Analysis I/II 1 Grundlagen - Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. Friedrich Juhnke, Fakultät für Mathematik, Universität Magdeburg
Analysis I/II
Vorlesung für Physiker und Lehramt, Gliederung/Inhaltsabriss, 2007/2008
1 Grundlagen
1.1 Mengen und Abbildungen
Menge, Teilmenge, leere Menge ∅,
Verknüpfungen von Mengen: Durchschnitt, Vereinigung, Komplement, Mengendifferenz,
Disjunktheit, Produktmenge, Potenzmenge P (M)
N := {1, 2, 3, . . .} natürliche Zahlen
N0 := {0, 1, 2, 3, . . . , }
Z := {. �. . , �−2,
−1, 0, 1, 2, �3,
. . .} ganze Zahlen
�
p
Q := �
q � p ∈ Z, q ∈ N rationale Zahlen
R ∼ reelle Zahlen
C ∼ komplexe Zahlen
Abbildung f : X → Y (von X in Y )
b = f(a) ∼ b = das Bild von a, a = ein Urbild von b
f(A) := {f(a) | a ∈ A ⊆ X} ∼ Bild der Menge A
f −1 (B) := {a ∈ X | f(a) ∈ B ⊆ Y } ∼ vollständiges Urbild der Menge B
f ist surjektiv, wenn f(X) = Y
f ist injektiv, wenn für ∀b ∈ Y gilt: f −1 (b) einelementig oder leer
f ist bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist
Komposition (= ”Zusammensetzung”, = ”Verkettung”, = ”Multiplikation”):
h = f ◦ g ∼ h(x) = (f ◦ g)(x) := f(g(x)) Hintereinanderausführung
Mächtigkeit |M| (oder ♯M) der Menge M
gleichmächtig, größere Mächtigkeit, abzählbar
Satz 1: |Q| = |N| (Cantorsches Diagonalverfahren)
Satz 2: |R| > |N|
Satz 3: |P (M)| > |M|
1.2 Natürliche Zahlen, Vollständige Induktion
Induktionsprinzip: Aussage A(n) ist wahr für alle n ∈ N, wenn
(I) A(1) ist wahr
(II) A(m) ist wahr =⇒ A(m + 1) ist wahr
Anwendungsbeispiele:
• n�
k=1
• n�
k=1
• n�
k=0
k = n(n+1)
2
k2 = 1
6 n (n + 1)(2n + 1)
qk = 1 + q + q2 + . . . + qn = 1−q n+1
1−q
• Bernoullische Ungleichung: (1 + h) n > 1 + nh für n ≥ 2, h �= 0, 1 + h > 0.
bzw.: (1 + h) n ≥ 1 + nh für n ≥ 1, 1 + h ≥ 0
1

Permutationen, � Binomialkoeffizienten,
= Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge
� n
k
Binomischer Satz: (a + b) n = n�
1.3 Reelle Zahlen
k=0
� � n n−k k
k a b
Unvollständigkeit von Q: Inkommensurabilität, √ 2 /∈ Q.
Historisches: Pythagoräer, Hippasos von Metapont [5. Jh. v. Chr.]: Seitenlänge und Diagonale
im regelmäßigen Fünfeck sind inkommensurabel.
Axiomatik: Körperaxiome, Anordnungsaxiome, Vollständigkeitsaxiom,
obere/untere Schranke, obere/untere Grenze, Supremum/Infimum,
Wurzelexistenzsatz.
1.4 Ungleichungen und Beträge
Lösen von Ungleichungen � ∼ Fallunterscheidung: � Testintervall, � Lösungsmenge
a, wenn a ≥ 0
1, wenn a > 0
Definition: |a| :=
, sign a :=
−a, wenn a < 0
−1, wenn a < 0
Eigenschaften: Für alle a, b ∈ R gelten
1. |a| ≥ 0
2. |a| ≥ a und |a| ≥ −a
3. | − a| = |a|, also |a − b| = |b − a|
4. |ab| = |a||b|
5. � �
� a (b �= 0)
b
� = |a|
|b|
6. |x| = |a| ⇔ x = a oder x = −a ⇔ x 2 = a 2
Beachte: √ a 2 = |a|
7. |a| = a · sign a und a = |a| · sign a
8. |a| < ε ⇔ −ε < a < ε
|x − a| < ε ⇔ a − ε < x < a + ε
9. |a ± b| ≤ |a| + |b|
10. |a ± b| ≥ ||a| − |b||
1.5 Komplexe Zahlen
Historisches: Cardano, Bombelli, Descartes, Leibniz, Euler, Gauss, Hamilton
Körper C := � (x, y) ∈ R2 , +, · � , z = x + iy ∈ C, i2 = −1, Realteil Re z = x,
Imaginärteil Im z = y, konjugiert komplexe Zahl z := x − iy, komplexe Zahlenebene,
Polarkoordinaten z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ), Betrag r := |z| := � x2 + y2 ,
Argument arg z = ϕ = arctan y
x , Multiplikation/Division in C ∼ Drehstreckung
(cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ, n ∈ N - de Moivre (1667 - 1754)
Eigenschaften:
|z| ≥ 0, ∀z ∈ C; |z| = 0 ⇔ z = 0
z + u = z + u, zu = z u
z + z = 2Re z, z − z = 2i Im z
z = z ⇔ z ist reell
|z| = |z|
|Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z|
2

|zu| = |z||u|, � �
� z � |z|
u = |u|
arg (zu) = arg z + arg u, arg � �
z
u = arg z − arg u
|z + u| ≤ |z| + |u|, |z + u| ≥ ||z| − |u||
Potenzen von i: in ⎧
⎪⎨
1,
i,
=
⎪⎩
−1,
−i,
n ≡ 0 (4)
n ≡ 1 (4)
n ≡ 2 (4)
n ≡ 3 (4)
d.h. n = 4k
n = 4k + 1
n = 4k + 2
n = 4k + 3
n-te Wurzeln w1, . . . , wn aus der komplexen Zahl z = r(cos α + i sin α):
wk = n√ r
�
cos
�
α 2π
+ (k − 1)
n n
�
+ i sin
�
α 2π
+ (k − 1)
n n
��
, k = 1, . . . , n.
Im Körper C lässt sich keine Anordnung definieren, die den Anordnungsaxiomen von R
genügt.
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