, Jupiter <strong>und</strong> <strong>Licht</strong>geschwindigkeit (jupiter.jpg)<br />
Wir werden eine Kaffeemühle verwenden! Die Methode misst eine kleine Ablenkung, in der<br />
man einen sehr langen Hebelarm verwendet.<br />
⇒ Experiment 461: Messung der <strong>Licht</strong>geschwindigkeit<br />
1983 beschloss die 17. Generalversammlung für Maße <strong>und</strong> Gewicht, den derzeit genauesten<br />
Wert der <strong>Licht</strong>geschwindigkeit in Vakuum<br />
c = 299 792 458 m s −1<br />
als exakt zu definieren. Auf dieser Basis ist die Einheit Meter neu definiert worden. Für<br />
die meisten praktischen Rechnungen ist der Wert c = 3 × 10 8 m s −1 genau genug. Nicht<br />
nur das <strong>Licht</strong>, sondern alle elektromagnetischen Wellen, wie Radiowellen, Mikrowellen,<br />
Röntgenstrahlung <strong>und</strong> Gammastrahlung breiten sich mit <strong>Licht</strong>geschwindigkeit aus.<br />
Die Maxwellsche Gleichungen sagen auch, dass die <strong>Licht</strong>geschwindigkeit durch:<br />
c = 1 √<br />
ε0 µ 0<br />
gegeben ist. µ 0 hat den exakten Wert 4π ×10 −7 . ε 0 kann man aus Messungen der Kapazität<br />
gewinnen <strong>und</strong> damit auch einen Wert für c bekommen.<br />
25.2 Das Huygensche Prinzip<br />
Betrachten wir einen Ausschnitt aus einer kugelförmigen Wellenfront, die von einer Punktquelle<br />
ausgeht.<br />
⇒ Transparency Kugelförmige Wellenfront (huygen1.jpg)<br />
Eine Fläche, deren Punkte in gleicher Phase schwingen, nennt man Wellenfront. Zur Zeit<br />
t ist der Radius einer Wellenfront r. Dann ist er zur Zeit t + ∆t gleich r + c∆t, wobei<br />
c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Wenn aber ein Teil der Welle auf ein<br />
Hindernis trifft oder durchquert ein anderes Medium, so ist die Bestimmung der Wellenfront<br />
wesentlich komplizierter:<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 31, 10/07/2002
25.3: Reflexion 4<br />
⇒ Transparency Wellenfront vor <strong>und</strong> nach dem Durchgang eines Stück Glas (huygen1.jpg)<br />
Die Ausbreitung der Welle lässt sich aber mit einer <strong>geometrische</strong>n Methode beschreiben.<br />
Sie wurde im Jahre 1678 von Christian Huygens entwickelt <strong>und</strong> wird heute Huygensche<br />
Prinzip genannt:<br />
Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront ist Ausgangspunkt einer<br />
neuen kugelförmigen Elementarwelle, die die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
<strong>und</strong> Frequenz wie die ursprüngliche Wellenfront<br />
hat. Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront<br />
zu einem späteren Zeitpunkt<br />
Mit Anwendung des Huygensche Prinzip können wir die Ausbreitung einer ebenen <strong>und</strong><br />
einer kugelförmigen Welle zeigen:<br />
⇒ Transparency Die Huygensche Konstruktion (huygen3.jpg)<br />
Wie das Prinzip funktioniert, können wir auch experimentell demonstrieren.<br />
⇒ Experiment 493: Wellenwanne<br />
Man sieht, dass die Wellenfront für eine ebene Platte <strong>und</strong> für eine Serie von Punktquellen<br />
in beiden Fällen ein ebene Welle ist.<br />
Da jeder Punkt der Wellenfront Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle ist, gibt es<br />
natürlich auch Wellen, die in die entgegengesetzte Richtung laufen. Huygens selbst ignorierte<br />
diese Wellen. Fresnel modifizierte später das Prinzip: Durch Berücksichtigung ihrer<br />
relativen Intensitäten <strong>und</strong> Phasen kann die neue Wellenfront aus der vorigen durch<br />
Überlagerung der Elementarwellen bestimmt werden. Dieses Prinzip ist eine Konsequenz<br />
der Wellengleichung. Die Intensität der Welle hängt auch von ihrer Phase ab <strong>und</strong> man<br />
kann zeigen, dass die Intensität der rücklaufenden Welle gleich Null ist.<br />
Das Prinzip werden wir jetzt anwenden, um die Gesetze der Reflexion <strong>und</strong> der Brechung<br />
herzuleiten. Im nächsten Kapitel wird es anwendet, um das Beugungsmuster eines Einzelspalts<br />
zu berechnen.<br />
Ich werde häufig den Begriff Strahl im folgenden verwenden. Mit Strahlen sind die Linien<br />
gemeint, die senkrecht auf der Wellenfront stehen <strong>und</strong> in Richtung der Wellenausbreitung<br />
zeigen.<br />
25.3 Reflexion<br />
Treffen Wellen irgendeiner Art auf eine ebene Fläche (etwa einen Spiegel), dann entstehen<br />
neue Wellen, die sich von der Fläche wegbewegen. Dieses Phänomen wird Reflexion<br />
genannt. Sie tritt immer an der Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Medien auf. Betrachten<br />
wir einen <strong>Licht</strong>strahl, der auf eine glatte <strong>Licht</strong>/Glas-Grenzfläche trifft.<br />
⇒ Transparency Reflexionswinkel (reflexion1.fig)<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 31, 10/07/2002
25.3: Reflexion 5<br />
Ein Teil der ankommenden Energie wird reflektiert <strong>und</strong> ein Teil tritt in das Glas ein, wird<br />
also transmittiert. Der Winkel θ 1 zwischen dem einfallenden Strahl <strong>und</strong> der Normalen heißt<br />
Einfallswinkel. Die durch den einfallenden Strahl <strong>und</strong> die Normale definierte Ebene heißt<br />
Einfallsebene. Der reflektierte Strahl liegt auch in der Einfallsebene <strong>und</strong> bildet mit der<br />
Flächennormalen den Reflexionswinkel θ r , der gleich dem Einfallswinkel ist:<br />
θ r = θ 1<br />
Dieses Reflexionsgesetz gilt für alle Arten von Wellen. Der Anteil der Energie der reflektiert<br />
wird, ist eine kompliziere Funktion vom Einfallswinkel, von der Orientierung des elektrischen<br />
Feldes der Welle <strong>und</strong> von der <strong>Licht</strong>geschwindigkeit im Medium. Die <strong>Licht</strong>geschwindigkeit<br />
in einem Medium wird durch seine Brechzahl charakterisiert. Dies ist definiert als<br />
Verhältnis der <strong>Licht</strong>geschwindigkeit in Vakuum (c) <strong>und</strong> derjenigen im betreffenden Medium<br />
(c m ):<br />
n = c<br />
c m<br />
Für den Spezialfall des senkrechten Einfalls θ 1 = θ r = 0 ◦ ist die Intensität des reflektierten<br />
Strahls<br />
( ) 2 n1 − n 2<br />
I =<br />
I 0<br />
n 1 + n 2<br />
Darin ist I 0 die einfallende Intensität <strong>und</strong> n 1 sowie n 2 sind die Brechzahlen der beiden<br />
Medien. Für eine Luft/Glas-Grenzfläche gilt n 1 = 1 <strong>und</strong> n 2 = 1,5. Damit ist die reflektierte<br />
Intensität I = I 0 /25. Es wird also 4% der einfallenden Energie reflektiert <strong>und</strong> der Rest wird<br />
transmittiert.<br />
Betrachten wir ein enges Strahlenbündel, das von einer Punktquelle P ausgeht <strong>und</strong> an einer<br />
glatten Oberfläche reflektiert wird.<br />
⇒ Transparency Reflexion in einem Spiegel (reflexion2.jpg)<br />
Nach der Reflexion laufen die Strahlen so auseinander als kämen sie von Punkt P ′ hinter der<br />
Oberfläche. Dieser Punkt P ′ wird als Bild des Punktes P bezeichnet. Das Auge kann hierbei<br />
nicht entscheiden, ob die Strahlen von P oder P ′ ausgehen. Die Reflexion an einer glatten<br />
Oberfläche wird als reguläre Reflexion oder Spiegelreflexion bezeichnet, im Unterschied zur<br />
Streuung oder diffusen Reflexion an einer rauen Oberfläche.<br />
Der physikalische Mechanismus der Reflexion lässt sich als Absorption <strong>und</strong> Abstrahlung<br />
des <strong>Licht</strong>s durch die Atome des reflektierenden Mediums erklären. Tritt <strong>Licht</strong> auf eine<br />
Glasoberfläche, absorbieren die Atome im Glas <strong>und</strong> strahlen es mit der gleichen Frequenz<br />
in alle Richtung ab. Die Einhüllende aller von den Atomen ausgehenden Elementarwellen<br />
ergibt die neue Wellenfront.<br />
Wir wenden jetzt das Huygensche Prinzip an, um das Reflexionsgesetz herzuleiten. Betrachten<br />
wir eine ebene Wellenfront AA ′ . Sie trifft im Punkt A auf einen Spiegel.<br />
End of<br />
Lecture<br />
31<br />
⇒ Transparency Ebene Wellen, die an einem ebenen Speigel reflektiert werden (reflexion3.jpg)<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 32, 11/07/2002
25.4: Brechung 6<br />
Der Winkel zwischen einfallender Wellenfront <strong>und</strong> Spiegel φ 1 ist gleich dem Einfallswinkel<br />
θ 1 . Nach dem Huygenschen Prinzip ist jeder Punkt der Wellenfront als Punktquelle einer<br />
sek<strong>und</strong>ären Elementarwelle anzusehen. Wir ermitteln die Position der Wellenfront nach der<br />
Zeit t, in dem wir Elementarwellen mit dem Radius ct konstruieren, deren Mittelpunkte auf<br />
der Wellenfront AA ′ liegen. Elementarwellen, die den Spiegel noch nicht betroffen haben,<br />
bilden die neue Wellenfront BB ′ . Wellen, die den Spiegel trafen, werden reflektiert <strong>und</strong> liefern<br />
die neue Wellenfront BB ′′ . Verfolgen wir den Verlauf weiter ergeben sich Wellenfronten<br />
C ′′ CC ′ aus den Wellenfront B ′′ BB ′ .<br />
Man kann in einer Detailvergrößerung besser sehen was passiert, wo wir nur den Teil AP<br />
der Wellenfront betrachten, der während der Zeit t auf den Spiegel trifft.<br />
⇒ Transparency Geometrische Darstellung des Huygenschen Prinzips für Reflexion (reflexion4.fig)<br />
In dieser Zeit erreicht die vom Punkt P ausgehende Welle den Spiegle im Punkt B. Die reflektierte<br />
von Punkt A ausgehende Welle erreicht den Punkt B ′′ . Die reflektierte Wellenfront<br />
B ′′ B bildet mit dem Spiegel den Winkel φ r , der gleich dem Reflexionswinkel θ r zwischen<br />
dem reflektierten Strahl <strong>und</strong> der Spiegelnormale ist. Die Dreiecke BPA <strong>und</strong> BB ′′ A sind<br />
rechtwinklig. Sie haben die gemeinsame Seite AB. Die Seiten AB ′′ <strong>und</strong> BP sind gleich; sie<br />
haben die Länge ct. Daher sind beide Dreiecke kongruent, so dass die Winkel φ 1 <strong>und</strong> φ r<br />
gleich sind. Das bedeutet, dass der Reflexionswinkel θ r gleich dem Einfallswinkel θ 1 ist.<br />
25.4 Brechung<br />
Wenn ein <strong>Licht</strong>strahl auf die Grenzfläche zweier verschiedener Medien trifft, wird ein Teil<br />
der <strong>Licht</strong>energie reflektiert <strong>und</strong> der andere Teil geht durch die Grenzfläche in das zweite<br />
Medium über. Nach Eintritt des zweiten Mediums ändert sich die Ausbreitungsrichtung<br />
des Strahls. Die Richtungsänderung des Strahls wird Brechung genannt.<br />
Der Effekt der Brechung lässt sich damit erklären, dass das <strong>Licht</strong> in jedem Medium eine<br />
andere Ausbreitungsgeschwindigkeit hat. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der durch<br />
das Medium gehenden Welle ist kleiner als diejenige der Welle im Vakuum. Daher ist die<br />
Brechzahl des zweiten Mediums größer als 1. Eine vollständige Erklärung für die langsamere<br />
Geschwindigkeit werde ich hier nicht geben. In Materie müssen zur Erklärung der<br />
Ausbreitung zusätzliche Streuprozesse berücksichtigt werden. Eine <strong>Licht</strong>welle wird von den<br />
Atomen des Mediums absorbiert <strong>und</strong> wieder abgestrahlt. Diese führt letztlich zu einer kleineren<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit.<br />
Die Frequenz des <strong>Licht</strong>s bleibt beim Durchgang von einem Medium in ein anderes erhalten.<br />
(Atome absorbieren <strong>und</strong> strahlen das <strong>Licht</strong> mit der gleichen Frequenz ab, weil die Elektronen<br />
auf festen Energieniveaus sind). Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der durchgehenden<br />
Welle ändert sich <strong>und</strong> damit auch ihre Wellenlänge. Wenn <strong>Licht</strong> mit der Wellenlänge λ<br />
<strong>und</strong> der Frequenz ν vom Vakuum in ein Medium mit der Brechzahl n transmittiert wird,<br />
so ist seine Wennlänge λ ′ im Medium<br />
λ ′ = c m<br />
ν = c/n<br />
ν<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 32, 11/07/2002<br />
= λ<br />
n
25.4: Brechung 7<br />
Betrachten wir wieder einen <strong>Licht</strong>strahl, der auf eine ebene glatte Luft/Glas-Grenzfläche<br />
tritt.<br />
⇒ Transparency Brechungswinkel (brechung1.fig)<br />
Der in das Glas eintretende Strahl heißt gebrochener Strahl <strong>und</strong> der Winkel θ 2 wird Brechungswinkel<br />
genannt. Der eintretende Strahl wird zur Normalen hingebrochen, d.h. der<br />
Brechungswinkel θ 2 ist kleiner als der Einfallswinkel, weil Glas optisch dicker ist als Luft.<br />
Verläuft der Strahlengang in umgekehrte Richtung wird der austretende Strahl von der<br />
Normalen weggebrochen.<br />
Betrachten wir eine ebene Welle, die auf eine Luft/Glas-Grenzfläche trifft.<br />
⇒ Transparency Geometrische Darstellung des Huygenschen Prinzips für Brechung (brechung2.jpg)<br />
Die Strecke AP ist ein Teil der wellenfront in Luft (Medium 1). Sie trifft unter dem Einfallswinkel<br />
θ 1 auf die Glasoberfläche. In der Zeit t legt die vom Punkt P ausgehende Elementarwelle<br />
den Weg c 1 t zurück <strong>und</strong> erreicht dabei den Punkt B. Während dieser Zeit legt<br />
die vom Punkt A ausgehende Elementarwelle den Weg c 2 t im Glas (Medium 2) zurück. Die<br />
neue Wellenfront BB ′ verläuft nicht parallel zur ursprünglichen Wellenfront AP, weil die<br />
Geschwindigkeiten c 1 <strong>und</strong> c 2 unterschiedlich sind. Aus dem rechtwinkligen Dreieck BPA<br />
ergibt sich<br />
sin φ 1 = c 1t<br />
AB<br />
oder<br />
AB =<br />
c 1t<br />
=<br />
c 1t<br />
sin φ 1 sin θ 1<br />
weil φ 1 = θ 1 . Entsprechend für den rechtwinkligen Dreieck AB ′ B<br />
sin φ 2 = c 2t<br />
AB<br />
oder<br />
AB =<br />
c 2t<br />
=<br />
c 2t<br />
sin φ 2 sin θ 2<br />
weil φ 2 = θ 2 . Wir setzen die Ausdrücke für AB gleich <strong>und</strong> erhalten<br />
sin θ 1<br />
c 1<br />
= sin θ 2<br />
c 2<br />
Durch Einsetzen von c 1 = c/n 1 <strong>und</strong> c 2 = c/n 2 erhalten wir<br />
n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2<br />
Dieser Zusammenhang – das Brechungsgesetz – wurde experimentell im Jahre 1621 vom<br />
holländischen Physiker Willebrod Snellius entdeckt. Wir sprechen heute vom Gesetz von<br />
Snellius.<br />
Das Brechungsgesetz gilt für alle Arten von Wellen, die die Grenzfläche zwischen zwei<br />
Medien passieren. Man sieht es auch bei ebenen Wasserwellen.<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 32, 11/07/2002
25.4: Brechung 8<br />
⇒ Transparency Brechung ebener Wasserwellen (wellen.jpg)<br />
An der Grenzlinie ändert sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, weil sie in ein<br />
Gebiet mit anderer Wassertiefe eintreten.<br />
Wir können auch die Brechung von einem <strong>Licht</strong>strahl im Wasser schön demonstrieren.<br />
⇒ Experiment 499: Reflexion <strong>und</strong> Brechung in Wasser<br />
Überlegen wir was passiert wenn wir eine Punktquelle im Glas betrachten. Die von ihr<br />
ausgehenden <strong>Licht</strong>strahlen treffen unter verschiedenen Winkeln auf die Grenzfläche zwischen<br />
Glas <strong>und</strong> Luft. Alle austretende Strahlen werden von der Normalen weggebrochen.<br />
Mit zunehmendem Einfallswinkel wird der Brechungswinkel größer, bis ein kritischer Einfallswinkel<br />
θ k erreicht wird, für den der Brechungswinkel gleich 90 ◦ ist.<br />
⇒ Transparency Reflexion <strong>und</strong> Transmission gegen Einfallswinkel (tir1.jpg)<br />
Für einen <strong>Licht</strong>strahl, dessen Einfallswinkel größer als dieser kritische Winkel θ k ist, tritt<br />
keine Brechung auf, sondern ausschließlich Reflexion in das dichtere Medium zurück. Dieses<br />
Phänomen wird als Totalreflexion bezeichnet.<br />
⇒ Transparency Totalreflexion (tir2.jpg)<br />
Für den kritischen Winkel gilt<br />
sin θ k = n 2<br />
n 1<br />
Totalreflexion kann nur austreten, wenn <strong>Licht</strong> aus einem Medium mit der Brechzahl n 1<br />
in ein anderes mit kleinerer Brechzahl n 2 < n 1 übergeht. Wir können den Effekt auch in<br />
Wasser demonstrieren.<br />
Der kritische Winkel für Glas berechnen wir aus<br />
sin θ k = 1,00<br />
1,50 = 0,667<br />
weil die Brechzahl von Glas 1,5 ist. Damit beträgt der kritische Winkel θ k der Totalreflexion<br />
42 ◦ . Die Brechzahl von Wasser ist 1,33. Damit ist der kritische Winkel in Wasser 49 ◦ .<br />
Diamant hat eine sehr hohe Brechzahl, 2,42, was einen kritischen Winkel von nur 24 ◦<br />
entspricht.<br />
Ein <strong>Licht</strong>strahl der senkrecht durch eine der beiden Kathetenseiten eines gleichschenkligen<br />
rechtwinkligen Glasprismas in dieses eintritt, wird totalreflektiert <strong>und</strong> verlässt das Prisma<br />
senkrecht zur anderen Kathetenseite:<br />
⇒ Transparency <strong>Licht</strong>strahl in einem Prisma (prisma.fig)<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 32, 11/07/2002
25.5: Dispersion 9<br />
Fällt ein <strong>Licht</strong>strahl senkrecht zur Hypothenusenfläche des Prismas ein, wird er zweimal<br />
total reflektiert <strong>und</strong> verlässt das Prisma in der Gegenrichtung. In vielen optischen Instrumenten<br />
dienen Prismen dazu, die <strong>Licht</strong>strahlen verlustfrei abzulenken.<br />
Eine neuere Anwendung der Totalreflexion ist die Übertragung von <strong>Licht</strong> durch Glasfasern.<br />
Wenn die Faser nicht zu stark gekrümmt ist, kann kein <strong>Licht</strong> seitlich austreten.<br />
⇒ Transparency <strong>Licht</strong> in einer Faser (faser1.jpg)<br />
Ein Bündel von Glasfasern kann zum Übertragen von Abbildungen oder Daten verwendet<br />
werden.<br />
⇒ Experiment 497: Glasfaseroptik<br />
Es wird in der Medizin verwendet, um bei der so genannten Endoskopie innere Organe<br />
ohne Operation zu überprüfen.<br />
⇒ Transparency <strong>Licht</strong>faser für Bildübertragung (faser2.jpg)<br />
⇒ Transparency Bild rekonstruiert aus Glasfasern (faser3.jpg)<br />
Wenn die Übertragung von Daten durch modulierte elektromagnetische Wellen geschieht,<br />
ist die Übertragungsrate stark von der Frequenz der Trägerwelle abhängig. In den Glasfasern<br />
dienen <strong>Licht</strong>wellen als Informationsträger. Sie haben Frequenzen in der Größenordnung<br />
von 10 8 Hz. Dadurch sind wesentlich höhere Datenübertragungsraten erzielbar als etwa mit<br />
R<strong>und</strong>funkwellen, deren Frequenz nur in der Größenordnung von 10 6 liegt.<br />
Wenn sich der Brechungsindex eines Mediums räumlich ändert, dann führt das zu einer<br />
Krümmung des <strong>Licht</strong>weges der durchgehenden <strong>Licht</strong>strahlen infolge der Brechung.<br />
⇒ Transparency Eine Luftspiegelung (luftspiegelung1.jpg)<br />
⇒ Transparency Eine Luftspiegelung (luftspiegelung2.jpg)<br />
25.5 Dispersion<br />
Die Brechzahl jeder Substanz (<strong>und</strong> damit die Geschwindigkeit von <strong>Licht</strong> in der Substanz)<br />
ist geringfügig von der Wellenlänge bzw. von der Frequenz abhängig. Diesen Effekt nennt<br />
man Dispersion. Die Abbildung zeigt die Abhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge<br />
für einige Glassorten.<br />
⇒ Transparency Brechzahl gegen <strong>Licht</strong>wellenlänge (brechzahl.jpg)<br />
Die Brechzahl von Glas nimmt mit zunehmender Wellenlänge ab. D.h. dass die <strong>Licht</strong>geschwindigkeit<br />
von blauem <strong>Licht</strong> kleiner als rotes <strong>Licht</strong> im Glas ist. Damit wird rotes <strong>Licht</strong><br />
weniger gebrochen als blaues <strong>Licht</strong>. Trifft weißes <strong>Licht</strong> auf ein Glasprisma, so wird es in<br />
seine Farbkomponenten zerlegt.<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 32, 11/07/2002
25.6: Polarisation 10<br />
⇒ Experiment 513: Dispersion mit einem Prisma<br />
Wir können ein Prisma auch verwenden, um zu zeigen dass Infrarot Strahlung auch existiert,<br />
<strong>und</strong> dass für eine normale Lampe, die meiste Energie im Infrarot abgestrahlt wird.<br />
⇒ Experiment 463: Infrarote Strahlung nachweisen<br />
Prinzipiell kann man mit diesem Aufbau auch zeigen, dass es auch ultraviolette Strahlung<br />
gibt. Ultraviolette Strahlung wird aber von Glas absorbiert. Man muss ein Quarz Prisma<br />
nehmen, um die ultravioletter Strahlung zu beobachten.<br />
Einen Regenbogen kann man mit einer Kombination aus Reflexion <strong>und</strong> Dispersion des<br />
Sonnenlichts an Wassertröpfchen, die in der Luft schweben, erklären.<br />
⇒ Transparency Totalreflexion in einem Wassertropfen (regenbogen.jpg)<br />
25.6 Polarisation<br />
Bei jeder transversalen Welle steht die Schwingungsebene senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung.<br />
Pflanzt sich eine Welle z.B. in der Längsrichtung einer Saite fort, so stehen die<br />
Auslenkungen senkrecht auf der Saite. Bei einer <strong>Licht</strong>welle, die sich entlang der z-Achse<br />
ausbreitet, stehen elektrisches <strong>und</strong> magnetisches Feld sowohl auf der z-Achse als auch aufeinander<br />
senkrecht. Eine Welle nennt man linear polarisiert, wenn ihre Auslenkung nur<br />
eine Richtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung annehmen. Die Polarisation können wir<br />
leicht mit mechanischen Wellen auf einer Saite zeigen.<br />
⇒ Experiment 200: Transversalwellen mit Gummiseil<br />
Bewegt man ein Ende der Saite in vertikale Richtung auf <strong>und</strong> ab, so wird sie in Schwingungen<br />
geraten, wobei die Auslenkungen nur nach oben <strong>und</strong> nach unten, also in vertikaler<br />
Richtung verlaufen. Die auf der Saite entlanglaufende Welle ist damit linear polarisiert.<br />
Bewegt man das Ende der Saite mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einem Kreis,<br />
ist die entstehende Welle zirkular polarisiert. In diesem Fall bewegen sich alle Segmente<br />
der Saite auf einem Kreis. Eine unpolarisierte Welle lässt sich erzeugen, indem man ein<br />
Saitenende in unregelmäßige Weise horizontal <strong>und</strong> vertikal bewegt.<br />
Die meisten Wellen, die durch eine einzige Quelle erzeugt werden, sind polarisiert. Elektromagnetische<br />
Wellen, die von einem einzigen Atom oder von einer einzelnen Antenne<br />
emittiert werden, sind polarisiert. Dagegen sind Wellen, die durch Überlagerung der aus<br />
vielen Quellen stammenden Primärwellen entstehen, gewöhnlich unpolarisiert. Beispielsweise<br />
ist das <strong>Licht</strong> einer Glühbirne vollständig unpolarisiert, weil es von den Schwingungen<br />
vieler Atome herrührt, die voneinander weitgehend unabhängig sind.<br />
Es gibt viele Effekte mit deren Hilfe man aus unpolarisiertem <strong>Licht</strong> polarisiertes erzeugen<br />
kann: Absorption, Streuung, Reflexion <strong>und</strong> Doppelbrechung. Ich habe aber leider keine<br />
Zeit, weiter darauf einzugehen.<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 33, 16/07/2002<br />
End of<br />
Lecture<br />
32
25.7: Geometrische <strong>Optik</strong> 11<br />
25.7 Geometrische <strong>Optik</strong><br />
Die <strong>Licht</strong>wellenlänge ist, verglichen mit den meisten Hindernissen <strong>und</strong> Öffnungen im <strong>Licht</strong>weg<br />
sehr klein. Deswegen kann die Beugung (die Ablenkung der <strong>Licht</strong>strahlen an den<br />
Kanten der Gegenstände) oft vernachlässigt werden. Die Ausbreitung des <strong>Licht</strong>s lässt sich<br />
durch die geradlinige Fortpflanzung von <strong>Licht</strong>strahlen beschreiben. Die <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong><br />
befasst sich mit der Untersuchung der Phänomen, die im Rahmen dieser Näherung zu<br />
erklären sind.<br />
Ich habe oben kurz skizziert, wie man zu einem Bild in einem ebenen Spiegel kommt:<br />
⇒ Transparency Reflexion in einem Spiegel (reflexion2.jpg)<br />
Nach Reflexion laufen die Strahlen so auseinander als kämen sie vom Punkt P ′ hinter<br />
dem Spiegel her, der vom Spiegel den gleichen Abstand hat wie Punkt P. Das, was der<br />
Beobachter im Spiegel sieht ist das Bild des Gegenstandes. Man spricht hier von einem<br />
virtuellen Bild, weil keine wirklichen Strahlen von ihm ausgehen. Ein weiteres Kennzeichen<br />
eines virtuellen Bildes ist, dass der Beobachter die reflektierten Strahlen nicht von solchen<br />
unterscheiden kann, die bei Abwesenheit des Spiegels von einer Punktquelle am Ort des<br />
Bildes ausgingen. Der Punkt P ′ wird auch Bildpunkt genannt. Er liegt auf einer Geraden<br />
senkrecht zur Spiegelebene, die durch den Gegenstandspunkt P geht. Das Bild lässt sich<br />
mit dem Auge über einen weiten Bereich beobachten.<br />
Damit ein Bild zustande kommt, ist es wichtig, dass die Strahlen von einem Punkt, in<br />
einem Punkt entweder auf das Retina oder auf einen Bildschirm treffen. Wenn das nicht<br />
der Fall ist, entsteht kein Bild. Das kann man mit einer Lochkamera demonstrieren.<br />
⇒ Experiment 518: Lochkamera<br />
Betrachten wir zwei Bilder, wo Strahlen an einem Hohlspiegel reflektiert werden:<br />
⇒ Transparency Die Umkehrbarkeit des <strong>Licht</strong>weges (umkehr.fig)<br />
Im ersten Bild werden die achsenparallel einfallenden Strahlen nach der Reflexion am Spiegel<br />
in einem Punkt, dem so genannten Brennpunkt, fokussiert. Im zweiten Bild stammen<br />
die Strahlen aus dem Brennpunkt. Sie werden dann parallel zur Achse reflektiert. Die<br />
reflektierten Strahlen verlaufen entlang den zuvor einfallenden Strahlen, jedoch in der Gegenrichtung.<br />
Die Umkehrbarkeit des <strong>Licht</strong>weges ist auch bei gebrochenen Strahlen gegeben.<br />
Entsteht durch eine reflektierende oder brechende Oberfläche ein reelles Bild eines Gegenstandes,<br />
so können wir aufgr<strong>und</strong> der Umkehrbarkeit des <strong>Licht</strong>weges dieses Bild durch einen<br />
Gegenstand ersetzen <strong>und</strong> erhalten ein neues Bild am Ort des ursprünglichen Gegenstandes.<br />
Man könnte jetzt die Eigenschaften von Kombinationen von ebenen Spiegeln untersuchen<br />
<strong>und</strong> auch was passiert, wenn man sphärischen Spiegel nimmt. Man kann aber auch Bilder<br />
durch Brechung erzeugen. Die Eigenschaften von sphärischen Spiegeln <strong>und</strong> Linsen sind sehr<br />
ähnlich. Ich werde mich also auf Linsen konzentrieren <strong>und</strong> darauf hinweisen, welche Art<br />
von sphärischen Spiegel die gleichen Eigenschaften hat.<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 33, 16/07/2002
25.8: Durch Brechung erzeugte Bilder 12<br />
25.8 Durch Brechung erzeugte Bilder<br />
Betrachten wir die Erzeugung eines Bildpunktes durch eine kugelförmige Oberfläche.<br />
⇒ Transparency Bilderzeugung durch eine kugelförmige Oberfläche (bild1.fig)<br />
Die zwei Medien haben unterschiedliche Brechzahlen n 1 <strong>und</strong> n 2 , wobei n 2 > n 1 . Damit ist<br />
die Ausbreitungsgeschwindigkeit im zweiten Medium kleiner als im ersten. Wie hängt die<br />
Bildweite b von der Gegenstandsweite g, dem Krümmungsradius r sowie den Brechzahlen<br />
ab?<br />
Das Snelliussche Brechungsgesetz lautet:<br />
n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2<br />
Bei Linsen <strong>und</strong> Spiegeln werden wir fast immer nur kleine Winkel betrachten, nur dann<br />
bekommt man ein scharfes Bild bei sphärischen Oberflächen. Dann gilt:<br />
n 1 θ 1 = n 2 θ 2<br />
⇒ Transparency Strahlengang durch eine kugelförmige Oberfläche (bild2.fig)<br />
Der Winkel β ist ein Außenwinkel am Dreieck P ′ AC. Daher gilt<br />
θ 1 ist ein Außenwinkel am Dreieck PCA:<br />
Wir können θ 1 eliminieren <strong>und</strong> bekommen:<br />
β = θ 2 + γ = n 1<br />
n 2<br />
θ 1 + γ<br />
θ 1 = α + β<br />
n 1 α + n 2 γ = ((n 2 − n 1 ) β<br />
Wenn die Winkel klein sind, können wir mit der Bogenlänge l schreiben:<br />
Damit bekommen wir:<br />
α ≈ l g ; β ≈ l r ; γ ≈ l b ;<br />
n 1<br />
g + n 2<br />
b<br />
= n 2 − n 1<br />
r<br />
Bei der Brechung werden reelle Bilder (vom Gegenstand aus gesehen) hinter der brechenden<br />
Oberfläche erzeugt. Virtuelle Bilder treten vor der brechenden Fläche auf. Die Vorzeichenkonvention<br />
für Brechung ist:<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 33, 16/07/2002
25.8: Durch Brechung erzeugte Bilder 13<br />
g + reeller Gegenstand vor der brechende Fläche (Einfallsseite)<br />
− virtueller Gegenstand hinter der brechende Fläche (Transmissionsseite)<br />
b + reelles Bild hinter der brechende Fläche (Transmissionsseite)<br />
− virtuelles Bild vor der brechende Fläche (Einfallsseite)<br />
r,f + Krümmungsmittelpunkt auf der Transmissionsseite<br />
− Krümmungsmittelpunkt auf der Einfallsseite<br />
Für einen sphärischen Spiegel gilt:<br />
Die Vorzeichenkonvention ist:<br />
1<br />
g + 1 b = 2 r<br />
g + Gegenstand vor dem Spiegel (reeller Gegenstand)<br />
− Gegenstand hinter dem Spiegel (virtueller Gegenstand)<br />
b + Bild vor dem Spiegel (reelles Bild))<br />
− Bild hinter dem Spiegel (virtuelles Bild)<br />
r,f + Krümmungsmittelpunkt vor dem Spiegel (Konkavspiegel)<br />
− Krümmungsmittelpunkt hinter dem Spiegel (Konvexspiegel)<br />
Wenn die Gegenstandsweite viel größer als der Krümmungsradius des Spiegels ist, dann ist<br />
der Term 1/g viel kleiner als 2/r. Für g = ∞ gilt für die Bildweite b = 1 r. Dieser Abstand<br />
2<br />
wird die Brennweite f eines sphärischen Spiegel genannt:<br />
Damit gilt:<br />
f = 1 2 r<br />
1<br />
g + 1 b<br />
= 1 f<br />
Bei Konkavspeigel können reelle Bilder auftreten. Bei Konvexspiegeln treten nur virtuelle<br />
Bilder auf. Was ist ein “virtueller Gegenstand”? Wie kann sich ein Gegenstand hinter einem<br />
Spiegel oder auf der Transmissionsseite befinden? Man spricht beispielsweise von virtuellen<br />
Gegenständen, wenn vor dem Spiegel eine Linse steht <strong>und</strong> die Strahlen von der Linse zu<br />
dem von ihr entworfenen Bild durch den Spiegel (oder Grenzfläche) unterbrochen werden.<br />
Dann kann dieses Bild nicht wirklich entstehen. Der Abstand zum virtuell entstandenen<br />
Bild ist aber die Gegenstandsweite für die Abbildung des Spiegel (Grenzfläche).<br />
Wir wollen nicht nur wissen, wo das Bild ist, sondern wie groß es ist.<br />
⇒ Transparency Gegenstand <strong>und</strong> Bildgröße (bild3.fig)<br />
Der von links eintreffende Strahl wird im optisch dichteren Medium zur Normalen hingebrochen.<br />
Die beiden Winkel sind durch das Snelliussche Gesetz verknüpft: n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 .<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 33, 16/07/2002
25.8: Durch Brechung erzeugte Bilder 14<br />
Aus der Abbildung sehen wir, dass die Winkel auch mit der Gegenstandsgröße <strong>und</strong> der Gegenstandsweite<br />
bzw. mit der Bildgröße <strong>und</strong> der Bildweite zusammenhängen:<br />
tan θ 1 = G g ;<br />
tan θ 2 = B b<br />
Wir betrachten nur achsennahe Strahlen. Es gilt dann sin θ ≈ tan θ. Mit dieser Näherung<br />
können wir schreiben:<br />
G<br />
n 1<br />
g = n B<br />
2<br />
b<br />
Damit gilt:<br />
V ist der so genannte Abbildungsmaßstab.<br />
Für einen sphärischen Spiegel gilt:<br />
V = B G = n 1b<br />
n 2 g<br />
V = B G = − b g<br />
Wir können die scheinbare Tiefe eines Gegenstandes unter Wasser bei Betrachtung senkrecht<br />
von oben mit Hilfe der obigen Gleichung berechnen. Die brechende Fläche (die Wasseroberfläche)<br />
ist eben. Der Krümmungsradius ist unendlich <strong>und</strong> Bildweite <strong>und</strong> Gegenstandsweite<br />
sind miteinander verknüpft durch<br />
Die schienbare Tiefe ist:<br />
n 1<br />
g + n 2<br />
b + 0<br />
b = − n 2<br />
n 1<br />
g<br />
Das negative Vorzeichen zeigt an, dass das Bild virtuell ist. Es befindet sich auf der gleichen<br />
Seite der brechenden Fläche wie der Gegenstand.<br />
⇒ Transparency Scheinbare Tiefe eines Gegenstandes unter Wasser (wasser.fig)<br />
Der scheinbaren Tiefe (für Luft) ist gleich der wirklichen Tiefe dividiert durch die Brechzahl<br />
des Wassers. Der Abbildungsmaßstab ist:<br />
V = − n 1b<br />
n 2 g = 1<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 33, 16/07/2002
25.9: Dünne Linsen 15<br />
25.9 Dünne Linsen<br />
Betrachten wir eine sehr dünne Linse aus einem Material mit der Brechzahl n. Die Krümmungsradien<br />
der beiden Linsenoberflächen sind r 1 <strong>und</strong> r 2 . Ein Gegenstand befindet sich im Abstand g<br />
vor der ersten Oberfläche. Da die Linse sehr dünn ist, ist auch sein Abstand von der Mittelebene<br />
der Linse gleich g. Die Mittelebene einer dünnen Linse ist die Ebene, die senkrecht auf<br />
der Hauptachse steht <strong>und</strong> durch den Mittelpunkt der Linse geht. Aufgr<strong>und</strong> der Brechung<br />
an der ersten Oberfläche ist die Bildweite b:<br />
1<br />
g + n b 1<br />
= n − 1<br />
r 1<br />
Dieses Bild entsteht jedoch nicht, weil das <strong>Licht</strong> an der zweiten Oberfläche ebenfalls gebrochen<br />
wird.<br />
⇒ Transparency Brechung in einer Linse (linse1.fig)<br />
Die Bildweite der ersten Oberfläche b 1 ist negativ. Das Bild befindet sich daher auf der<br />
linken Seite der Linse, also auf der Gegenstandsseite. Die Strahlen, die an der ersten Oberfläche<br />
gebrochen werden, laufen im Glas so auseinander als gingen sie vom Bildpunkt P ′ 1<br />
aus. Das durch die erste Fläche entworfene Bild wird zum virtuellen Gegenstand für die<br />
Abbildung durch die zweite Fläche. Wir vernachlässigen die Dicke der Linse. Damit ist der<br />
Betrag der Gegenstandsweite gleich dem Betrag der Bildweite: g 2 = −b 1 . Für die Abbildung<br />
durch die zweite Fläche setzen wir n 1 = n, n 2 = 1 <strong>und</strong> g = −b 1 . Die Bildweite ist<br />
gleich der Bildweite des von der Linse erzeugten Endbildes:<br />
n<br />
+ 1 −b 1 b = 1 − n<br />
r 2<br />
Wir addieren die beiden Gleichungen <strong>und</strong> bekommen:<br />
1<br />
g + 1 ( 1<br />
b = (n − 1) − 1 )<br />
r 1 r 2<br />
Damit haben wir die Bildweite b, die Gegenstandsweite g, die Krümmungsradien r 1 <strong>und</strong><br />
r 2 sowie die Brechzahl n verknüpft.<br />
Wenn wir die Bildweite für einen unendlich weit entfernten Gegenstand g = ∞ als die<br />
Brennweite definieren, gilt:<br />
1<br />
f<br />
( 1<br />
= (n − 1) − 1 )<br />
r 1 r 2<br />
Sie dürfen hier die Vorzeichenkonvention für die Krümmungsradien nicht vergessen.<br />
Setzen wir den Ausdruck für die Brennweite ein, bekommen wir:<br />
1<br />
g + 1 b<br />
= 1 f<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 33, 16/07/2002
25.10: Bildkonstruktion bei Linsen 16<br />
Diese Gleichung nennt man die Abbildungsgleichung oder Linsengleichung für dünne Linsen.<br />
Die Gleichung entspricht genau der Abbildungsgleichung für sphärische Spiegel. Die<br />
Vorzeichenkonvention ist aber etwas anders. Betrachten wir ebene Wellenfronten, die auf<br />
eine Linse treffen, deren brechende Flächen beide konvex sind. Eine solche Linse heißt<br />
bikonvex.<br />
⇒ Transparency Wellenfront <strong>und</strong> Strahlen bei einer Konvexlinse (linse2.fig)<br />
Der mittlere Teil der Wellenfront trifft zuerst auf die Linse. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
der Welle im Glas der Linse ist kleiner als in der umgebenden Luft. Damit bleibt der<br />
mittlere Teil der Wellenfronten hinter den äußeren Teilen zurück, Es resultieren auf der<br />
Transmissionsseite kugelförmige Wellenfronten, deren Mittelpunkt im Brennpunkt F ′ liegt.<br />
Weil die Strahlen hinter der Linse zusammenlaufen spricht man von einer Sammellinse. Jede<br />
Linse, die in der Mitte dicker ist als am Rand, ist eine Sammellinse.<br />
Wenn die brechenden Flächen konkav sind, nennt man die Linse bikonkav. In diesem Fall<br />
bleibt der äußere Teil der Wellenfront hinter dem mittleren Teil zurück.<br />
⇒ Transparency Wellenfront <strong>und</strong> Strahlen bei einer Konkavlinse (linse3.fig)<br />
Die resultierende kugelförmige Welle scheint vom Brennpunkt auf der Einfallsseite auszugehen.<br />
Da die <strong>Licht</strong>strahlen auf der Transmissionsseite auseinander laufen, nennt man eine<br />
solche Linse eine Zerstreuungslinse. Ihre Brennweite ist negativ.<br />
Die Brennweite einer Linse hängt nicht davon ab, von welcher Seite das <strong>Licht</strong> einfällt. Wegen<br />
der Umkehrbarkeit des <strong>Licht</strong>weges verlassen <strong>Licht</strong>strahlen, die von einem Brennpunkt<br />
ausgehen, die Linse als achsenparallele Strahlen. Dieser Brennpunkt wird erster Brennpunkt<br />
F genannt. Der Brennpunkt auf dem achsenparallel einfallenden <strong>Licht</strong> fokussiert<br />
wird, heißt zweiter Brennpunkt F ′ . Bei einer Sammellinse liegt der erste Brennpunkt auf<br />
der Einfallsseite <strong>und</strong> der zweite auf der Transmissionsseite. Trifft paralleles <strong>Licht</strong> unter<br />
einem kleinen Winkel zur Achse auf eine Sammellinse, wird es auf einen Punkt in der so<br />
genannten Brennebene fokussiert; diese Ebene verläuft parallel zur Mittelebene der Linse<br />
<strong>und</strong> hat von dieser den Abstand f.<br />
⇒ Transparency Parallele Strahlen auf eine Sammellinse (linse4.fig)<br />
25.10 Bildkonstruktion bei Linsen<br />
Die von Linsen erzeugten Bilder lassen sich durch eine einfache <strong>geometrische</strong> Konstruktion<br />
ermitteln. Man verwendet für die Konstruktion mindestens zwei der drei so genannten<br />
Hauptstrahlen. Bei dünnen Linsen kann man zur Vereinfachung annehmen, dass die Strahlen<br />
nur einmal gebrochen werden.<br />
⇒ Transparency Konstruktion des Bildes an einer dünnen Sammellinse (linse5.fig)<br />
Jeder Bildpunkt wird wie folgt konstruiert:<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 33, 16/07/2002
25.10: Bildkonstruktion bei Linsen 17<br />
1. Der achsenparallele Strahl wird so gebrochen, dass er durch den zweiten Brennpunkt<br />
der Linse verläuft.<br />
2. Der zentrale Strahl verläuft durch den Mittelpunkt der Linse <strong>und</strong> wird nicht abgelenkt.<br />
(Bei dickeren Linsen muss berücksichtigt werden, dass dieser Strahl wie an<br />
einer planparallen Platte seitlich versetzt wird).<br />
3. Der Brennpunktstrahl verläuft durch den ersten Brennpunkt <strong>und</strong> verlässt die Linse<br />
parallel zur Achse.<br />
Diese drei vom Gegenstand ausgehenden Strahlen schneiden sich nach der Berechnung im<br />
entsprechenden Bildpunkt. Im vorliegenden Fall ist das Bild reell <strong>und</strong> umgekehrt. Aus der<br />
Abbildung sehen wir, dass:<br />
Damit gilt für den Abbildungsmaßstab:<br />
tan θ = G g = B b<br />
V = B G = − b g<br />
Die gleiche Beziehung hatte ich schon für sphärische Spiegel angegeben. Das negative Vorzeichen<br />
bedeutet, dass das Bild umgekehrt ist.<br />
Für die drei Hauptstrahlen einer Zerstreuungslinse gilt:<br />
⇒ Transparency Konstruktion des Bildes an einer dünnen Zerstreuungslinse (linse6.fig)<br />
1. Der achsenparallele Strahl verlässt die Linse so als ginge er vom zweiten Brennpunkt<br />
F ′ aus.<br />
2. Der zentrale Strahl verläuft durch den Mittelpunkt der Linse <strong>und</strong> wird nicht abgelenkt.<br />
3. Der Brennpunktstrahl ist auf den ersten Brennpunkt F gerichtet <strong>und</strong> verlässt die<br />
Linse parallel zur Achse.<br />
Bei dicken Linsen werden die Sachen etwas komplizierter. Man muss dann zwei Hauptebenen<br />
einführen. Darüber werde ich weiter nichts erzählen. Sie können die Vorgehensweise in<br />
den Büchern nachlesen.<br />
Ich werde auch nichts über Abbildungsfehler sagen. Die Stichwörter sind:<br />
• sphärische Aberration,<br />
• chromatische Aberration,<br />
• Astigmatismus schiefer Bündel.<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 34, 17/07/2002<br />
End of<br />
Lecture<br />
33
25.11: Optische Instrumente 18<br />
25.11 Optische Instrumente<br />
Über die Kombination von Linsen <strong>und</strong> optische Instrumente werde ich auch sehr wenig<br />
erzählen. Die Prinzipien der Konstruktion habe ich erläutert. Wenn Sie die Prinzipien<br />
verstanden haben, ist es nicht schwierig, die Funktionsweise der verschiedenen Instrumente<br />
zu verstehen.<br />
Wenn man zwei oder mehrere Linsen hintereinander auf derselben Achse hat, lässt sich<br />
das von ihnen erzeugte Bild folgendermaßen konstruieren. Man ermittelt zunächst das<br />
von der ersten Linse entworfene Bild. Dann bestimmt man die Gegenstandsweite für die<br />
Abbildung durch die zweite Linse. Den Gegenstand, den sie abbildet, ist das von der ersten<br />
Linse herrührende Bild. Es spielt keine Rolle, ob das Bild virtuell oder reell ist <strong>und</strong> auch<br />
nicht, ob es überhaupt erzeugt wird.<br />
25.11.1 Das Auge<br />
Das Auge ist auf der einen Seite ein sehr einfaches Instrument, weil es aus nur eine Linse<br />
besteht. Auf der anderen Seite ist die Brennweite der Linse variabel, damit Gegenstände<br />
aus unterschiedlichen Entfernungen in einer Ebene fokussiert werden können.<br />
⇒ Transparency Das Auge (auge1.jpg)<br />
Der minimale Abstand, bei dem ein Gegenstand noch scharf wahrgenommen werden kann,<br />
heißt Nahpunkt. Der Abstand zwischen Nahpunkt <strong>und</strong> Auge, die so genannte deutliche<br />
Sehweite, ist von Person zu Person verschieden <strong>und</strong> ändert sich auch mit dem Alter. Bei<br />
Kindern kann der Nahpunkt etwa 10 cm vor dem Auge liegen, während er im Alter von<br />
60 Jahren beispielsweise 200 cm betragen kann. Als Standardwert gilt eine Entfernung von<br />
25 cm.<br />
Ein Auge ist weitsichtig, wenn nur weiter entfernte Gegenstände scharf gesehen werden.<br />
⇒ Transparency Ein weitsichtiges Auge (auge2.fig)<br />
<strong>Licht</strong> von nahen Gegenständen durch die Linse wird hinter der Netzhaut fokussiert, so<br />
dass das Bild unscharf erscheint. Die Weitsichtigkeit lässt sich durch eine Sammellinse<br />
korrigieren. Ein Auge ist kurzsichtig, wenn nur nahe Gegenstände scharf gesehen werden.<br />
⇒ Transparency Ein kurzsichtiges Auge (auge2.fig)<br />
Das vom Gegenstand ausgehende <strong>Licht</strong> wird vor der Netzhaut fokussiert. Die Kurzsichtigkeit<br />
lässt sich durch eine Zerstreuungslinse korrigieren.<br />
Die Größe in der uns ein Gegenstand erscheint ist durch die Größe des Bildes auf der<br />
Netzhaut bestimmt.<br />
⇒ Transparency Bildgröße auf der Netzhaut bei verschiedenen Entfernungen (auge3.fig)<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 34, 17/07/2002
25.11: Optische Instrumente 19<br />
Das Bild auf der Netzhaut ist um so größer, je näher der Gegenstand herangerückt wird.<br />
Weil der Abstand zwischen Linse <strong>und</strong> Netzhaut konstant ist, können wir die Bildgröße<br />
durch den Sehwinkel angeben. Der Sehwinkel ist mit der Bildgröße verknüpft:<br />
ε =<br />
B<br />
2.5 cm<br />
Gegenstandsgröße <strong>und</strong> Gegenstandsweite hängen folgendermaßen zusammen:<br />
Damit gilt:<br />
tan ε = G g<br />
B = (2,5 cm)ε ≈= (2,5 cm) G g<br />
25.11.2 Die Lupe<br />
Die scheinbare Größe eines Gegenstandes lässt sich durch die Verwendung einer Sammellinse<br />
vergrößern. Blickt man durch diese Linse, kann der Gegenstand näher vor das Auge<br />
gebracht werden <strong>und</strong> trotzdem scharf gesehen werden. Das wird durch das Heranrücken<br />
des Gegenstandes sowie durch den Vergrößerungseffekt der Sammellinse größer. Eine Sammellinse,<br />
die man in dieser Weise verwendet, heißt Lupe.<br />
⇒ Transparency Eine Lupe (lupe.fig)<br />
Ein kleiner Gegenstand der Größe G steht am Nahpunkt. Die deutliche Sehweite beträgt<br />
s 0 . Die Bildgröße auf der Netzhaut ist proportional zum Sehwinkel ε 0 . Näherungsweise gilt:<br />
ε 0 = G s 0<br />
Bringen wir eine Sammellinse der Brennweite f (die kleiner als s 0 ist) vor das Auge. Der<br />
Gegenstand befindet sich im Brennpunkt der Linse. Die von ihm ausgehenden <strong>Licht</strong>strahlen<br />
verlassen die Linse daher parallel zueinander. Das virtuelle Bild liegt im Unendlichen.<br />
Die auf die Augenlinse treffenden parallelen Strahlen werden durch das entspannte Auge<br />
auf die Netzhaut fokussiert. Steht die Sammellinse in Kontakt mit der Augenlinse gilt<br />
näherungsweise:<br />
ε = G f<br />
Das Verhältnis der beiden Sehwinkel werden Vergrößerung oder Winkelvergrößerung genannt.<br />
Die Vergrößerung einer Lupe ist definiert als:<br />
v L = ε ε 0<br />
= s 0<br />
f<br />
Abbildungsmaßstab <strong>und</strong> Vergrößerung sind damit unterschiedlich definiert. Der Abbildungsmaßstab<br />
V = −b/g = B/G ist unabhängig vom Ort des Betrachters, V ergibt<br />
sich allein aus den Eigenschaften des Instruments. Die Vergrößerung ist definiert über den<br />
Abstand, den ein Gegenstand vom Auge zu haben scheint.<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 34, 17/07/2002
25.11: Optische Instrumente 20<br />
25.11.3 Das Fernrohr<br />
Das Fernrohr hier besteht aus zwei Sammellinsen. Die erste Linse (das Objektiv) hat eine<br />
lange Brennweite. Das Bild wird in der Brennebene der ersten Linse erzeugt. Diese ist auch<br />
die Brennebene der zweiten Linse. Die zweite Linse (das Okular) hat eine kurze Brennweite.<br />
Die Wirkung eines Fernrohrs besteht darin den Sehwinkel, zu vergrößern.<br />
⇒ Transparency Ein Fernrohr (fernrohr.jpg)<br />
⇒ Experiment 524: Fernrohr<br />
25.11.4 Das Mikroskop<br />
Ein Mikroskop funktioniert sehr ähnlich. Die Strahlen vom Gegenstand sind aber nicht<br />
parallel. Der Gegenstand wird etwas außerhalb der Brennweite des Objektives platziert.<br />
Dadurch entsteht ein vergrößertes, umgekehrtes Bild. Das Okular wird dann so geschoben,<br />
dass das Bild vom Objektiv wieder in der Brennebene des Okulars ist.<br />
⇒ Transparency Ein Mikroskop (mikroskop.jpg)<br />
⇒ Experiment 526: Mikroskop<br />
<strong>Licht</strong> <strong>und</strong> <strong>geometrische</strong> <strong>Optik</strong> Lecture 34, 17/07/2002