10.3 Statische Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente

10.3
10.3 Statische Momente, Schwerpunkte
und Trägheitsmomente
Statisches Moment M g eines Massenpunktes P (der
Masse m) bezüglich einer Geraden g:
M g := ml
”Masse × Hebelarm”
l ∼ Abstand von P zu g
P
g ❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍
✁ ✁✁✁✁ l
90 ◦
✁
❍
Bei n Massenpunkten P i (x i , y i ) der Masse m i ,
i = 1, . . . , n:
∑
M g = n m i l i , l i ∼ (vorzeichenbehafteter)
i=1
Abstand von P i zu g
Speziell:
∑
M x := n m i y i statisches Moment bzgl. x-Achse
i=1
M y := n ∑
i=1
m i x i statisches Moment bzgl. y-Achse
1

10.3
Statisches Moment eines ebenen, mit Masse
belegten Kurvenbogens B bezüglich der Koordinatenachsen
(Dichte [Masse pro Längeneinheit] sei konstant = 1, d. h.
Masse eines Bogenstückes = Länge dieses Bogenstückes):
y
✻
Q k−1
❄ Q k
y = f(x)
Kurvenbogen B :=
x 0
a
x k−1 ξ k
{ ( x
)
f(x)
∣
x k
✲
x n x
b
}
a ≤ x ≤ b .
Sei {Z n } eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von [a, b].
Z n : a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b
Betrachte das Sehnenpolygon, welches durch die Punkte
( xk
f(x k ))
, k = 0, . . . , n, verläuft, yk := f(x k ).
2

10.3
Statisches Moment M x von B bzgl. x-Achse:
M x ≈
n ∑
k=1
l k △s k , △s k = √ (x k − x k−1 ) 2 + (y k − y k−1 ) 2
√
( )
yk − y 2
k−1
= 1 +
(x k − x k−1 )
x k − x k−1
= √ 1 + f ′2 (ξ k ) · (x k − x k−1 ),
MW S, x k−1 < ξ k < x k
M x = lim
n→∞
n∑
k=1
f(ξ k ) √ 1 + f ′2 (ξ k )(x k − x k−1 )
(gewählt: l k = f(ξ k ))
M x =
∫ b
a
f(x) √ 1 + f ′2 (x) dx
} {{ }
ds
=
∫ s b
s a
y ds
analog:
Statisches Moment M y von B bzgl. y-Achse:
n∑
M y = lim ξ k △s k
n→∞
k=1
M y =
∫ b
x √ 1 + f ′2 (x) dx =
∫ s b
x ds
a
s a
3

10.3
Beispiel:
Statische Momente des Halbkreisbogens
x 2 + y 2 = r 2 , y ≥ 0 bzgl. der Koordinatenachsen:
−r
M x =
=
M y =
y
∫ s b
✻
S
x = r cos t,
y = r sin t,
r
✲
x
ẋ = −r sin t
ẏ = r cos t
0 ≤ t ≤ π
s a
y ds , ds = √ ẋ 2 + ẏ 2 dt = r dt
∫ π
0
r 2 sin t dt
= −r 2 cos t
∫ s b
s a
x ds =
∣
π
0
∫ π
0
= r 2 (1 − (−1)) = 2r 2
r 2 cos t dt = r 2 sin t
∣
π
0
= 0
Anschaulich:
Halbkreis ist bzgl. y-Achse im Gleichgewicht; bzgl. der
x-Achse hat er das Moment M x = 2r 2 und könnte durch
eine im Schwerpunkt
S(x s = 0, y s = 2 r) angebrachte Punktmasse der Masse
π
πr ersetzt werden.
4

10.3
Als Schwerpunkt S(x s , y s ) eines Kurvenbogens C wird
der Punkt bezeichnet, der dieselben statischen Momente
besitzt wie C, wenn in ihm die gesamte Masse m von C
vereinigt wird.
→ M x = y s · m, M y = x s · m, m =
∫ s b
s a
ds
→
∫s b
x s = M x ds
y
m = s a
∫s b
ds
s a
∫s b
, y s = M y ds
x
m = s a
∫s b
ds
s a
Beispiel:
Schwerpunkt des oberen Halbkreisbogens:
m =
∫ π
√ẋ2
+ ẏ 2 dt =
∫ π
rdt = πr
0
Bogenlänge des Halbkreises
0
x s = M y
πr
y s = M x
πr
= 0
πr
= 2r2
πr
= 0
= 2 π r ≈ 0, 63662r 5

10.3
Statisches Moment einer ebenen Fläche:
Die Fläche F zwischen den beiden Kurven
y = f(x) und y = g(x) im Intervall a ≤ x ≤ b (wobei
f ≥ g in [a, b] vorausgesetzt werde) sei homogen mit
Masse (der konstanten Dichte 1) belegt.
Ausgezeichnete Zerlegungsfolge Z n :
a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b
ξ k := x k−1 + x k
sei Mittelpunkt des k-ten Teilintervalls
2
△x k := x k − x k−1 . Das Rechteck R k mit Breite
△x ( k und Höhe f(ξ k ) − g(ξ k ) besitzt den Schwerpunkt
ξ k , f(ξ )
k) + g(ξ k )
und die
2
statischen Momente
m k x
= f(ξ k) + g(ξ k )
} {{ 2 }
Abstand
zur x-Achse
· (f(ξ k ) − g(ξ k )) △x k
} {{ }
Masse von R k
bzgl. x-Achse
m k y
= ξ
} {{ k
}
Abstand
zur y-Achse
· (f(ξ k ) − g(ξ k )) △x k
} {{ }
Masse von R k
bzgl. y-Achse
6

10.3
Statisches Moment von F zur x-Achse:
M x = lim
n→∞
n∑
k=1
m k x = 1 2
∫ b
a
(
f 2 (x) − g 2 (x) ) dx
Statisches Moment von F zur y-Achse:
M y = lim
n→∞
n∑
k=1
m k y =
∫ b
a
x (f(x) − g(x)) dx
Schwerpunkt S(x s , y s ) der Fläche F :
x s = M y
A , y s = M x
A ,
wobei A :=
∫ b
a
(f(x) − g(x)) dx ∼ Fläche von F .
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Trägheitsmomente
10.3
Sei X (t) := ( x(t)
y(t))
, 0 ≤ t ≤ t0 , die Bahnkurve eines
Massenpunktes P der Masse m
(X (t) ∼ Ortsvektor von P zur Zeit t).
Geschwindigkeit V(t) von P :
V (t) := lim
△t→0
X (t + △t) − X (t)
△t
=
(ẋ(t) )
ẏ(t)
E k := m 2 v2 ist die kinetische Energie von P : wobei
v = ||V(t)||.
Speziell: Rotation von P auf einem Kreis mit
(konstantem) Radius r und Mittelpunkt 0:
x(t) = r cos ϕ(t), ẋ(t) = (−r sin ϕ(t)) ˙ϕ(t)
y(t) = r sin ϕ(t), ẏ(t) = (−r cos ϕ(t)) ˙ϕ(t)
ω(t) = ˙ϕ(t) ∼ Winkelgeschwindigkeit
E k = m 2 v2
= m 2
= m 2 r2 ˙ϕ 2 (t)
(ẋ2
(t) + ẏ 2 (t) )
= 1 2 mr2 }{{} · ω2 (t)
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10.3
Θ := mr 2 heißt Trägheitsmoment des materiellen
Punktes P mit Masse m bzgl. einer festen Achse;
r ist der Abstand von P zur Achse.
Θ := N ∑
i=1
m i ri 2 ∼ Trägheitsmoment von N
Punkten P 1 , . . . , P N in den
Abständen r 1 , . . . , r N von der
Drehachse mit den Massen
m 1 , . . . , m N .
Trägheitsmomente eines homogenen { mit Masse
(
belegten Kurvenbogens B = x
f(x)) ∣ }
∣∣ a ≤ x ≤ b
(mit konstanter Massendichte = 1):
Ausgezeichnete Zerlegungsfolge Z n :
a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b
Betrachte das Sehnenpolygon, welches durch die Punkte
( xk
f(x k ))
verläuft, k = 0, . . . , n.
Trägheitsmoment von B bzgl. x-Achse:
Θ x ≈
n ∑
k=1
r 2 k · △s k, △s k = √ (x k − x k−1 ) 2 + (y k − y k−1 ) 2
√
( )
yk − y 2
k−1
= 1 +
(x k − x k−1 )
x k − x k−1
= √ 1 + f ′2 (ξ k ) · (x k − x k−1 ),
MW S, x k−1 < ξ k < x k
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10.3
Θ x = lim
n→∞
n∑
k=1
f 2 (ξ k ) √ 1 + f ′2 (ξ k ) (x k − x k−1 )
(gewählt: r k = f(ξ k ))
Θ x =
∫ b
f 2 (x) √ 1 + f ′2 (x) dx =
∫ s b
y 2 ds
a
s a
Analog: Trägheitsmoment von B bzgl. y-Achse:
Θ y = lim
n→∞
n∑
k=1
ξ 2 k√
1 + f
′2
(ξ k ) (x k − x k−1 )
Θ y =
∫ b
x 2√ 1 + f ′2 (x) dx =
∫ s b
x 2 ds
a
s a
10

10.3
Beispiel: Trägheitsmoment des Zykloidenbogens
{ (x ) ∣ B = ∣∣ x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π}
y
bzgl. der x-Achse
ẋ = a(1 − cos t), ẏ = a sin t,
ẋ 2 + ẏ 2 = a 2 (1 − cos t) 2 + a 2 sin 2 t
= 2a 2 (1 − cos t)
Θ x =
=
∫ s 1 ∫ 2π
s 0
y 2 ds =
0
∫ 2π
y 2√ ẋ 2 + ẏ 2 dt
[a(1 − cos t)] 2 √2a 2 (1 − cos t) dt
0
= a 3√ 2
∫ 2π
0
= a 3 √ 2 · 2 5 2
} {{ }
8
(1 − cos t) 5 2 dt
1 − cos t = 1 − cos 2 t 2 + t
sin2 2 = 2 t
sin2 2
∫ 2π
0
sin 5 t
2 dt, sin t 2
≥ 0 für 0 ≤ t ≤ 2π
11

10.3
Erinnerung:
∫
∫
sin n x dx = − 1 n sinn−1 x cos x + n − 1 ∫
sin n−2 x dx
n
sin 5 x dx = − 1 5 sin4 x cos x + 4 ∫
sin 3 x dx
5
⎡
= − 1 5 sin4 x cos x + 4 ⎢
5 ⎣ −1 3 sin2 x cos x + 2 ∫
3
= − cos x
15
(
3 sin 4 x + 4 sin 2 )
x + 8 + C
⎤
sin x dx⎥
⎦
} {{ }
− cos x
Das ergibt:
Θ x = 8a 3 · 2
Θ x = 16a3
15
[
− cos t 2
15
(3 sin 4 t 2 + 4 sin2 t 2 + 8 )] 2π
[−(−1) · 8 + 8] =
256
15 a3 12
0