10.3 Statische Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente

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Trägheitsmomente 10.3 Sei X (t) := ( x(t) y(t)) , 0 ≤ t ≤ t0 , die Bahnkurve eines Massenpunktes P der Masse m (X (t) ∼ Ortsvektor von P zur Zeit t). Geschwindigkeit V(t) von P : V (t) := lim △t→0 X (t + △t) − X (t) △t = (ẋ(t) ) ẏ(t) E k := m 2 v2 ist die kinetische Energie von P : wobei v = ||V(t)||. Speziell: Rotation von P auf einem Kreis mit (konstantem) Radius r und Mittelpunkt 0: x(t) = r cos ϕ(t), ẋ(t) = (−r sin ϕ(t)) ˙ϕ(t) y(t) = r sin ϕ(t), ẏ(t) = (−r cos ϕ(t)) ˙ϕ(t) ω(t) = ˙ϕ(t) ∼ Winkelgeschwindigkeit E k = m 2 v2 = m 2 = m 2 r2 ˙ϕ 2 (t) (ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) ) = 1 2 mr2 }{{} · ω2 (t) 8
10.3 Θ := mr 2 heißt Trägheitsmoment des materiellen Punktes P mit Masse m bzgl. einer festen Achse; r ist der Abstand von P zur Achse. Θ := N ∑ i=1 m i ri 2 ∼ Trägheitsmoment von N Punkten P 1 , . . . , P N in den Abständen r 1 , . . . , r N von der Drehachse mit den Massen m 1 , . . . , m N . Trägheitsmomente eines homogenen { mit Masse ( belegten Kurvenbogens B = x f(x)) ∣ } ∣∣ a ≤ x ≤ b (mit konstanter Massendichte = 1): Ausgezeichnete Zerlegungsfolge Z n : a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b Betrachte das Sehnenpolygon, welches durch die Punkte ( xk f(x k )) verläuft, k = 0, . . . , n. Trägheitsmoment von B bzgl. x-Achse: Θ x ≈ n ∑ k=1 r 2 k · △s k, △s k = √ (x k − x k−1 ) 2 + (y k − y k−1 ) 2 √ ( ) yk − y 2 k−1 = 1 + (x k − x k−1 ) x k − x k−1 = √ 1 + f ′2 (ξ k ) · (x k − x k−1 ), MW S, x k−1 < ξ k < x k 9
Seite 1 und 2: 10.3 10.3 Statische Momente, Schwer
Seite 3 und 4: 10.3 Statisches Moment M x von B bz
Seite 5 und 6: 10.3 Als Schwerpunkt S(x s , y s )
Seite 7: 10.3 Statisches Moment von F zur x-
Seite 11 und 12: 10.3 Beispiel: Trägheitsmoment des

10.3 Statische Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente

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