Klausur zur Programmierung II, SS 2004 Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

Universität des Saarlandes
FR 6.2 Informatik
Prof. Dr. Hans-Peter Lenhof
Dipl. Inform. Jan Küntzer
Dipl. Inform. Alexander Rurainski
I
Klausur zur Programmierung II, SS 2004
Hinweise zur Klausur
• Sie haben zum Bearbeiten der Aufgaben zwei Stunden Zeit. Die Punktzahlen der
einzelnen Aufgaben entsprechen der Zeit (in Minuten), die Sie für die Bearbeitung
der Aufgabe maximal aufwenden sollten, wenn Sie alle Aufgaben bearbeiten wollen.
• Es können maximal 120 Punkte erreicht werden. Ab 60 Punkten gilt die Klausur
als bestanden.
• Bitte schreiben Sie auf dieses Deckblatt Ihren Namen, Vornamen, Geburtsdatum
und Matrikelnummer. Unterschreiben Sie diese Angaben und geben Sie dieses Blatt
mit Ihren Lösungen ab. Versehen Sie jeden abgegebenen Papierbogen mit Ihrem
Namen und geben Sie bitte auch Ihr Schmierpapier mit ab.
• Legen Sie Ihren Personalausweis und Studierendenausweis zur Kontrolle auf den
Tisch.
• Kreuzen Sie in der Tabelle auf diesem Blatt die von Ihnen bearbeiteten Aufgaben
an.
• Überprüfen Sie, ob Sie einen vollständigen Klausurbogen erhalten haben.
Sie müssten 13 Blätter mit 9 Aufgaben bekommen haben.
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geburtsdatum: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unterschrift: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9
bearbeitet
Punkte
∑
Viel Erfolg!

Aufgabe 1: Wissenstest (Insgesamt 21 Punkte)
Hinweis: Bei dieser Aufgabe müssen Sie Ihre Antworten ausnahmsweise nicht begründen!
(a) Definieren Sie ω(n) (2 Punkte)
(b) Was versteht man beim Hashing unter Quadratic Probing? (3 Punkte)
(c) Was versteht man unter einem AVL-Baum? (3 Punkte)
(d) Welche Eigenschaften definieren einen Rot-Schwarz-Baum? (5 Punkte)
(e) Was versteht man unter einem ungerichteten Euler-Graphen? (3 Punkte)
(f) Beschreiben Sie den Algorithmus zur Berechnung der starken Zusammenhangskomponenten,
den Sie in der Vorlesung kennengelernt haben (Sie brauchen hier keinen
Code anzugeben!).(5 Punkte)

Aufgabe 2: Programmieraufgabe (20 Punkte)
Erstellen sie eine C++-Templateklasse BinBaum, die einen binären Suchbaum mit
eindeutigen Elementen implementiert, d.h., jedes Element kommt maximal einmal im
Baum vor. Sie dürfen hierfür keine STL-Container verwenden.
(a) Geben Sie dazu (nur) die Klassendeklaration (keine Implementierung) vollständig
an. Die Klasse enthält: Konstruktor, Copykonstruktor, Destruktor, Zuweisungsoperator,
Klassen- oder Strukturdeklaration des Knotentyps, Bestimmung der Elementanzahl,
Suchen eines Elements, Löschen eines Elements und Einfügen eines Elements.
(b) Geben Sie zusätzlich die Implementierung letzterer Methode bool einfuegen(const
T& i) an, welche das Element i in den Baum einfügt, wenn es noch nicht enthalten
ist und true zurückliefert. Ist i im Baum schon enthalten, wird false zurückgeliefert
und nichts getan.

Aufgabe 3: Klassendeklaration (15 Punkte)
Erstellen sie eine C++-Templateklasse Bruch für rationale Zahlen (Brüche). Zähler
und Nenner haben intern den Typ T. Geben Sie sowohl die Klassendeklaration als auch
die Implementierung vollständig an. Die Klasse enthält folgende Funktionen/Operatoren:
• operator+ Addition zweier Brüche
• operator/ Division zweier Brüche
• operator= Zuweisungsoperator
Sie dürfen hierfür keine STL-Container verwenden. Die Brüche müssen nicht gekürzt sein
und Sie dürfen davon ausgehen, dass die verwendeten Zahlen den Wertebereich von T bei
keiner Operation verlassen. Geben sie auch einen Konstruktor an, der explizit das Setzen
des Zählers und des Nenners erlaubt.

Aufgabe 4: O-Notation (8 Punkte)
Finden Sie eine Anordnung der folgenden Funktionen, so dass gilt ∀i : f i ∈ O(f i+1 ):
i) n
ii) ( √ 2) log 2 (n)
iii) ( 3 2 )n
iv) log 2 (log 2 (n))

Aufgabe 5: Rekurrenzgleichungen, Substitutionsmethode (8 Punkte)
Lösen Sie die folgende Rekurrenzgleichung mit Hilfe der Substitutionsmethode, d.h., geben
Sie ein f(n) an mit: T (n) ∈ Θ(f(n)). Beweisen Sie: T (n) ∈ O(f(n)). Zeigen Sie die
Korrektheit Ihrer Lösung durch vollständige Induktion.
T (n) = 4T ( n 5 ) + cn2

Aufgabe 6: Master-Theorem (10 Punkte)
Zeigen Sie für jede der folgenden Rekurrenzen, ob das Master-Theorem zur Lösung angewandt
werden kann. Bestimmen Sie in den Fällen, in denen sich das Theorem anwenden
lässt, die Lösung der Rekurrenz.
• T (n) = 59T ( n 4 ) + 10n3
• T (n) = 36T ( n 6 ) + n ln(n) + n

Aufgabe 7: Las-Vegas-Algorithmus (10 Punkte)
Ein Algorithmus A liefert mit der Wahrscheinlichkeit 1 ein Ergebnis. Liefert er kein Ergebnis
(Wahrscheinlichkeit 1 ), so wird er neu gestartet. Berechnen Sie die erwartete Anzahl
2
2
(Erwartungswert) an Durchläufen von Algorithmus A.
Hinweis: Sie können dabei verwenden, dass gilt:
P ({X = k}) = P ({X ≥ k}) − P ({X ≥ k + 1})

Aufgabe 8: Biconnected Component (15 Punkte)
Sei G = (V, E) ein ungerichteter zusammenhängender Graph. Einen Knoten a ∈ V bezeichnet
man als Gelenkpunkt von G, wenn G\{a} nicht zusammenhängend ist. G bezeichnet
man als 2-zusammenhängend, wenn es keinen Gelenkpunkt in G gibt. Eine 2-
Zusammenhangskomponente eines ungerichteten Graphen ist ein maximaler 2-zusammenhängender
Teilgraph.
i) Definiere eine Relation ∼ auf E wie folgt:
e 1 ∼ e 2 ⇔ e 1 = e 2 oder es existiert ein Kreis 1 , der e 1 und e 2 enthält.
Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation, also reflexiv, symmetrisch und transitiv
ist.
ii) Zeigen Sie, dass gilt:
e 1 ∼ e 2 ⇔ e 1 und e 2 gehören zur selben 2-Zusammenhangskomponente.
1 Ein Kreis enthält jeden Knoten höchstens einmal.

Aufgabe 9: Star Search (13 Punkte)
Gegeben eine Menge A von n Personen. In dieser Menge befindet sich eventuell einen
Star. Ein Star zeichnet sich dadurch aus, dass alle anderen in der Menge ihn kennen, er
aber keinen aus der Menge kennt.
Finden Sie heraus, ob es in der Menge A einen Star gibt oder nicht. Hierzu dürfen Sie
Fragen der folgenden Form stellen: ”
Person X, kennen Sie Person Y?“. Nur Fragen dieser
Form sind erlaubt. Jede Frage wird wahrheitsgemäß beantwortet.
Geben Sie eine Methode an, die nur Θ(n) Fragen benötigt, um zu testen, ob es einen Star
gibt und um diesen gegebenenfalls zu identifizieren. Begründen Sie Ihre Antwort.
Hinweis: Die Brute-force Methode stellt jeder Person (n − 1) Frage, womit Sie im worstcase
n(n − 1) Fragen stellen müssten.

Für Ihre Zwischenrechnungen

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