Komplexe Zahlen
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<strong>Komplexe</strong> <strong>Zahlen</strong><br />
Begriff<br />
Die Menge C der komplexen <strong>Zahlen</strong> ist eine Obermenge der Menge der reellen<br />
<strong>Zahlen</strong> mit folgenden Eigenschaften:<br />
1) C enthält eine Zahl i mit i 2 1<br />
(die sogenannte imaginäre Einheit).<br />
2) Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Form<br />
z x i y (x, y R) schreiben (dabei x x i 0 für x R).<br />
Bezeichnungen: x = : Re(z) ... Realteil von z<br />
y = : Im(z) ... Imaginärteil von z.<br />
3) Auf C werden die arithmetischen Operationen Addition (+) und<br />
Multiplikation () wie folgt erklärt. Es seien z1 x1<br />
iy1<br />
und z2 x2<br />
iy2<br />
zwei beliebige komplexe <strong>Zahlen</strong>. Dann:<br />
z1 z2<br />
: (x1<br />
x2<br />
) i(y1<br />
y2<br />
)<br />
z1 z2<br />
: (x1x2<br />
y1y2)<br />
i(x1y2<br />
x2y1)<br />
Bemerkungen:<br />
Mit diesen Operationen wird die Menge C zum Körper der komplexen <strong>Zahlen</strong>.<br />
Die arithmetischen Operationen erfolgen unter Beachtung von i 2 1<br />
wie im<br />
Reellen<br />
Auf C gibt es keine natürliche Ordnungsrelation.<br />
GAUSSsche <strong>Zahlen</strong>ebene<br />
Betrag von z:<br />
imaginäre Achse<br />
| z | x<br />
2<br />
y<br />
2<br />
z1<br />
ac bd (bc ad)i<br />
(bc ad)<br />
a<br />
ac bd<br />
i<br />
2 c id<br />
a<br />
c id<br />
<br />
c <br />
id<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z <br />
c<br />
2<br />
d<br />
2<br />
c<br />
2<br />
d<br />
2<br />
c<br />
2<br />
d<br />
2<br />
iy<br />
P<br />
Hauptargument von z: Orientierter<br />
| z | z = x + iy Winkel zwischen positiver x- Achse<br />
i<br />
und dem Strahl von O nach P<br />
<br />
(gemessen auf kürzestem Wege)<br />
O 1 x reelle Achse Arg z : ( )<br />
(Neben-)Argument arg z Arg z 2k<br />
iy<br />
z x iy<br />
(k ganz)<br />
Zu z konjugiert komplexe Zahl z x iy<br />
Berechnung des Hauptarguments einer komplexen Zahl z 0<br />
<br />
<br />
arccos<br />
falls y 0<br />
Arg z <br />
| x<br />
z| <br />
<br />
<br />
arccos<br />
<br />
falls y 0<br />
| x<br />
z| <br />
Division komplexer <strong>Zahlen</strong><br />
Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl cid des Nenners<br />
- 1 -
Trigonometrische Darstellung<br />
Wegen<br />
| x<br />
y<br />
cos und sin erhält man z | z | (cos isin )<br />
.<br />
z|<br />
|z|<br />
Die Anwendung trigonometrischer Additionstheoreme ergibt:<br />
(1) | z1z2<br />
| | z1<br />
| | z2<br />
| und arg( z1z2<br />
) arg z1<br />
arg z2<br />
,<br />
z<br />
(2)<br />
1 |z1|<br />
z<br />
und arg(<br />
1<br />
) arg z<br />
z |z |<br />
z 1 arg z2<br />
.<br />
2<br />
2<br />
EULERsche Formel:<br />
2<br />
e i <br />
cos isin<br />
<br />
Exponentielle Darstellung einer komplexen Zahl: z |<br />
z | e<br />
i<br />
mit = arg z<br />
Formel von MOIVRE:<br />
z<br />
n<br />
| z |<br />
n<br />
e<br />
in<br />
Lösung quadratischer Gleichungen<br />
Die Gleichung x 2<br />
p<br />
px q 0 , p,q<br />
R besitzt im Falle 2<br />
q 0 die reellen<br />
4<br />
p p<br />
2<br />
Lösungen x1,2<br />
q (L) .<br />
2 4<br />
p 2<br />
p<br />
2<br />
p<br />
2<br />
p<br />
Praktisches Vorgehen im Falle q 0 , d.h. q (q<br />
) mit q 2 0 :<br />
4<br />
4<br />
4 4<br />
Ebenfalls (L) anwenden und formal 1 i setzen <br />
x1,2<br />
p p<br />
2<br />
i q (zwei konjugiert komplexe Lösungen).<br />
2 4<br />
Kreisteilungsgleichung<br />
z n b , mit : Arg b ergeben sich<br />
die n Lösungen<br />
zk<br />
n | b | e<br />
i( k360) / n<br />
(k = 0, 1, ... , n 1)<br />
Diese liegen auf einem Kreis mit dem Radius n | b | um 0 und teilen ihn in n<br />
gleiche Teile.<br />
Anwendung im Wechselstromkreis<br />
<strong>Komplexe</strong>r Widerstand Z im Wechselstromkreis (z.B. 50 Hz , d.h. 2 50s<br />
1<br />
).<br />
Induktiver Widerstand Li (L... Induktivität, Einheit Vs/A = H ... Henry).<br />
Kapazitiver Widerstand 1/(Ci) (C... Kapazität, Einheit As/V = F ... Farad).<br />
Auch für die komplexen Widerstände gilt bei einer Reihenschaltung der<br />
TeilwiderständeZ i für den Gesamtwiderstand Z Zi<br />
, bei Parallelschaltung<br />
gilt 1 / Z 1/<br />
Zi<br />
.<br />
Es sind dann Re(Z) ... Wirkwiderstand, Im(Z) ... Blindwiderstand,<br />
| Z | ... Scheinwiderstand, Arg(Z) ... Phasenverschiebung.<br />
- 2 -