Komplexe Zahlen

Trigonometrische Darstellung
Wegen
| x
y
cos und sin erhält man z | z | (cos isin )
.
z|
|z|
Die Anwendung trigonometrischer Additionstheoreme ergibt:
(1) | z1z2
| | z1
| | z2
| und arg( z1z2
) arg z1
arg z2
,
z
(2)
1 |z1|
z
und arg(
1
) arg z
z |z |
z 1 arg z2
.
2
2
EULERsche Formel:
2
e i
cos isin
Exponentielle Darstellung einer komplexen Zahl: z |
z | e
i
mit = arg z
Formel von MOIVRE:
z
n
| z |
n
e
in
Lösung quadratischer Gleichungen
Die Gleichung x 2
p
px q 0 , p,q
R besitzt im Falle 2
q 0 die reellen
4
p p
2
Lösungen x1,2
q (L) .
2 4
p 2
p
2
p
2
p
Praktisches Vorgehen im Falle q 0 , d.h. q (q
) mit q 2 0 :
4
4
4 4
Ebenfalls (L) anwenden und formal 1 i setzen
x1,2
p p
2
i q (zwei konjugiert komplexe Lösungen).
2 4
Kreisteilungsgleichung
z n b , mit : Arg b ergeben sich
die n Lösungen
zk
n | b | e
i( k360) / n
(k = 0, 1, ... , n 1)
Diese liegen auf einem Kreis mit dem Radius n | b | um 0 und teilen ihn in n
gleiche Teile.
Anwendung im Wechselstromkreis
Komplexer Widerstand Z im Wechselstromkreis (z.B. 50 Hz , d.h. 2 50s
1
).
Induktiver Widerstand Li (L... Induktivität, Einheit Vs/A = H ... Henry).
Kapazitiver Widerstand 1/(Ci) (C... Kapazität, Einheit As/V = F ... Farad).
Auch für die komplexen Widerstände gilt bei einer Reihenschaltung der
TeilwiderständeZ i für den Gesamtwiderstand Z Zi
, bei Parallelschaltung
gilt 1 / Z 1/
Zi
.
Es sind dann Re(Z) ... Wirkwiderstand, Im(Z) ... Blindwiderstand,
| Z | ... Scheinwiderstand, Arg(Z) ... Phasenverschiebung.
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