Spiel mit Flächen - Fakultät für Mathematik - Otto-von-Guericke ...

Mathematische Grundlagen der Parkettierungen 

M. C. Escher – Parkettierung als regelmäßige Flächenaufteilung 

Das Penrose-Parkett 

Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung 

Parkettieren als ”Spiel mit Flächen” in der Geometrie 

Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene 

Interessante Aufgaben zur Parkettierung 

Muster, Flächen, Parkettierungen — Anregungen 

für einen kreativen Mathematikunterricht 

Herbert Henning, Christian Hartfeldt 

Fakultät für Mathematik 

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg 

eMail: herbert.henning@mathematik.uni-magdeburg.de 

christian.hartfeldt@t-online.de 


Muster, Flächen, Parkettierungen








Inhalt 

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen 

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelmäßige Flächenaufteilung 

3 Das Penrose-Parkett 

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung 

5 Parkettieren als ”Spiel mit Flächen” in der Geometrie 

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene 

7 Interessante Aufgaben zur Parkettierung 










Inhalt 

















Inhalt 

















Inhalt 

















Inhalt 

















Inhalt 

















Inhalt 

















Inhalt 

Das reguläre Vieleck 

Konstruktion eines n-Eckes 

Einbeschriebene n-Ecke 

Umbeschriebene n-Ecke 

Parkettierung mit einer Fläche 























In der Mathematik versteht man unter einer Parkettierung die 

überlappungsfreie, vollständige Überdeckung der Ebene mit 

zueinander kongruenten regelmäßigen Polygonen, wobei das 

Muster an allen Ecken gleich aussehen soll. 
















Betrachtet man Ornamente oder gefließte Fussböden bzw. Wände, 

so stellt man fest, dass diese, wegen ihres ästhetischen Reizes 

regelmäßige Vielecke besitzen. In der Natur findet man die Formen 

von regulären Sechsecken z. B. bei Bienenwaben wieder. 















Definition 

Ein Vieleck heißt regulär, 

wenn 

alle Seiten gleich lang 

und 

alle Innenwinkel 

gleich groß sind. 















Aus der Definition folgt 

Theorem 

Jedes reguläre Vieleck (n-Eck) besteht aus n-kongruenten 

gleichschenkligen Dreiecken. Ein solches Dreieck, das diese 

Bedingung erfüllt, wird als Bestimmungsdreieck bezeichnet. 

Da drei benachbarte Ecken einen Umkreis mit Mittelpunkt M 

haben gilt ∆AMB ∼ = ∆BMC. 

Bestimmungsdreieck 















Wird M mit der nächsten Ecke (D) verbunden, so entsteht das 

Dreieck ∆CMD und dieses ist nach dem Kongruenzsatz zu den 

anderen Dreiecken kongruent. Fahre mit den anderen Ecken so fort 

und es folgt die Behauptung. 

□ 

Für den Innenwinkel µ gilt allgemein µ = 360◦ 

n 

, ist also proportional 

zu 1 n , also µ ∝ 1 n . 

Für ein Sechseck ist also µ = 60 ◦ . Damit ergibt sich zwangsläufig 

für den Winkel α 

α = 180 ◦ − µ = 180 ◦ − 360◦ 

n 

= 180◦ · n − 360 ◦ 

n 

Speziell für ein Sechseck ergibt sich α = 120 ◦ . 

= n − 2 

n 

· 180 ◦ . 















In der folgenden Tabelle werden die Innenwinkel für spezielle 

Anzahlen von Ecken dargestellt. 

Anzahl 

der 

Ecken: 

Innenwinkel 

α: 

3 4 5 6 8 9 10 12 

60 ◦ 90 ◦ 108 ◦ 120 ◦ 135 ◦ 140 ◦ 144 ◦ 150 ◦ 
















Im Folgenden wollen wir der Frage nachgehen, wie man ein 

regelmäßiges Vieleck konstruiert. Kennt man den 

Mittelpunktswinkel µ n , dann kann ein regelmäßiges Vieleck 

konstruiert werden. Da sich Winkel verdoppeln bzw. halbieren 

lassen und man ein n-Eck konstruieren kann, dann kann man auch 

ein n-Eck mit doppelter Eckenzahl konstruieren. Bei allen 

Konstruktionen beginnt man am besten mit dem Umkreis. Im 

Folgenden wollen wir dies für verschiedene Fälle demonstrieren. 










Quadrat 






Dieses Verfahren ist auch als 4er Serie bekannt. Zunächst 

konstruiert man den Umkreis und fällt Lote, die man vom 

Mittelpunkt M auf die Quadratseite fällt. Diese schneiden den 

Kreis in den Ecken des Achteckes. Damit ergibt sich 

⊙ 

⊙ 

Das 4-Eck und 8-Eck 

Herbert Henning, Christian Hartfeldt Muster, Flächen, Parkettierungen








Sechseck 






Dieses Verfahren ist auch als 3er Serie bekannt. Die 

Bestimmungsdreiecke sind gleichseitig. Somit muss eine Seite so 

lang sein, wie der Radius. Das Sechseck erhält man aus dem 

gleichseitigen Dreieck, indem man die übernächsten Ecken 

verbindet. Fällt man die Lote, so erhält man das Zwölfeck. 

Das 3-Eck, 6-Eck und 12-Eck 










Zehneck 






Dieses Verfahren ist auch als 5er Serie bekannt. In dem 

Bestimmungsdreieck für das Zehneck stellt man fest, dass die 

Dreiecke ∆MAB und ∆ABT ähnlich sind. Es gilt somit 

M 

r 

s 

r 

s 

T 

A 

B 

s 

Das Bestimmungsdreieck ∆MAB 










Zehneck 






r 

s = s 

r 

) 2 ( r 

) 2 ( r 2 ( 

r − s ⇔ r 2 −rs = s 2 ⇔ r +( 2 = s 2 +rs+ ⇔ r 2 + = s + 

2 

2 

2) r ) 

2 

r, r 2 und s + r 2 

lassen sich nach dem Satz von Pythagoras als 

Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks deuten. Die Konstruktion der 

Seite s des Zehnecks, bei bekanntem Umkreisradius, entnehme 

man der Zeichnung. 

Zur Konstruktion des Zehnecks 










Zehneck 






Auch hier wieder ist das Zehneck Ausgangsfigur für das 5- und 

20-Eck. 

⊙ 

⊙ 

Das 5-Eck und 10-Eck 
















⊙ 

Der Unterschied zwischen einbeschriebenem und umbeschriebenem n-Eck am 

Beispiel des Fünfecks 















Aus den Zeichnungen liest man sofort für das Sechseck 

Die Seitenlänge für das Viereck, Sechseck und Zehneck 















s 6 = 1, 

für das Viereck 

s 4 = √ 2 

und für das Zehneck gilt 

( ) 1 2 ( 

1 + = s 10 + 1 2 

√ 

5 − 1 

⇒ s 10 = . 

2 

2) 

2 

Erstaunlich hierbei ist, dass die Länge von s 10 das Verhältnis des 

Goldenen Schnittes darstellt. 
















Auch hier werden die Ähnlichkeitssätze für die Seite t n angewandt. 

Es gilt 

t n : s n = 1 : c n 

2 ⇒ t n = 2 s n 

. 

c n 

Darstellung der Höhe 
















Theorem 

Eine lückenlose Parkettierung ohne Überschneidungen ist nur mit 

den regulären n-Ecken für n = 3, 4, 6 möglich. 










Inhalt 

”Entdeckungen” am Escher-Parkett ”Reptilien” 

Geometrische Betrachtungsweise 

Realisierung der Knüpfmuster 

















Escher 




Das zentrale mathematische Thema von M. C. Escher war die 

regelmäßige Flächenaufteilung“. 

” 

Eine Fläche, die man sich nach allen Seiten unbegrenzt fortgesetzt 

vorstellen muss, kann nach einer beschränkten Zahl von 

bestimmten Systemen bis ins Unendliche aufgefüllt werden oder 

aufgeteilt werden in gleichförmige mathematische Figuren, die sich 

an allen Seiten begrenzen ohne das leere Stellen“übrigbleiben. 

” 

In mathematischer Sprechweise handelt es sich bei den 

regelmäßigen Flächenaufteilungen“um Parkette. Dabei ist ein 

” 

Parkettstein, (bei Escher ein Motiv“) eine beliebige Teilmenge 

” 

der Ebene, die sich durch umkehrbare stetige Deformation aus 

einer abgeschlossenen Kreisscheibe herstellen lässt, die also zu 

einer solchen Kreisscheibe homöomorph ist. 













Bei der abgebildeten Symmetriezeichnung Nr. 25 Eschers hat der 

einzelne Parkettstein die Form eines Reptils. Offensichtlich überdecken 

diese Reptilien die Ebene lückenlos und überlappungsfrei und das Muster 

ist in zwei verschiedenen Richtungen periodisch, was man mühelos an 

den Richtungen erkennt, in denen sich jeweils Tiere gleicher Farbe 

wiederholen. Weiterhin kann man offensichtlich jedes Tier einer 

bestimmten Farbe durch eine Parallelverschiebung des gesamten Musters 

auf jedes vorgegebene Tier derselben Farbe abbilden. Weiterhin lassen 

120 ◦ -Drehungen um jeden Punkt, an dem jeweils drei Pfoten, Knie oder 

Köpfe verschiedenfarbiger Tiere zusammenstoßen, das gesamte Muster 

(unter Vernachlässigung der Färbung!) unverändert. Daher läßt sich 

auch jedes Tier einer Farbe auf jedes benachbarte Tier einer anderen 

Farbe abbilden. Damit lässt sich aber durch Nacheinanderanwendung 

beider Symmetrieabbildungen jedes Tier auf jedes andere abbilden. Es 

handelt sich also tatsächlich um ein Parkett. 













Reptilien 














Man kann die Punkte auf dem Rand eines einzelnen Parkettsteins 

danach bewerten, zu wie vielen verschiedenen Parkettsteinen im 

Parkett sie gehören. Man bezeichnet Punkte, die zu mindestens 

drei verschiedenen Parkettsteinen gehören, als Eckpunkte und 

Punkte, die zu zwei Parkettsteinen gehören, als Kantenpunkte. 

Eine Kante ist dann eine zusammenhängende Linie aus 

Kantenpunkten, die genau zwei Eckpunkte miteinander verbindet. 













An einer Kante stoßen also genau zwei Parkettsteine aneinander. 

Das System aus Kanten und Ecken eines Parketts kann man sich 

sehr gut als ” 

Netz“vorstellen mit den Eckpunkten als ” 

Knoten“. 

Umläuft man nun einen einzelnen Parkettstein (etwa im 

Uhrzeigersinn) und notiert für jeden Eckpunkt seinen Wert, so 

erhält man eine Sequenz von natürlichen Zahlen, die bis auf 

zyklische Vertauschungen für alle Parkettsteine desselben Parketts 

dieselbe ist. Man bezeichnet diese Sequenz auch als Knüpfmuster 

des betreffenden Parketts. 














Es gibt 11 verschiedene Knüpfmuster. Knüpfmuster durch 

Parkettsteine. 













Tag und Nacht 













Begegnung 













Engel und Teufel 










Inhalt 


















Die Penrose-Parkettierung besteht aus unzählig vielen, zwei 

verschiedenen großen Rauten. Das Penrose-Parkett nach seinem Erfinder, 

dem britischen Physiker Robert Penrose benannt, der 1974 entdeckte, 

dass man mit nur zwei geometrischen Formen anhand weniger, 

bestimmten Regeln der Zusammensetzung eine unendlich große Fläche 

mit unendlich vielen Kombinationen bedecken konnte, ohne dass sich 

einzelne Teilausschnitte je wiederholten. In diesem Zusammenhang muss 

beachtet werden, dass sich gewöhnliche Muster auf einer unendlichen 

Fläche unendlich oft wiederholen und somit die Eigenschaft besitzen, 

dass sie symmetrisch und periodisch sind. Die Penrose-Parkette sind 

unsymmetrisch und aperiodisch, da sie einzelne sehr symmetrische 

Kleinbereiche aufweisen, aber größere gleichende Flächen nie auftreten. 










Wir betrachten nun, wie man aus einem Zehneck eine Penrosefigur 

konstruieren kann. 

1 Zunächst wird das reguläre Zehneck konstruiert. 

Das reguläre Zehneck 










2 Konstruktion der fünf schmalen Rauten. Der Winkel der Raute 

muss 36 ◦ besitzen und der weitere Winkel 180 ◦ − 36 ◦ = 44 ◦ . 

Das reguläre Zehneck mit fünf 36 ◦ -Rauten 










3 Die restlichen fünf Rauten ergeben sich dann durch 

Parallelverschiebung. Dabei gilt 360◦ 

5 

= 72 ◦ , also 

72 ◦ = 180 ◦ − 3 · 36 ◦ und 108 ◦ = 180 ◦ − 72 ◦ . 

Das reguläre Zehneck mit fünf 36 ◦ -Rauten und fünf 72 ◦ -Rauten 










Führt man diese Konstruktion mehrfach aus und legt die Parkette 

aneinander, so stellt man fest, dass von sechs verschiedenen 

Parkettierungen fünf achsensymmetrisch sind. 










Das Penroseparkett 

Man spricht von fünfzähliger Rotationssymmetrie. Aus diesen 

Überlegungen folgt, dass es für das reguläre Zehneck sechs 

mögliche Parkettierungen gibt. 










Wir betrachten nun weitere n-Ecke. Hierbei gehe man genauso vor 

wie bei der Konstruktion des Zehnecks. Man erhält für den Winkel 

der Rauten 360◦ 

n 

. Dieses sind die schmalen Rauten, für die die 

Winkel 360◦ 

n 

und 180 ◦ − 360◦ 

n 

betragen. Eine weitere Raute passt 

an zwei solche schmalen Rauten, welche die Winkel 

( n 360◦ 

2 

− 3) · 

n 

= 180 ◦ − 1080◦ 

n 

und 180 ◦ − ( n 360◦ 

2 

− 3) · 

n 

= 1080◦ 

n 

besitzen. 










Es ergibt sich 

360 ◦ 

n 180 ◦ − 360◦ 180 ◦ − 1080 1080 

n 

n 

n n 

3 120 ◦ 60 ◦ −180 ◦ 360 ◦ 

4 90 ◦ 90 ◦ −90 ◦ 270 ◦ 

5 72 ◦ 108 ◦ −36 ◦ 216 ◦ 

6 60 ◦ 120 ◦ 0 ◦ 180 ◦ 

7 51.4 ◦ 128.6 ◦ 25.7 ◦ 154.3 ◦ 

8 45 ◦ 135 ◦ 45 ◦ 135 ◦ 

9 40 ◦ 140 ◦ 60 ◦ 120 ◦ 

10 36 ◦ 144 ◦ 72 ◦ 108 ◦ 










Hierbei stellt man folgendes fest: 

Für gerades n sind die betrachteten Winkel bei den 

anstoßenden Rauten Vielfache voneinander. 

Dieses ist bei ungeraden n nicht mehr der Fall (wird im 

Folgenden nicht weiter betrachtet). 

Dividiert man die Winkel 180 ◦ − 1080◦ 

n 

durch 360◦ 

n 

so stellt 

man fest, dass eine ganzzahlige Zahl entsteht. 










Bei der Konstruktion des Penrose Parketts beginne man mit den 

beiden schmalen Rauten und füge dann n − 3 weitere hinzu. In die 

dabei entstehenden Zwischenräume passe n − 2 Rauten mit dem 

spitzen Winkel 360 ◦ − 2(180 ◦ − 180◦ 

n 

stumpfen Winkel 180 ◦ − 2 · 180◦ 

n 

) = 360◦ 

n 

= (n − 2) 180◦ 

= 2 · 180◦ 

n 

n . 

und dem 










Damit erhält man zwischen den Winkeln zweier Rauten bei 

2n-Ecken folgenden Zusammenhang 

n 

360 ◦ 

2n = 180◦ 

n 

180 ◦ − 1080◦ 

2n 

= 180◦ − 540◦ 

n 

Vielfachfaktor 

4 45 ◦ 45 ◦ 1 

5 36 ◦ 72 ◦ 2 

6 30 ◦ 90 ◦ 3 

7 25.7 ◦ 102.9 ◦ 4 

8 22.5 ◦ 112.5 ◦ 5 










In den entstehenden Zwischenräumen der n − 2 Rauten passen 

wieder n − 3 Rauten u. s. w. Weitere Möglichkeiten erhält man 

durch Drehen der Flächen. Insgeamt benötigt man somit n(n−1) 

2 

Puzzle. 










Puzzle-Belegungen des regulären 8-, 10-, 12-, 14-, 16- und 18-Ecks 










Inhalt 

Geometrie und Tangram - eine interessante Aufgabe 



















Unter den vielen in Europa beliebten Legespielen nimmt das 

Tangram eine besondere Stellung ein. Während zum Beispiel beim 

Puzzle ein Bild aus vielen ganz verschieden geformten Teilen 

zusammengesetzt wird und die Schwierigkeit hauptsächlich von der 

Teilezahl abhängt, bleibt die Anzahl der Teile beim Tangram 

immer gleich und ihre Formen ändern sich nicht. Das Spiel besteht 

aus 7 einfachen geometrischen Formen, die sich durch die 

Unterteilung eines Quadrats ergeben. Schon dieses Quadrat 

nachzulegen, ist ohne die Auflösung nicht einfach. 











Die Regeln sind einfach: Für alle Vorlagen werden immer alle 7 

Formen verwendet, auch wenn dies manchmal einiges 

Kopfzerbrechen bereitet. Das Spiel entfaltet sich ausschließlich in 

der Fläche; die Formen werden also nie übereinandergelegt. Dabei 

muss das Vorbild ganz genau getroffen werden. 











Sieben Teile des Tangrams als Quadrat 











Sieben Teile des Tangrams 













































Unter den sieben Tangram-Teilen befinden sich drei verschiedene 

große Dreiecke. Nun läßt sich ein weiteres Dreieck aus folgenden 

vier Teilen legen: Dem großen Dreieck, zwei kleineren Dreiecken 

und dem Quadrat. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

❅ 

❅ 

❅ 

❅❅ 

❅ 

❅❅ 

❅ 

❅❅ 











Kannst Du ein weiteres Dreieck der gleichen Größe auch aus 

den folgenden Teilen legen: 

Einem großen Dreieck, zwei kleinen Dreiecken und dem 

Parallelogramm? (zwei Ergebnisse) . . . 

Einem großen Dreieck, dem mittleren Dreieck und zwei 

kleineren Dreiecken? 

Läßt sich ein Dreieck auch aus nur zwei Teilen . . . drei Teilen 

. . . fünf Teilen . . . sechs Teilen . . . allen sieben Teilen 

zusammenlegen? 

Es ist offensichtlich, daß man mit allen sieben Teilen ein 

Quadrat legen kann. Wie sieht es jedoch aus, wenn man nur 

zwei Teile benutzen will? . . . drei Teile? . . . 

Aus welchen verschiedenen Teilen lassen sich Rechtecke legen? 

Welche weiteren Vielecke lassen sich noch konstruieren? 











Lernbezogene Einsatzmöglichkeiten des Tangrams sind: 

Kreativer Umgang mit Flächenformen (Offenheit durch freies 

Legen); 

Erkennen einfacher Flächenformen; 

Grundformen umfahren (Zeichnen mit Schablone), 

nachzeichnen und ausschneiden; 

Formenkundliches Kategorisieren (Sortieren, Beschreiben von 

Eigenschaften, Unterscheiden von Form und Größe, 

Benennen); 

Figuren auslegen (= Belegen einer begrenzten 

Fläche/Umrissfigur), auch Umlegen, Auffinden mehrerer 

Möglichkeiten; 

Figuren/Muster fortsetzen/vervollständigen; 











Legen nach Anweisung (z. B. aus gegebenen Teilen die 

Flächenformen Rechteck, Dreieck, Quadrat, Viereck legen); 

Figuren nach Vorlage legen (evtl. nur Umrissfigur gegeben); 

Erlernen geometrischer Grundbegriffe (Ecke, Winkel, Kante, 

Seite, rechtwinklig); 

Längenbetrachtungen (z. B. Welche Seiten passen genau 

aneinander?); 

Längenmessung; 

Erkennen von Zusammenhängen zwischen Figuren (z. B. zwei 

Dreiecke bilden Quadrat; Figur in Figur); 

Vergleich ähnlicher und kongruenter Figuren (z. B. 

gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke); 

Vorbereitung der zentrischen Streckung durch Vergleich 

verschieden großer Formen; 











Erarbeitung des Symmetriebegriffs: 

Symmetrie mit Hilfe eines Spiegels herausfinden; 

Spiegelbildliches Nachlegen von Tangramfiguren; 

Heraussuchen der symmetrischen Tangramfiguren (z. B. 

Zwillingstangrame) und Einzeichnen der Spiegelachse; 

Zeichnen von Tangramfiguren auf Karopapier und Spiegelung 

an der Achse; 

Erfassen der Begriffe Symmetrie, Parallelität, Geradlinigkeit, 

Klappen, Drehen, Verschieben; 











Erarbeitung des Flächeninhaltsbegriffs: 

Messen“einer Fläche durch Auslegen mit Einheitsflächen; 

” 

Flächengleichheit bei Formverschiedenheit; 

Unterscheidung Flächeninhalt (kann mit flacher Hand 

bestrichen werden) und Flächenumfang (= Randlinie, mit dem 

Finger nachzufahren); 

Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens, des 

vorausschauenden Denkens, der Formauffassung, 

Formunterscheidung und Formcharakterisierung als 

Vorbereitung auf den späteren Geometrieunterricht. 










Inhalt 

Parkettieren mit Vielecken 

Parkettieren mit krummlinig begrenzten Formen 




















Parkettierungen ist ein einfaches, lückenloses, 

überschneidungsfreies Auslegen der Ebene mit deckungsgleichen 

Figuren. Das bedeutet, dass genau eine Flächenform verwendet 

wird. Ein zusätzliches Merkmal einer Parkettierung ist die 

theoretisch unendliche Fortsetzbarkeit. Beim Parkettieren steht vor 

allem die Idee des Passens im Vordergrund, indirekt auch die des 

Messens. 













Mit jedem beliebigen Dreieck ist das Parkettieren möglich. 

Beachtung finden dann zusammenpassende Seitenlängen und die 

Winkelsumme des Dreiecks von 180 ◦ . 

Ebenso kann mit jedem beliebigen — außer mit einem 

überschlagenden — Viereck parkettiert werden, da die 

Winkelsumme 360 ◦ beträgt. 

Erste Einschränkungen erlebt man mit Fünfecken. So gibt es 

gerade eine einzige gleichseitige Fünfecksform, mit der eine 

Parkettierung möglich ist, mit folgenden Innenwinkeln: zwei rechte 

Winkel, zwei Winkel von 114.3 ◦ und ein Winkel von 131.4 ◦ . 

Weiter eignet sich nur das regelmäßige Sechseck zum Parkettieren. 

Mit anderen Vielecken ist das Parkettieren nicht möglich. 
























Ausgehend von Polygonen lassen sich nach bestimmten Regeln 

krummlinig begrenzte Formen entwerfen, die sich zum Parkettieren 

eignen. Als einfachste Regel bietet sich die Verschiebung an, 

welche bei Polygonen angewendet wird, deren gegenüberliegende 

Seiten parallel und gleich lang sind. 

Die ” 

Knabber-Technik“besteht darin, dass man in einer Ecke 

beginnend mit der Schere in die Figur schneidet und bei einer 

benachbarten Ecke endet. Das abgeschnittene Stück wird 

anschließend zur gegenüberliegenden Seite verschoben, bis sich die 

ursprünglichen Außenkanten berühren, welche mit einem Stück 

Klebeband verbunden werden. Schließlich schneidet man 

entsprechend ein zweites Mal. Eine Variante ist das Schneiden von 

einer Seite zur gegenüberliegenden, statt in den Ecken zu beginnen. 























Eine zweite Transformationsregel, die Drehung, kann bei 

Polygonen angewendet werden, die gleich lange benachbarte Seiten 

besitzen, also bei Quadrat, gleichseitigem Dreieck oder Raute, 

Drachen und Sechseck. Dabei wird ebenfalls an einer Seite von 

Ecke zu Ecke ein Stück herausgeschnitten, nun aber um einen 

Eckpunkt gedreht und an der anderen Seite wieder angeklebt. 












Die technisch schwierigste Veränderung ist die Drehung um den 

Seitenmittelpunkt, z. B. bei einem Dreieck. Zunächst muss der 

Mittelpunkt einer Seite durch Messen oder Falten ermittelt werden. 

Dann wird von einem Eckpunkt ausgehend bis zu diesem 

Mittelpunkt ein Stück abgeschnitten und durch eine Drehung um 

den Seitenmittelpunkt an der gleichen Seite angelegt. Dies kann für 

alle Seiten mit unterschiedlichen Kurvenstücken wiederholt werden. 























Zwei verschieden große Quadrate? 












Sechsecke und Dreiecke? 











































Inhalt 

Zerlegungsbeweis des Satzes von Pythagoras nach Göpel 

Zerlegungsbeweis des Satzes von Pythagoras nach Perigal 

Zerlegung eines Quadrates u. eines 8-Eckes mit gleichen Puzzlest 

















Entdeckungen zu Parkettierungen 




Auslegung eines Badezimmerbodens mit quadratischen Fliesen 

( ” 

Q-Muster“) 













Die Auslegung der Ebene mit Quadraten gehört sicherlich zu den 

langweiligen“Mustern. Abwechselungsreicher wirkt die 

” 

Parkettierung mit zwei unterschiedlich großen Quadraten 

( guk-Muster“) 

” 













Insgesamt ” 

ruhiger“wirkt die Parkettierung der Ebene mit 

Achtecken und Quadraten mit gleich großen Seitenlängen 

( ” 

A-Q-Muster“) 













Zerlegungsbeweis des Satzes vom Pythagoras (1) 

1 Herstellung eines Q-Musters, bei dem die Fläche eines 

Quadrates gerade so groß ist wie die beiden Flächen der 

guk-Musters. Für die Seitenlänge c des Q-Musters und 

Seitenlänge a und b der beiden Quadrate gilt a 2 + b 2 = c 2 . 

2 Überlagerung der beiden Raster führt zu zwei Puzzle-Beweisen 

des Satzes von Pythoagoras. 













Man sieht, dass das Q-Muster im guk-Muster fünf Flächenstücke 

abtrennt, ein Viereck und vier rechtwinklige Dreiecke. Dies 

bedeutet, dass sich das Hypotenusenquadrat zusammensetzen lässt 

durch fünf Puzzlestücke. Man muss nur das kleinere 

Kathetenquadrat nach rechts verschieben und erhält die 

Pythagoras-Satz-Figur nach Göpel. 













Zerlegungsbeweis des Satzes vom Pythagoras (2) 

Man kann das Q-Muster aber auch so über das guk-Muster legen, 

dass sich das kleine Quadrat vollständig innerhalb eines Quadrates 

des Q-Musters befindet. 













Die so entstehenden fünf Puzzlestücke ergeben genau die 

Parkettierung des Hypotenusenquadrats, wie sie im Perigalschen 

Zerlegungsbeweis des Satzes von Pythagoras vorgeschlagen wird. 

Das kleinere Kathetenquadrat wird unzerlegt als Puzzlestück für 

die Parkettierung des Hypothenusenquadrats verwendet, das 

größere Kathetenquadrat wird in vier - im symmetrischen Fall 

gleich große - Vierecke zerlegt. 













Man kann das Q-Muster auch parallel zu den Quadratseiten 

verschieben: Solange sich die kleinen Quadrate des guk-Musters 

innerhalb der Quadrate des Q-Musters befinden, ergibt sich eine 

Zerlegung im Sinne Perigals. 













Zerlegung eines Quadrates und eines 8-Eckes mit gleichen 

Puzzlestücken 

Man wählt die Seitenlänge so, dass die kleinen Quadrate in beiden 

Mustern gleich groß sind und die großen Quadrate und die 

Achtecke gleine Flächeninhalte besitzen. 

Flächeninhalt des Achteckes: 

A = a 2 + 4 · 1 

2 · 

( a √2 

) 2 

+ 4 · a · 

a 

√ 

2 

= a 2 · (2 + 2 √ 2). 

Seitenlänge s des flächengleichen großen Quadrates: 

√ 

s = a · 2 + 2 √ 2. 













Die Muster können so aufeinander gebracht werden, dass die Mitte 

eines kleinen Quadrats des guk-Musters und die Mitte des 

Achteckes aufeinander fallen und auch die Mitte des Quadrats aus 

dem Achteck-Quadrat-Raster mit der Quadratmitte des großen 

Qzadrats des guk-Musters 










Inhalt 


















Beispiel 

Bestimme von einem Zwölfeck die Summe der Innenwinkel und 

kannst du ein n-Eck angeben, bei dem die Winkelsumme 17640 ◦ 

beträgt? Bestimme von diesem n-Eck die Innenwinkel! 

Lösung: Wie man leicht sieht gilt (12 − 2) · 180 ◦ = 1800 und das 

gesuchte n-Eck ist ein Zehneck mit den Innenwinkel µ = 176.4 ◦ . 










Beispiel 

Wie viel Symmetrieachsen hat ein n-Eck und beschreibe die Lage 

der Achsen. Welche n-Ecke sind punktsymmetrisch? 

Lösung: Ein regelmäßiges n-Eck hat n Symmetrieebenen. Falls n 

gerade, dann sind n 2 Mittelsenkrechten und n 2 Winkelhalbierende 

die Symmetrieachsen. Falls n ungerade, dann fallen die 

Mittelsenkrechten und die Winkelhalbierenden zusammen. Ist n 

gerade, dann sind diese n-Ecke punktsymmetrisch. 










Beispiel 

Das 51-Eck lässt sich über das 17-Eck und das gleichseitige 

Dreieck konstruieren, das 85-Eck über das 17-Eck und das 

Fünfeck. Gesucht sind die Gleichung für die Konstruktion des 

Mittelpunktswinkels ohne das eine Konstruktion ausgeführt 

wird. 

Lösung: Man sieht 360◦ 

51 

= 6 360◦ 

17 − 1 360◦ 

3 

und 

360 ◦ 

85 

= 7 360◦ 

17 − 2 360◦ 

5 .

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