Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen
Begriff
Die Menge C der komplexen Zahlen ist eine Obermenge der Menge der reellen
Zahlen mit folgenden Eigenschaften:
1) C enthält eine Zahl i mit i 2 1
(die sogenannte imaginäre Einheit).
2) Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Form
z x i y (x, y R) schreiben (dabei x x i 0 für x R).
Bezeichnungen: x = : Re(z) ... Realteil von z
y = : Im(z) ... Imaginärteil von z.
3) Auf C werden die arithmetischen Operationen Addition (+) und
Multiplikation () wie folgt erklärt. Es seien z1 x1
iy1
und z2 x2
iy2
zwei beliebige komplexe Zahlen. Dann:
z1 z2
: (x1
x2
) i(y1
y2
)
z1 z2
: (x1x2
y1y2)
i(x1y2
x2y1)
Bemerkungen:
Mit diesen Operationen wird die Menge C zum Körper der komplexen Zahlen.
Die arithmetischen Operationen erfolgen unter Beachtung von i 2 1
wie im
Reellen
Auf C gibt es keine natürliche Ordnungsrelation.
GAUSSsche Zahlenebene
Betrag von z:
imaginäre Achse
| z | x
2
y
2
z1
ac bd (bc ad)i
(bc ad)
a
ac bd
i
2 c id
a
c id
c
id
z
c
2
d
2
c
2
d
2
c
2
d
2
iy
P
Hauptargument von z: Orientierter
| z | z = x + iy Winkel zwischen positiver x- Achse
i
und dem Strahl von O nach P
(gemessen auf kürzestem Wege)
O 1 x reelle Achse Arg z : ( )
(Neben-)Argument arg z Arg z 2k
iy
z x iy
(k ganz)
Zu z konjugiert komplexe Zahl z x iy
Berechnung des Hauptarguments einer komplexen Zahl z 0
arccos
falls y 0
Arg z
| x
z|
arccos
falls y 0
| x
z|
Division komplexer Zahlen
Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl cid des Nenners
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Trigonometrische Darstellung
Wegen
| x
y
cos und sin erhält man z | z | (cos isin )
.
z|
|z|
Die Anwendung trigonometrischer Additionstheoreme ergibt:
(1) | z1z2
| | z1
| | z2
| und arg( z1z2
) arg z1
arg z2
,
z
(2)
1 |z1|
z
und arg(
1
) arg z
z |z |
z 1 arg z2
.
2
2
EULERsche Formel:
2
e i
cos isin
Exponentielle Darstellung einer komplexen Zahl: z |
z | e
i
mit = arg z
Formel von MOIVRE:
z
n
| z |
n
e
in
Lösung quadratischer Gleichungen
Die Gleichung x 2
p
px q 0 , p,q
R besitzt im Falle 2
q 0 die reellen
4
p p
2
Lösungen x1,2
q (L) .
2 4
p 2
p
2
p
2
p
Praktisches Vorgehen im Falle q 0 , d.h. q (q
) mit q 2 0 :
4
4
4 4
Ebenfalls (L) anwenden und formal 1 i setzen
x1,2
p p
2
i q (zwei konjugiert komplexe Lösungen).
2 4
Kreisteilungsgleichung
z n b , mit : Arg b ergeben sich
die n Lösungen
zk
n | b | e
i( k360) / n
(k = 0, 1, ... , n 1)
Diese liegen auf einem Kreis mit dem Radius n | b | um 0 und teilen ihn in n
gleiche Teile.
Anwendung im Wechselstromkreis
Komplexer Widerstand Z im Wechselstromkreis (z.B. 50 Hz , d.h. 2 50s
1
).
Induktiver Widerstand Li (L... Induktivität, Einheit Vs/A = H ... Henry).
Kapazitiver Widerstand 1/(Ci) (C... Kapazität, Einheit As/V = F ... Farad).
Auch für die komplexen Widerstände gilt bei einer Reihenschaltung der
TeilwiderständeZ i für den Gesamtwiderstand Z Zi
, bei Parallelschaltung
gilt 1 / Z 1/
Zi
.
Es sind dann Re(Z) ... Wirkwiderstand, Im(Z) ... Blindwiderstand,
| Z | ... Scheinwiderstand, Arg(Z) ... Phasenverschiebung.
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