10.3 Statische Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente

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10.3 Beispiel: Statische Momente des Halbkreisbogens x 2 + y 2 = r 2 , y ≥ 0 bzgl. der Koordinatenachsen: −r M x = = M y = y ∫ s b ✻ S x = r cos t, y = r sin t, r ✲ x ẋ = −r sin t ẏ = r cos t 0 ≤ t ≤ π s a y ds , ds = √ ẋ 2 + ẏ 2 dt = r dt ∫ π 0 r 2 sin t dt = −r 2 cos t ∫ s b s a x ds = ∣ π 0 ∫ π 0 = r 2 (1 − (−1)) = 2r 2 r 2 cos t dt = r 2 sin t ∣ π 0 = 0 Anschaulich: Halbkreis ist bzgl. y-Achse im Gleichgewicht; bzgl. der x-Achse hat er das Moment M x = 2r 2 und könnte durch eine im Schwerpunkt S(x s = 0, y s = 2 r) angebrachte Punktmasse der Masse π πr ersetzt werden. 4
10.3 Als Schwerpunkt S(x s , y s ) eines Kurvenbogens C wird der Punkt bezeichnet, der dieselben statischen Momente besitzt wie C, wenn in ihm die gesamte Masse m von C vereinigt wird. → M x = y s · m, M y = x s · m, m = ∫ s b s a ds → ∫s b x s = M x ds y m = s a ∫s b ds s a ∫s b , y s = M y ds x m = s a ∫s b ds s a Beispiel: Schwerpunkt des oberen Halbkreisbogens: m = ∫ π √ẋ2 + ẏ 2 dt = ∫ π rdt = πr 0 Bogenlänge des Halbkreises 0 x s = M y πr y s = M x πr = 0 πr = 2r2 πr = 0 = 2 π r ≈ 0, 63662r 5
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Seite 3: 10.3 Statisches Moment M x von B bz
Seite 7 und 8: 10.3 Statisches Moment von F zur x-
Seite 9 und 10: 10.3 Θ := mr 2 heißt Trägheitsmo
Seite 11 und 12: 10.3 Beispiel: Trägheitsmoment des

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