10.3 Statische Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente

10.3
Beispiel:
Statische Momente des Halbkreisbogens
x 2 + y 2 = r 2 , y ≥ 0 bzgl. der Koordinatenachsen:
−r
M x =
=
M y =
y
∫ s b
✻
S
x = r cos t,
y = r sin t,
r
✲
x
ẋ = −r sin t
ẏ = r cos t
0 ≤ t ≤ π
s a
y ds , ds = √ ẋ 2 + ẏ 2 dt = r dt
∫ π
0
r 2 sin t dt
= −r 2 cos t
∫ s b
s a
x ds =
∣
π
0
∫ π
0
= r 2 (1 − (−1)) = 2r 2
r 2 cos t dt = r 2 sin t
∣
π
0
= 0
Anschaulich:
Halbkreis ist bzgl. y-Achse im Gleichgewicht; bzgl. der
x-Achse hat er das Moment M x = 2r 2 und könnte durch
eine im Schwerpunkt
S(x s = 0, y s = 2 r) angebrachte Punktmasse der Masse
π
πr ersetzt werden.
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