Collegium Logicum – Logische Grundlagen der Philosophie und

Collegium Logicum
Logische Grundlagen der Philosophie
und der Wissenschaften
Godehard Link
Seminar für Philosophie,
Logik und Wissenschaftstheorie
Philosophie-Department
Universität München
April 2009

Inhaltsverzeichnis
Vorwort ix
Einleitung 1
0.1 Historisches zum Verhältnis von Logik und Philosophie . . . . . 2
0.1.1 Die Erneuerung der Logik im 19. Jahrhundert . . . . . . 5
0.1.2 Cantors Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.1.3 Die Logik des 20. Jahrhunderts . . . . . . . . . . . . . . 18
0.2 Moderne Logik und Philosophie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
0.2.1 Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
0.2.2 Prädikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
0.2.3 Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
0.2.4 Abstraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
0.2.5 Teil/Ganzes und Nominalismus . . . . . . . . . . . . . . 44
0.2.6 Wahrheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
0.2.7 Modalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
0.2.8 Wenn-dann-Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . 75
0.3 Logik als Metawissenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
0.3.1 Logik in den formalen Wissenschaften . . . . . . . . . . 104
0.3.2 Logik in den empirischen Wissenschaften . . . . . . . . 104
1 Elementares Handwerkszeug: Mengen, Funktionen, Zeichen 105
1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.1.1 Operationen der Mengenbildung . . . . . . . . . . . . . 107
1.1.2 Geordnete Paare, Relationen, n-Tupel . . . . . . . . . . 112
1.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.3 Endliche und unendliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1.4 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.4.1 Explizite Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.4.2 Induktive Definitionen und Beweise . . . . . . . . . . . 126
1.5 Zeichentheoretische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . 129
1.5.1 Bedeutung und Referenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
1.5.2 Die Namenrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
1.5.3 Deskriptive und logische Ausdrücke; Variablen . . . . . 143
1.5.4 Objekt- und Metasprache; Mitteilungszeichen . . . . . . 146
1.5.5 Gebrauch und Erwähnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1.5.6 Gebrauch und Erwähnung: Zusammenfassung . . . . . . 154
iii

iv Inhaltsverzeichnis
2 Aussagenlogik 155
2.1 Logische Form I: Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.1.1 Die logische Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.1.2 Die logische Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.1.3 Die Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.1.4 Das Konditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.1.5 Das Bikonditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.1.6 AL-Formalisierungen: Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 161
2.2 Syntax der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.3 Semantik der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.3.1 Belegungen und Bewertungen . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.3.2 Die Q-Analyse: Schnelle Gültigkeitstests . . . . . . . . . 178
2.4 Eine Liste von Tautologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3 Strukturtheorie der Aussagenlogik 189
3.1 Zweistellige Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.1.1 Der Diamant der Wahrheitsfunktionen . . . . . . . . . . 193
3.2 Weitere Strukturaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.2.1 Wahrheitsfunktional vollständige Systeme von Junktoren 203
3.2.2 Normalformen und Boolesche Expansionen . . . . . . . 207
3.3 Logische Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.4 Philosophische Anwendung: Die Dynamik von Überzeugungen . 213
4 Prädikatenlogik mit Identität 215
4.1 Logische Form II: Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.1.1 PL1I-Formalisierungen: Erste Beispiele . . . . . . . . . . 220
4.2 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.2.1 Substitution von Termen in Formeln . . . . . . . . . . . 225
4.3 Prädikatenlogische Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.4 Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.5 Kennzeichnungen und Abstraktion . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.6 Die Logik PL1IKA der Kennzeichnungen und Abstraktion . . . 242
4.7 Prinzipien der Logik PL1IKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5 Logische Form und Argument 251
5.1 Ein Übersetzungsmanual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.1.1 Regeln zur Herstellung der Explizitfassung . . . . . . . 251
5.1.2 Übersetzung der Explizitfassung in die logische Form . . 254
5.2 Logische Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.3 Philosophische Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6 Semantik der Prädikatenlogik 273
6.1 Die Bewertungssemantik für PL1I . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.2 Die modelltheoretische Semantik für PL1I . . . . . . . . . . . . 278
6.3 Semantik der Logik PL1IKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Inhaltsverzeichnis v
7 Kalkül des natürlichen Schließens: Aussagenlogik 295
7.1 Aussagenlogische Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.2 Der Kalish-Montague-Kalkül: Beschreibung . . . . . . . . . . . 314
7.2.1 Schlußregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
7.2.2 Der Ableitungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
7.2.3 Hinweise zur Beweistechnik . . . . . . . . . . . . . . . . 321
8 Kalkül des natürlichen Schließens: Prädikatenlogik 325
8.1 Monadische Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
8.1.1 Monadische Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8.2 Volle Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.3 Identitätslogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
8.3.1 Identitätstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
8.4 Kennzeichnungslogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
9 Mengenlehre im Kalkül I: Axiome, Klassenalgebra 353
9.1 Die Axiome der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
9.2 Der formale Rahmen für die freie Mengenlehre . . . . . . . . . 360
9.2.1 Die mengentheoretische Sprache . . . . . . . . . . . . . 360
9.2.2 Schließen im freien KM-Kalkül . . . . . . . . . . . . . . 362
9.3 Theoreme von Kph und Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
9.4 Die Algebra der Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
9.4.1 Die Russell-Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
9.5 Weitere Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
9.5.1 Das Aussonderungsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
9.5.2 Paarmenge, Vereinigungsmenge, Potenzmenge . . . . . . 389
9.5.3 Geordnete Paare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
9.5.4 Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
10 Mengenlehre im Kalkül II: Relationen, Funktionen 395
10.1 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
10.2 Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
10.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
10.3.1 Das Ersetzungsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
10.3.2 Weitere Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
10.3.3 Der Satz von Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
10.3.4 Unendliche Mengen; Ordinal- und Kardinalzahlen . . . 423
11 Axiomatischer Aufbau: Aussagenlogik 431
11.1 Semantische Korrektheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
11.2 Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
11.3 Semantische Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
12 Axiomatischer Aufbau: Prädikatenlogik 461
12.1 Prädikatenlogik mit Funktionszeichen . . . . . . . . . . . . . . 461
12.2 Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
12.2.1 Abgeleitete Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
12.2.2 Zur Technik axiomatischen Beweisens . . . . . . . . . . 479
12.2.3 Volle Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

vi Inhaltsverzeichnis
12.2.4 Identitätslogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
12.2.5 Logik mit Funktionssymbolen . . . . . . . . . . . . . . . 484
12.3 Modelltheoretische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
12.4 Semantische Korrektheit des axiomatischen Kalküls . . . . . . . 490
12.4.1 Die Gültigkeit der Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
12.4.2 Der Korrektheitsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
12.5 Semantische Vollständigkeit der Prädikatenlogik: der Henkin-
Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
12.6 Folgerungen aus dem Vollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . 512
12.6.1 Grenzen der Ausdruckskraft . . . . . . . . . . . . . . . . 513
12.6.2 Die Löwenheim-Skolem-Theoreme: Erste Fassung . . . . 514
12.6.3 Das Skolem-Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
13 Theorien erster Stufe: Mereologie 521
13.1 Freie Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
13.1.1 Theoreme von FL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
13.1.2 Semantik der freien Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
13.2 Mereologie als Theorie der Überlappung . . . . . . . . . . . . . 532
13.2.1 Theoreme der mereologischen Theorie M1 . . . . . . . . 538
13.2.2 Singuläre Terme in M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
13.2.3 Atomare Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
13.3 Die Teilrelation als Grundzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
14 Modallogik 559
14.1 Axiomatik der modalen Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . 559
14.1.1 Theoreme des Systems K . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
14.1.2 Theoreme des deontischen Systems KD . . . . . . . . . 563
14.1.3 Theoreme des Systems KT . . . . . . . . . . . . . . . . 564
14.1.4 Theoreme des Systems B . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
14.1.5 Theoreme des Systems K4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
14.1.6 Theoreme des Systems S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
14.1.7 Theoreme des Systems S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
14.2 Semantik der modalen Aussagenlogik: Kripke-Semantik . . . . 573
14.2.1 Semantische Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
14.2.2 Semantische Charakterisierung der Axiome . . . . . . . 581
14.3 Propositionen als Mengen von möglichen Welten . . . . . . . . 583
14.4 Der Verband der normalen Modallogiken . . . . . . . . . . . . . 586
14.4.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
14.4.2 Die Axiome G0, ·3, L und 4 c . . . . . . . . . . . . . . . 589
14.4.3 Die Axiome W und Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
14.5 Kanonische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
14.6 Modale Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
15 Modallogik II: Quantoren, Anwendungen 601
15.1 Modale Quantorenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
15.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

Inhaltsverzeichnis vii
16 Grundbegriffe der Modelltheorie 603
16.1 Beziehungen zwischen Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
16.2 Theorien und ihre Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
16.2.1 Modelle der Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
16.2.2 Elementare Modellklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
17 Rekursive Funktionen 627
17.1 Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
17.1.1 Unendliche aufzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . 629
17.2 Turingmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
17.2.1 Die Produktivität einer Turingmaschine . . . . . . . . . 638
17.2.2 Elementare Strukturmaschinen . . . . . . . . . . . . . . 640
17.2.3 Turing-berechenbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 643
17.3 Primitiv-rekursive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
17.3.1 Beispiele für primitiv-rekursive Funktionen . . . . . . . 646
17.4 µ-rekursive Funktionen und ihre Turing-Berechenbarkeit . . . . 660
17.5 Turing-berechenbare Funktionen sind µ-rekursiv . . . . . . . . 663
18 Theorien erster Stufe: Arithmetik 671
18.1 Peano-Arithmetik: Axiome und Theoreme . . . . . . . . . . . . 671
19 Die Gödelschen Theoreme 701
19.1 Arithmetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
20 Logik höherer Stufe 723
21 Mengentheorie 727
22 Interpretation und Reduktion 729
23 Die Logik der Wissenschaften: Wahrscheinlichkeit 731
23.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731
23.1.1 Wahrscheinlichkeitsaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . 731
23.1.2 Objektive vs. epistemische Wahrscheinlichkeit . . . . . . 733
23.1.3 Wahrscheinlichkeitsschlüsse als induktive Schlüsse . . . 734
23.1.4 Die Algebra der Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 736
23.2 Laplace-Wahrscheinlichkeiten und Kombinatorik . . . . . . . . 738
23.2.1 Das Urnenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738
23.2.2 Ein wenig Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
24 Die Logik des Handelns: Entscheidungstheorie 747
Literaturverzeichnis 749
Personenregister 761
Sachregister 763

viii Inhaltsverzeichnis

Vorwort
ix

Einleitung
Mein teurer Freund, ich rat’ Euch drum
Zuerst Collegium Logicum.
Da wird der Geist Euch wohl dressiert,
In spanische Stiefeln eingeschnürt,
Daß er bedächtiger so fortan
Hinschleiche die Gedankenbahn,
Und nicht etwa, die Kreuz und Quer,
Irrlichteliere hin und her.
Goethe, Faust I
Die Logik gilt üblicherweise als die Disziplin, in der man korrektes Argumentieren
lernt und praktiziert. Argumente werden verwendet, um Überzeugungen,
die man hat, zu begründen oder auf verläßliche Weise zu neuen Überzeugungen
zu gelangen. Die logischen Argumente sind die verläßlichsten, weil sie einen
vollständigen Wahrheitstransfer garantieren. Wenn ich z.B. den Satz A zu meinen
Überzeugungen zähle und ferner den Bedingungssatz ‘wenn A so auch B’,
so kann ich mit logischer Sicherheit die Überzeugung B hinzunehmen; wenn
nämlich A sowie jener Bedingungssatz (die Prämissen des Arguments) wahr
sind, so ist auch B wahr, und ich bin berechtigt, von B im gleichen Maß überzeugt
zu sein wie von meinen Prämissen. Dieses Argument vollzieht sich nach
der bekannten logischen Schlußfigur des Modus Ponens.
Nun ändern sich unsere Überzeugungen allerdings nicht allein aufgrund logischer
Argumente; diese bilden in der Tat lediglich das Grundgerüst alltäglicher
(wie auch wissenschaftlicher) Argumentationen. Angenommen, ich möchte im
Winter mit dem Auto von München nach Italien fahren und habe folgende Information:
(i) Wenn der Reschenpaß geschlossen ist, ist der Brennerpaß offen.
Nun erfahre ich, daß (ii) der Brennerpaß geschlossen wurde. Aus (i) und (ii)
— und dem Hintergrundwissen, daß (iii) ein Paß genau dann offen ist, wenn er
nicht geschlossen ist — kann ich jetzt mit Hilfe der Figur des Modus Tollens
logisch schließen, daß der Reschenpaß offen ist. So würde sich unweigerlich eine
wissensbasierte “Inferenzmaschine” verhalten, ein schließfähiges Computerprogramm,
welches in seiner Wissensbasis die Informationen (i), (ii) und (iii) hat
und zu seinen Schluß- oder Inferenzregeln den Modus Tollens zählt. Ein mit den
Schneeverhältnissen in den Alpen vertrauter Skifahrer wird vermutlich jedoch
ganz anders reagieren: Wenn es wahr ist, daß starker Schneefall die Schließung
des Brenners erzwungen hat, dann wird erst recht der noch höhere Reschenpaß
unpassierbar sein; hier wird die Überzeugung (i) einfach aufgegeben. Dies ist
1

2 Einleitung
zwar ein nicht-logischer Schluß, aber er erscheint viel rationaler als das erste
rein logische Argument. Es zeigt sich, daß der vollständige Wahrheitstransfer
seinen Preis hat: weder im Alltag noch in den Wissenschaften kommt man mit
der reinen Logik allein sehr weit. Die meisten Argumentationen setzen sich aus
Mischargumenten zusammen, in denen sich mehr oder minder plausible Schlüsse
zu den logisch gültigen gesellen. Man nennt die Schlüsse der reinen Logik
deduktiv und alle anderen nicht-deduktiv. Der hauptsächliche Informationsgehalt
eines Mischarguments wie das jenes Skifahrers liegt allerdings nicht bei
der deduktiven Logik, sondern auf der nicht-deduktiven Seite, welche die lokale
Wissenssituation spiegelt; ändert sich diese, müssen Schlüsse in der Regel revidiert
werden. Die rein logischen Regeln sind dagegen streng gültig, vollkommen
allgemein und unabhängig vom Informationsstand und Inhalt eines gegebenen
Arguments.
Diese Unabhängigkeit vom konkreten Gehalt von Argumenten macht die deduktive
Logik als Disziplin zwar nicht “inhaltsleer” (ihre Ausdruckskraft ergibt
sich in Kombination mit spezifischen Theorien zu einem speziellen Wissensgebiet);
sie stellt jedoch eine Wissenschaft reiner Strukturen dar, deren Gesetze
in den Einzelwissenschaften, sogar in der “reinen Mathematik”, stillschweigend
vorausgesetzt werden. Man kann sagen. daß die Logik eine Metawissenschaft
(siehe unten) ist, welche somit nicht einfach ein Teil einer dieser Einzelwissenschaften
sein kann.
Mehr an einen Gegenstandsbereich gebunden sind die Regelsysteme der
nicht-deduktiven Logik, die sich dementsprechend in eine Vielzahl von Logiken
(Plural) aufspalten. Wenn im folgenden ohne Spezifizierung von Logik die Rede
ist, ist die deduktive Logik gemeint. Wir werden jedoch an geeigneten Stellen
auch auf nicht-deduktive Systeme eingehen; für einen ersten Überblick siehe
die Unterabschnitte 0.2.8 und 0.3.2.
0.1 Historisches zum Verhältnis von Logik und
Philosophie
Ihr metawissenschaftlicher Charakter rückt die Logik in die Nähe der Philosophie,
ohne allerdings dadurch automatisch zu einem Teilgebiet der Philosophie
zu werden. Zwar lebt die Philosophie vom (möglichst) zwingenden Argument,
aber auch hier sind nicht alle Argumente logisch gültig, und außerdem ist korrektes,
nachprüfbares Argumentieren ein Kennzeichen aller wissenschaftlichen
Tätigkeit. Dennoch war die Logik in der Geschichte der Wissenschaften traditionell
in der Philosophie angesiedelt. In den antiken Wissenschaften schien dies
vielleicht noch natürlich, da auch etwa die Physik (paradigmatisch hier die aristotelische
Physik) als Naturphilosophie wesentlich von metaphysischem, also
philosophischem Gedankengut geprägt war. Die Mathematik dagegen spielte
bereits damals eine eigenständige Rolle, und man kann spekulieren, warum
die Logik nicht mit der Mathematik zusammenging. Einer der durchaus kontingenten
Gründe war sicherlich, daß das erste System der Logik von einem
Philosophen, nämlich Aristoteles, entwickelt wurde, der zwar ein überragender
Universalgelehrter, am wenigsten aber ein Mathematiker war. Ein mehr
sachlicher Grund dürfte darin liegen, daß die Mathematik eines Euklid oder

Historisches 3
eines Archimedes sich mit Sätzen der Geometrie oder Arithmetik befaßte,
und die Beweise solcher Sätze sich auf den mathematischen Inhalt und nicht
auf die logische Form der einzelnen Beweisschritte konzentrierte. Die Logik der
mathematischen Beweise war vollkommen implizit und wirkte sozusagen “im
Hintergrund”; sie fußte auf so etwas wie einer “intuitiven Logik”, welche dem
semantischen Wissen der natürlichen Sprache entspringt und als solche nicht
eigens thematisiert zu werden brauchte. Daß die in syllogistischen Schlußfiguren
formalisierte Logik des Aristoteles ausgerechnet in der Disziplin nicht
benötigt wurde, die am meisten dem korrekten Argumentieren verpflichtet ist,
warf somit von Anfang an ein zwiespältiges Licht auf jene Logik. Sie war ein an
der Grammatik und philosophischer Begrifflichkeit orientierter Kalkül, der zwar
im wesentlichen die den Hierarchien solcher Begriffe innewohnende “Logik” beschrieb,
aber nur einen kleinen und relativ einfachen Teil der natürlichen Logik
der Sprache ausmachte, wie sie bis heute in den Wissenschaften Verwendung
findet.
Diese Situation bestand im wesentlichen die folgenden 2000 Jahre fort. Die
Philosophie des Mittelalters trug eher zu einer Verschärfung des Gegensatzes
zwischen natürlicher und formalisierter Logik bei, indem sie zwar eine große
Anzahl von Logik-Traktaten hervorbrachte, in diesen sich aber zum Teil in
immer subtileren sprachlichen und begrifflichen Spitzfindigkeiten verlor, die
außerhalb von Metaphysik und Theologie wenig Bedeutung hatten. Zwar gab
es aus heutiger Sicht durchaus Entwicklungen, die als Antizipation moderner
Logik-Systeme angesehen werden könnten. So hebt der Logik-Historiker Bocheński
hervor, daß bereits die Stoiker eine Aussagenlogik im heutigen Sinne
entwickelten, oder daß etwa dem Scholastiker Albert von Sachsen die heutige
semantische Regel für die Allquantifikation bekannt war ([23]: 24,272).
Bocheński schließt daraus, daß trotz der raschen Entwicklung der Logik in
20. Jahrhundert ein Fortschritt gegenüber der traditionellen Logik nicht so klar
erkennbar sei. Allerdings verkennt eine solche Betrachtungsweise den diskontinuierlichen
Charakter von Ideengeschichte, d.h. die Entstehung von etwas
prinzipiell Neuem in einem scheinbar vertrauten Begriffsfeld. Um hier nur das
Beispiel von der Wahrheitsregel des Albert von Sachsen aufzugreifen: Liest
man nach, so sieht man, daß diese Regel die Verwendungsweise des Ausdrucks
‘jeder’ betrifft, welche aber wenig Geheimnisvolles in sich birgt, sondern bereits
Vorschulkindern zu Gebote steht, da sie mit dem Erlernen der Sprache
eingeübt wird, also ein Bestandteil der natürlichen Logik ist. Zu Entwicklung
der modernen Konzeption von Quantifikation oder einer Theorie der Semantik
etwa im Sinne von Tarski war es dagegen noch ein langer Weg, der vor kaum
mehr als 100 Jahren erst seine neue und entscheidende Richtung bekam. Wir
kommen ausführlich darauf zurück.
Historisch von größerer Bedeutung ist aber, daß auch was die Entwicklung
der Wissenschaften betrifft, Neuerungen in der Logik gegenüber dem aristotelischen
Paradigma, selbst wenn es sie bei den Stoikern und im Mittelalter bis
zu einem gewissen Grad gegeben haben mag, unwirksam blieben. Als Galilei
im 17. Jahrhundert die Idee einer mathematischen Physik entwickelte, da kam
die Logik in seinem großen Symbol vom Buch der Natur ([86]: 232) nicht vor:
die Grammatik des Buchs der Natur ist keine logische, sondern eine mathematische
Grammatik, und ihre “Buchstaben” sind laut Galilei Dreiecke, Kreise,

4 Einleitung
und andere geometrische Figuren. Der rein logische Zusammenhalt in den Argumenten
dieser neuen Physik wird wiederum von der als schon verstanden
vorausgesetzten natürlichen Logik geliefert. Gegen die “Logik der Philosophen”
zieht Galilei vielmehr polemisch zu Felde. Zu Beginn seines Dialogs über die
Weltsysteme persifliert er den Typ jener unfruchtbaren Argumentationen, der
eineinhalb Jahrhunderte später auch Goethe in der Schülerszene von Faust I
noch Anlaß zur Karikatur geben. Galilei läßt dort Simplicio, den Vertreter der
aristotelischen Philosophie, folgende Argumente für die Dreidimensionalität des
Raumes vorbringen (Simplicio beruft sich auf die Argumente des Aristoteles
in der Schrift De Coelo):
Was habt Ihr denn an den wunderschönen Beweisen auszusetzen,
die im zweiten, dritten und vierten Paragraphen gleich auf die Definition
der Stetigkeit folgen? Steht da nicht erstlich, daß es keine
anderen als jene drei Ausdehnungen gibt, weil die Drei alles, die
Dreiheit allseitig ist? Wird dies nicht durch die Autorität und die
Lehre der Pythagoreer bekräftigt, wonach alles durch die Drei, nämlich
durch Anfang, Mitte und Ende bestimmt ist, diese also anzusehen
ist als die Zahl der Allheit? ... Im dritten [Paragraphen] liest
man ad pleniorem scientiam, daß die Begriffe Jedes, All und Vollkommenes
begrifflich identisch sind, daß also von den ausgedehnten
Größen der Körper allein vollkommen ist, da nur er durch die Drei
bestimmt ist, welche welche der Ausdruck der Allheit ist. ... Giebt
er sodann für die in Rede stehende Behauptung im vierten Paragraphen,
nach einigen anderen Lehrsätzen, nicht noch einen weiteren
Grund an? Jeder Fortschritt, sagt er, hat einen bisher vorhandenen
Mangel zur Voraussetzung — und daher ist es ein Forschritt, wenn
man von der Linie zur Fläche übergeht, da jene der Breite ermangelt
— das Vollkommene kann aber nicht mangelhaft sein, da es
allseitig ist; man kann also unmöglich von den Körpern zu einem
höheren Gebilde fortschreiten. ([87]: 10)
Schon Galilei, und nicht erst uns, erschienen alle diese “Argumente” irrelevant.
Würde man sich die Mühe machen, die logische Struktur dieser Argumente
genauer anzuschauen, so zeigte sich, daß wenig an Schlußfolgerung herauskommt,
was nicht schon als metaphysische Prämissen angenommen wird.
Mit der Selbstverständlichkeit der aristotelischen Metaphysik war die Überzeugungskraft
solcher Argumente dahingeschwunden. Aber diejenigen, die wie
Galilei gegen die Erstarrung der Naturphilosophie Stellung bezogen, machten
die Logik, die in ihren Diensten stand, mit haftbar. Zu diesem Personenkreis ist
auch René Descartes zu zählen, der in vielen Fragen eine geistige Verwandschaft
zu Galilei spürte. Obschon Philosoph und Mathematiker, tat er wenig
für die Logik und setzte eher den “bon sens” gegen die formalisierte Sophistik
der Tradition. Auch Newton, der anläßlich seiner physikalischen Entdeckungen
nebenbei den Differentialkalkül zu deren Beschreibung entwickelte, sah
trotz der diesem Kalkül innewohnenden logischen Schwierigkeiten keinen Anlaß,
auch die vorhandene Logik zu reformieren. Erst Leibniz tat erste Schritte
in Richtung auf eine Modernisierung der Logik, allerdings gerade nicht, um sie
für die Differentialrechnung nutzbar zu machen. Dort führte er die mysteriösen

Historisches 5
Infinitesimalia ein, unendlich kleine Größen, deren logischer Status ungeklärt
blieb. Russell sagt über Leibniz, daß auch er noch zu stark von der Autorität
des Aristoteles beeinflußt war, um der Logik wirklich moderne Impulse
geben zu können. Dieses Urteil ist aus heutiger Sicht nicht ganz gerecht, da der
Rationalismus eines Leibniz (wie übrigens auch der des Descartes) in den
mathematischen Untersuchungen zu einer Algebraisierung und Formalisierung
führte, welche dem “formalen Standpunkt” der modernen Logik mit den Weg
bereiteten. Zudem findet sich bei Leibniz die Idee der Übersetzung von verschiedenen
Bezeichnungssystemen ineinander und damit einhergehend die Idee
der Chiffrierung oder Kodierung; bekannt ist in diesem Zusammenhang seine
Entwicklung der Dualzahlen.
So erreichen wir denn Kant, der rundweg erklärte, daß die Logik seiner
Zeit zwar nicht hinter Aristoteles zurückblieb, aber auch seitdem keine Fortschritte
gemacht habe: “Merkwürdig ist noch an ihr, daß sie auch bis jetzt keinen
Schritt vorwärts hat tun können, und also allem Ansehen nach geschlossen und
vollendet zu sein scheint.” Jedenfalls lehnt Kant “Fortschritte” der folgenden
Art ab:
Denn, wenn einige Neuere sie dadurch zu erweitern dachten, daß
sie teils psychologische Kapitel von den verschiedenen Erkenntniskräften
... teils metaphysische über den Ursprung der Erkenntnis
... teils anthropologische ... hineinschoben, so rührt dieses von ihrer
Unkunde der eigentümlichen Natur dieser Wissenschaft her. Es
ist nicht Vermehrung, sondern Verunstaltung der Wissenschaften,
wenn man ihre Grenzen ineinander laufen läßt[.] ([137]: B viii)
Diese Bemerkung Kants hätte man kurze Zeit später durchaus Hegel ins
Stammbuch schreiben können, dessen Logik untrennbar mit seiner Metaphysik
verwoben ist. Die babylonische Gefangenschaft der Logik durch die Metaphysik
hatte ihren Höhepunkt erreicht, aber zugleich war die Zeit reif für einen grundlegenden
Wandel im Verständnis von Logik, der sich ein halbes Jahrhundert
später dann auch anbahnte. 1
0.1.1 Die Erneuerung der Logik im 19. Jahrhundert
Der erste der bekannten Logiker des 19. Jahrhunderts war George Boole,
dessen Hauptwerk An Investigation of the Laws of Thought 1854 erschien. Die
wesentliche methodische Neuerung liegt in der mathematischen und nicht mehr
erkenntnistheoretischen oder metaphysischen Sichtweise, mit der an die Logik
herangegangen wird. Inhaltlich werden die Gesetze der Klassenalgebra entwickelt,
deren Struktur heute den Namen “Boolesche Algebra” trägt. Formal aber
werden diese Gesetze in der Gestalt eines mathematischen Kalküls angegeben
und direkt den algebraischen Rechengesetzen der arithmetischen Operationen
nachgebildet. In der Algebra z.B. kann man einen gemeinsamen Faktor in einer
Summe “ausklammern”, d.h. es gilt das sogenannte Distributivgesetz:
1 Um einem möglichen Mißverständnis vorzubeugen: Dies sind einige pointierte Bemerkungen
zur Geschichte der Logik, die nichts über die Rolle oder den Wert der Metaphysik oder
der Philosophie im allgemeinen aussagen. Es muß nicht erwähnt werden, daß es mehr unter
der Sonne gibt als Logik. Das Hauptthema ist hier aber die Logik, und die Philosophie kommt
nur insoweit ins Blickfeld, als ihre Erkenntnisse sich direkt aus logischen Quellen speisen.

6 Einleitung
(1) x · y + x · z = x · (y + z)
Die Gesetze des Denkens sind nun insofern “mathematisch”, als die Operation
der Multiplikation (der Punkt) genauso gut auch als Durchschnitt zweier
Begriffsumfänge gedeutet werden kann (ihr “logisches Produkt”), bei gleichzeitiger
Umdeutung der Additionsoperation ‘+’ als Vereinigung der Umfänge (ihre
“logische Summe”); dann bleibt das Gesetz (1) gültig. Völlig strukturgleich ist
auch die Logik der Aussagen: wenn x, y und z für irgendwelche Aussagen stehen
und ‘·’ als ‘und’ sowie ‘+’ als ‘oder’ gedeutet wird, dann gilt das Gesetz
ebenfalls, mit ‘=’ im Sinn von ‘ist gleichbedeutend mit’. Nehmen wir etwa in
unserem obigen Beispiel mit den Alpenpässen noch einen dritten Übergang
nach Italien, etwa den Plöckenpaß, hinzu, und lassen x für “der Brennerpaß ist
offen” stehen, y für “der Reschenpaß ist offen”, und z für “der Plöckenpaß ist
offen”; dann gilt offenbar:
(2) a. x · y + x · z = x · (y + z)
b. [x und y, oder x und z] ist gleichbedeutend mit [x und
(entweder y oder z)]
c. (Die Aussage) [der Brennerpaß ist offen und der Reschenpaß ist
offen, oder der Brennerpaß ist offen und der Plöckenpaß ist
offen] ist gleichbedeutend mit (der Aussage) [der Brennerpaß ist
offen, und (entweder ist der Reschenpaß offen oder der
Plöckenpaß ist offen)]
Für die Logik gelten also algebraische Gesetze. Diese Ähnlichkeit hatte übrigens
schon Leibniz festgestellt und entsprechende Gesetze für eine Begriffshierarchie
formuliert. Natürlich kann das Plus der Addition nicht in allen Gleichungen
als Vereinigung von Begriffen gedeutet werden; z.B. ist x + x = 2x, während
die logische Summe eines Begriffsumfangs mit sich selbst wieder er selbst ist,
formal also x + x = x. Die arithmetische Struktur und die Boolesche Algebra
sind damit zwar verschiedene Strukturen, aber es sind beides algebraische, also
mathematische Strukturen; das aber wollte Boole zeigen. Abgesehen von
der Betonung des mathematischen Charakters der Logik blieb Boole jedoch
weitgehend im Rahmen der Tradition, und Bocheński reklamiert mit einem
gewissen Recht die Entdeckung mancher Booleschen Gesetze für die Scholastik
oder sogar die Spätantike. Allerdings ist hier dennoch ein modernes Element
zu beobachten: der schematische Charakter dieser Gesetze (für sich genommen
noch nichts Neues; auch Aristoteles benutzte bereits Buchstabensymbole)
und ihre mehrfache Deutbarkeit. Ein und dieselbe Form läßt mehrere Deutungen
in verschiedenartigen Bereichen zu. Das Plus der arithmetischen Addition
kann (unter Änderung gewisser Gesetze) uminterpretiert werden als logische
Summe oder Vereinigung. Die Idee der Umdeutung symbolischer Formen ist
ein wichtiger Bestandteil formalen Denkens.
Es bedurfte jedoch einer anderen Entwicklungslinie, um das konzeptuelle
Umfeld zu schaffen, in dem sich das radikal Neue der modernen Logik entfalten
konnte. Diese Entwicklungslinie ergab sich daraus, daß am Ausgang des 18.
Jahrhunderts vermehrt Diskussionen um die Grundlagen der Mathematik geführt
wurden. Es seien hier zwei Problemkreise angesprochen: (i) die Frage nach

Historisches 7
den Axiomen der Geometrie und die Endeckung nicht-euklidischer Geometrien;
(ii) die Frage der Reduktion der Zahlensysteme.
Bekanntlich wurde die Geometrie von Euklid begründet. Euklid wählte
einen axiomatischen Ansatz, der das historische Vorbild aller späteren Axiomensysteme
bildete. Eines der Axiome, die Euklid verwendete, ist das berühmte
Parallelenpostulat, das in moderner Formulierung lautet: Zu einer gegebenen
Gerade g und einem Punkt P außerhalb von g gibt es (in der durch g und P
bestimmten Ebene) höchstens eine Gerade durch P , welche g nicht schneidet.
In der genannten Zeit unternahm man nun zahlreiche und intensive Versuche,
das Parallelenpostulat aus den anderen Axiomen der Geometrie zu beweisen;
sie waren jedoch alle vergeblich. Diese Beweisversuche als Trugschlüsse nachzuweisen,
erforderte logische Genauigkeit. Ein Mathematiker namens Klügel
z.B. widerlegte in einer Schrift um 1800 nicht weniger als 30 solcher Versuche.
Interessant ist seine Schlußfolgerung: “Daß das Parallelenaxiom erfüllt ist, wissen
wir nicht infolge strenger Schlüsse oder vermöge deutlicher Begriffe von der
geraden oder krummen Linie, vielmehr durch Erfahrung und das Urteil unserer
Augen.” 2 Das heißt, daß die Mathematik sich hier nicht auf Beweise stützen
kann, sondern sich auf die Anschauung verlassen muß. In moderner Sprechweise
kann man dies so umformulieren, daß jenes Axiom auf jeden Fall mit den
anderen euklidischen Axiomen verträglich ist, da die anschauliche Geometrie
der Ebene zusammen mit den übrigen Axiomen auch das Parallelenpostulat
erfüllt (sie ist ein Modell für diese Axiome). Verträglichkeit oder relative Konsistenz
ist aber eine logische Eigenschaft, die entscheidend schwächer ist als
Beweisbarkeit; sie läßt nämlich die Möglichkeit offen, daß auch das Gegenteil,
d.h. die Negation, des Postulats mit den anderen Axiomen verträglich ist.
Nicht-euklidische Geometrien sind genau von dieser Art: sie sind Modelle der
Kernaxiome, die zugleich das Parallelenaxiom falsch machen. Zu Beginn des 19.
Jahrhunderts wurden solche Geometrien gefunden. Sie beruhen auf einer radikalen
Uminterpretation der anschaulichen Bedeutung geometrischer Begriffe.
Dennoch kann man sich auch diese Geometrien veranschaulichen, indem man
ihre Axiome mit Hilfe der derart umgedeuteten Begriffe in der klassischen ebenen
Geometrie darstellt. Wiederum modern gesprochen, interpretiert man die
nicht-euklidische Geometrie in der euklidischen Geometrie. Dieses Verfahren
der Interpretation einer Theorie in einer anderen ist ein wesentlicher Bestandteil
der modernen Logik und Wissenschaftstheorie und besitzt ebenfalls eine
große philosophische Bedeutung: man kann eine Theorie mit Hilfe einer anderen,
etwa schon bekannten Theorie durch eine derartige Interpretation “besser
verstehen”. Diese Methodologie liegt etwa Versuchen zugrunde, eine Theorie
des Geistes durch Interpretation in einer physikalistischen Theorie verstehbar
zu machen; ob so etwas gelingen kann, ist eine der meistdiskutierten philosophischen
Fragen der Gegenwart.
Im Fall der Geometrie kann man das Verfahren der Interpretation etwa
durch das sogenannte Kleinsche Modell der hyperbolischen Geometrie innerhalb
einer euklidischen Ebene illustrieren: 3 in diesem Modell zählen nur die
Punkte innerhalb eines gegebenen Kreises als “Punkte” im Sinne der hyperbolischen
Geometrie, und ihre “Geraden” sind alle Sekanten des Kreises, jedoch
2 Zitiert nach [145]: 274.
3 Zur nicht-euklidischen Geometrie und ihrer historischen Entwicklung siehe z.B.

8 Einleitung
g1
g2
g
Abbildung 1: Kleinsches Modell der hyperbolischen Geometrie
ohne die Schnittpunkte mit der Kreislinie. 4 Dann zeigt das folgende Bild, daß
es zu einer “Geraden” g und einem nicht auf ihr liegenden “Punkt” P mehr als
eine “Gerade”, z.B. g1 und g2, gibt, die g nicht schneidet.
Was uns hier bereits begegnet, ist wie schon im Fall der Umdeutung des
Additionssymbols der formale Standpunkt der modernen Logik. Wenn es um
die Gültigkeit von Argumenten geht, ist er auch in der Philosophie von großem
Nutzen. In einem philosophischen Argument kann er etwa dazu beitragen, implizite
Annahmen, die ein Autor möglicherweise für evident hält und daher
gar nicht erwähnt, aufzudecken und zu beurteilen. Nichts anderes ging in der
Diskussion der Mathematiker um das Parallelenpostulat vonstatten.
Der andere Fragenkomplex in der Mathematik des 19. Jahrhunderts, der
für die Entwicklung der Logik von Bedeutung war, betraf das Verhältnis der
verschiedenen Zahlensysteme zueinander. Bereits in der Antike setzte man die
natürlichen Zahlen, die die Grundlage aller Zahlensysteme bilden, in Beziehung
zu den rationalen Zahlen, welche nichts anderes sind als Verhältnisse von natürlichen
Zahlen; sie spielten z.B. in der Harmonielehre der Pythagoreer eine große
Rolle. Ebenfalls in der Antike stieß man auf die “inkommensurablen” Größen,
die nicht als Verhältnisse von ganzen Zahlen darstellbar sind. Die wichtigsten
Beispiele sind die Diagonale des Einheitsquadrats, deren Länge √ 2 beträgt, und
der Flächeninhalt des Einheitskreises mit dem Wert π. Dies sind zwei Beispiele
für irrationale Zahlen, die nur durch Näherung aus rationalen Zahlen gewonnen
werden können. Die reellen Zahlen sind dann einfach die rationalen und die
irrationalen Zahlen zusammengenommen. Damit waren bereits die wichtigsten
Bestandteile einer schrittweisen Reduktion aller Zahlenarten auf die natürlichen
Zahlen gegeben. Ein weiteres Ingredienz sind die negativen Zahlen, die
im Vergleich mit den inkommensurablen Größen eigentlich keine besonderen
begrifflichen Schwierigkeiten bieten, aber interessanterweise im antiken Griechenland,
anders als in China und Indien, nicht entwickelt wurden. Sie bilden
mit den natürlichen Zahlen das System der ganzen Zahlen und damit die Basis
4 Das Kleinsche Modell wird manchmal auch als “Bierdeckelgeometrie” bezeichnet.
P

Historisches 9
für die volle reelle Zahlenachse, die von Null aus nicht nur nach +∞, sondern
auch, an der Null gespiegelt, nach −∞ reicht. Im 16. Jahrhundert schließlich
traten noch die imaginären Zahlen hinzu; sie ergaben sich aus der Fragestellung,
die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen. Imaginäre Zahlen wurden zunächst
nicht als Zahlobjekte, sondern als reine Symbole betrachtet, mit denen man
Rechenmanipulationen durchführen konnte, welche der Arithmetik der reellen
Zahlen eine größere formale Geschlossenheit verliehen. Die Erweiterung der
Arithmetik um die imaginären Zahlen führte zu dem einheitlichen Begriff der
komplexen Zahlen, die Summen der Gestalt x + iy aus einem “Realteil” x und
einem “Imaginärteil” y darstellen, wobei i = √ −1 das imaginäre Grundelement
ist. Mit Gauß setzte sich dann die Interpretation der komplexen Zahlen als
Punkte in der Ebene durch (Gaußsche Zahlenebene). Analytisch gesehen sind
komplexe Zahlen damit nichts anderes als geordnete Paare von reellen Zahlen.
Das Ergebnis dieser sukzessiven Rückführung der genannten Zahlensysteme
auf die nächsteinfacheren war, daß man sie in eine Kette von Reduktionsbeziehungen
anordnen konnte, an deren Ende die natürlichen Zahlen stehen:
komplexe Zahlen → reelle Zahlen → rationale Zahlen → ganze Zahlen
→ natürliche Zahlen. Dies gab Gottlob Frege die Idee, eine Begründung der
gesamten Mathematik auf rein logischer Basis zu versuchen. Die natürlichen
Zahlen einschließlich der Null können nämlich als das aufgefaßt werden, was
allen Begriffen gemein ist, welche die entsprechende Anzahl von Objekten subsumieren,
wobei das Gemeinsame, etwa die Zahl n, durch den Begriff “zweiter
Stufe” ausgedrückt wird, unter genau diejenigen Begriffe zu fallen, die gerade n
Objekte subsumieren. Bezeichnen wir für den Augenblick einen Begriff mit dem
Kunstwort n-mächtig, 5 wenn er genau n Objekte subsumiert, so wäre danach
zum Beispiel die Zahl 3 nichts anderes als der Begriff zweiter Stufe, auf dreimächtige
Begriffe zuzutreffen. Die Zahl Null ist dann der zweitstufige Begriff,
auf null-mächtige oder leere Begriffe zuzutreffen, die gar keine Objekte subsumieren.
Begriffe aber sind nach Frege etwas Logisches, und über diese Brücke
wäre die Reduktion auf die Logik erreicht. Ein ähnliches Programm wurde von
Bertrand Russell verfolgt; beide Programme tragen den Namen Logizismus.
Der Logizismus ist philosophisch von Bedeutung, weil auf diese Weise die Mathematik
denselben erkenntnistheoretischen Status wie die reine Logik erhält
und somit neues Licht auf die Behauptung von Kant geworfen wird, die Sätze
der Mathematik seien zwar a priori, d.h. nicht empirisch gewonnen, aber
dennoch nicht analytisch, d.h. durch reine Begriffsanalyse herzuleiten. Wegen
des überragenden Einflusses von Kant war und ist diese Frage von großem
philosophischen Interesse. Der Logizismus wird heute zwar allgemein für falsch
gehalten, ist aber in “logisch geläuterter Form” immer noch ein wichtiges Thema
der Philosophie der Mathematik.
Bevor Frege sein Programm in Angriff nehmen konnte, galt es jedoch, die
Wissenschaft von der Logik zu modernisieren, um sie den Anforderungen anzupassen,
die die Mathematik stellte. Die Logik der Aussagen, d.h. die Logik
der Satzverknüpfungen wie ‘es ist nicht der Fall’, ‘und’, ‘oder’, ‘wenn – dann’
lag zwar im wesentlichen vor, obwohl die logische Bedeutung von wenn-dann-
Sätzen ein notorisches Problem darstellte; das alles entscheidende Mittel zur
ist.
5 Es gibt jedoch den Begriff gleichmächtig, der ein zentraler Terminus der Mengenlehre

10 Einleitung
logischen Analyse mathematischer Aussagen ist aber die Quantifikation, d.h.
die Verwendung und das Zusammenwirken von Quantorenausdrücken wie ‘alle’,
‘keiner’, ‘mindestens einer’. Auch diese Ausdrücke waren für sich genommen
nichts Neues; in ihrer Grundverwendung bilden sie das Kernstück der aristotelischen
Syllogistik. Allerdings entwickeln quantifizierte Aussagen ihre bis dahin
unbeachtete logische Komplexität durch die Möglichkeit der Schachtelung
mehrerer Quantorenausdrücke ineinander. Ein Beispiel aus der Mathematik
der Grenzübergänge (Limesbildung), die im 19. Jahrhundert durch Cauchy
und Weierstraß auf eine präzise Grundlage gestellt worden war, möge dies
illustrieren.
Beispiel 0.1 Zwei Begriffe von Konvergenz für reelle Funktionen.
Man betrachte eine Schar oder Folge von reellen Funktionen f1, f2, f3, . . . , fn, . . .,
die gegen eine Funktion f als Grenzwert konvergieren. Dieser Konvergenzbegriff für
Funktionen ist erklärt mit Hilfe der Konvergenz für Punktefolgen, und zwar der Konvergenz
der Folgen der Funktionswerte f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . gegen den
Grenzwert f(x) für die verschiedenen Argumente x. Eine solche Folge (fn(x)) konvergiert
gegen f(x), wenn für jede noch so kleine reelle Zahl ɛ > 0 eine natürliche
Zahl n existiert, so daß für alle m > n der Abstand zwischen f(x) und fm(x) kleiner
als ɛ ist. Man sagt nun, daß die Folge (fn) gegen f “punktweise” konvergiert, wenn für
alle x die genannte Bedingung erfüllt ist, m.a.W. wenn (i) für alle x und für alle ɛ > 0
es ein n gibt, so daß für alle m > n der Abstand zwischen f(x) und fm(x) kleiner als
ɛ ist. Schaut man diese Bedingung an, so sieht man, daß hier nicht weniger als vier
Quantorenausdrücke ineinandergeschachtelt sind, und zwar in der Reihenfolge für alle
– für alle – es gibt – für alle. Wird nun diese Reihenfolge verändert, z.B. dadurch, daß
der Quantorenausdruck ‘für alle x’ von der ersten an die dritte Stelle gerückt wird,
so nimmt die Bedingung (i) eine völlig andere Bedeutung an. Man definiert, daß die
Folge (fn) gegen f “gleichmäßig” konvergiert, wenn (ii) für alle ɛ > 0 es ein n gibt,
so daß für alle x und für alle m > n der Abstand zwischen f(x) und fm(x) kleiner
als ɛ ist. Nur im zweiten Fall der gleichmäßigen Konvergenz ist garantiert, daß die
Graphen der Funktionen fn ab einem hinreichend großen n einen engen “Hof” um die
Grenzfunktion f bilden; im ersten Fall dagegen hängt der Grad der Annäherung von
dem gewählten Punkt x ab, und der genannte Effekt stellt sich nicht notwendig ein.
Der mathematische Grenzwertbegriff verändert also seine Bedeutung mit der Anordnung
der Quantorenausdrücke, mit deren Hilfe er definiert ist. Der mathematische
Inhalt ist von der Logik wesentich mitbestimmt.
Für die logische Analyse derartiger Aussagen, wie sie nun in der Mathematik
verwendet wurden, war die traditionelle Syllogistik nicht entwickelt worden;
sie konnte sie auch nicht im Ansatz angemessen wiedergeben. Der Grund dafür
ist darin zu suchen, daß die Syllogistik ein Kalkül nur für die einfachsten Beziehungen
zwischen Begriffen war, dessen Ausdruckskraft in zweierlei Hinsicht
begrenzt ist: die Schachtelung von Quantoren blieb unberücksichtigt, und es
wurden keine relationalen Begriffe betrachtet. Diese beiden wesentlichen Komponenten
der modernen Logik wurden erst in der Prädikatenlogik einer formalen
Behandlung zugeführt, und ihr Begründer war Frege.
Um dieses Ziel zu erreichen, setzte Frege einen deutlichen Schnitt zwischen
der grammatischen Struktur von quantifizierenden Sätzen der Umgangssprache
und ihrer logischen Struktur. Betrachten wir den Satz

Historisches 11
(3) Ein Student löste alle Aufgaben.
Dies ist ein einfacher Satz mit Subjekt und Objekt, die durch das transitive
Verb ‘löste’ verbunden sind. Die Subjekt- und die Objekt-Konstituente, d.h.
‘ein Student’ bzw. ‘alle Aufgaben’, sind aber nur grammatische Einheiten, keine
logischen Einheiten. Um die logische Struktur des Satzes zum Vorschein zu
bringen, müssen diese Konstituenten zerlegt werden. Die folgenden Paraphrasen
sind Annäherungen an die logische Struktur:
(4) a. Es gibt einen Studenten, der alle Aufgaben löste.
b. Es gibt ein x so daß x ein Student ist und für alle y gilt: wenn y
eine Aufgabe ist, dann löste x y.
Werden in (4b) die deutschen Ausdrücke durch geeignete logische Symbole ersetzt,
so erhält man die logische Form des Satzes (3). Derartige logische Formen
entwickelt Frege nach dem Vorbild mathematischer Aussagen; so liefert dasselbe
Schema die logische Form (5b) für den folgenden mathematischen Satz
(5a):
(5) a. Jede positive reelle Zahl besitzt eine reelle Wurzel.
b. Für alle x gilt: wenn x eine positive reelle Zahl ist, dann gibt es
ein y so daß y reell ist und y die Wurzel von x ist.
Gegenüber dem vorigen Beispiel treten hier die Quantorenausdrücke ‘alle’ und
‘ein’ in umgekehrter Reihenfolge auf, mit entsprechend vertauschter logischer
Abhängigkeit, doch ist die Struktur der Bildung solcher logischen Formen die
gleiche. Derartige logische Formen wirken umständlich, aber sie lassen sich
aus wenigen immer gleichen Grundelementen aufbauen und machen die relative
Anordnung der logischen Ausdrücke deutlich. Diese Grundelemente sind
Darstellungen der beiden genannten Quantorenausdrücke ‘alle’ und ‘ein’, ergänzt
durch ihre Negationen ‘nicht alle’ und ‘kein’. Mit ihnen ergeben sich
vier Grundtypen von Quantorenphrasen, wie sie auch bereits im sogenannten
aristotelischen Quadrat der Oppositionen auftreten; siehe Abbildung 2.
Die prädikatenlogische Darstellung der Quantorenausdrücke erlaubt jedoch
ihre beliebige Schachtelung, so daß auch so komplexe Aussagen wie etwa die obige
Definition der Konvergenz von Funktionenfolgen ausgedrückbar sind. Wenn
wir das klassische Beispiel ‘alle Menschen sind sterblich’ variieren, dann lauten
die vier Darstellungen wie in (6a–d). Dabei ist jeweils unter dem umgangssprachlichen
Satz eine “Explizitfassung” EF angeben, die die logische Struktur
klarer hervorhebt, und darunter im Vorgriff auf später die logische Form LF,
mit ‘∀’ für ‘für alle’, ‘∃’ für ‘es gibt’, ‘¬’ für ‘es ist nicht der Fall, daß’, ‘∧’ für
‘und’, ‘→’ für ‘wenn–dann’, ‘P (x)’ für ‘x ist ein Mensch’, und ‘Q(x)’ für ‘x ist
sterblich’.
(6) a. alle: alle Menschen sind sterblich
EF: für alle x gilt: wenn x ein Mensch ist, dann ist x sterblich.
LF: ∀x(P (x) → Q(x))
b. nicht alle: nicht alle Menschen sind sterblich
EF: es ist nicht der Fall, daß für alle x gilt: wenn x ein Mensch
ist, dann ist x sterblich.
LF: ¬∀x(P (x) → Q(x))

12 Einleitung
Alle P sind Q
subaltern
Ein P ist Q
konträr
kontradiktorisch
kontra- diktorisch
subkonträr
Kein P ist Q
sub-
altern
Nicht alle P sind Q
Abbildung 2: Das aristotelische Quadrat der Oppositionen
c. ein: ein Mensch ist sterblich
EF: es gibt ein x so daß x ein Mensch ist und x sterblich ist.
LF: ∃x(P (x) ∧ Q(x))
d. kein: kein Mensch ist sterblich
EF: es ist nicht der Fall, daß es ein x gibt so daß x ein Mensch
ist und x sterblich ist.
LF: ¬∃x(P (x) ∧ Q(x))
Die Grundidee ist dabei, daß der Allausdruck ‘alle Menschen’ zerlegt wird
in eine Kombination aus einer Allquantifikation (‘für alle x gilt’) und einer
wenn-dann-Verknüpfung; der Existenzausdruck ‘ein Mensch’ dagegen wird zu
einer Kombination aus einer Existenzquantifikation (‘es gibt ein x’) und einer
und-Verknüpfung. Variablensymbole wie ‘x’ werden eingeführt, um bei der
Schachtelung von Quantorenausdrücken Übersicht über die zusammengehörenden
Bestandteile zu behalten.
Frege führt eine zweite Reform nach dem Muster der Mathematik durch:
er faßt die logische Beziehung der elementaren Prädikation als Anwendung einer
Funktion auf ein Argument auf. Zum Beispiel sagt oder “prädiziert” der Satz
‘Sokrates ist sterblich’ von Sokrates, daß er sterblich ist; seine logische Form hat
dann die Gestalt f(x), wobei das Symbol f für die “Aussagenfunktion” genannte
Form ‘. . . ist sterblich’ steht, welche auf das “Argument” ‘Sokrates’ angewendet
wird und eine Aussage liefert. Ebenso werden intransitive Verben wie ‘schlafen’
als derartige (einstellige) Aussagenfunktionen dargestellt, während transitive
Verben wie ‘lösen’ im obigen Beispiel zweistellige Funktionen sind: steht g für

Historisches 13
die Aussagenfunktion ‘. . . löst −−−’, x für eine Person und y für eine Aufgabe,
so bedeutet g(x, y), daß g auf die Argumente x und y angewendet oder von
ihnen prädiziert wird. Frege spricht auch von der “Sättigung” der mit drei
Punkten bzw. Strichen markierten Leerstellen durch ein oder mehrere Objekte
je nach Stelligkeit der Aussagenfunktion. Auf diese Weise führt Frege Logik
und Mathematik zusammen und legt den Grundstein für die Mathematisierung
der Logik. Entsprechend lautet der programmatische Titel seiner ersten großen
Arbeit von 1879, in dem diese Ideen entwickelt werden: Begriffsschrift, eine der
arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens [73].
Nachdem auf diese Weise eine formale Sprache geschaffen war, die die Formalisierung
beliebig komplexer quantifizierter Aussagen gestattete, konnte das
Programm der Grundlegung der Mathematik in Angriff genommen werden. Dazu
galt es, die Gesetze der Logik nach dem Vorbild der axiomatischen Methode
in der Geometrie in ein axiomatisches System zu fassen. Ein solches System
besteht aus einer möglichst kleinen Anzahl von Grundgesetzen oder Axiomen,
aus denen mit Hilfe einiger weniger Schlußregeln alle logischen Gesetze abgeleitet
werden können. In der Begriffsschrift findet sich ein erstes solches System.
In seinem Hauptwerk, Grundgesetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet
[77] unternimmt Frege dann den Versuch, die Arithmetik der natürlichen
Zahlen aus der reinen Logik herzuleiten und damit das logizistische Programm
zu realisieren.
Die Rezeption der Fregeschen Schriften blieb trotz ihrer Bedeutung durch
zwei Faktoren beschränkt. Zunächst war die formale Sprache der Begriffsschrift
ein “zweidimensionaler” Symbolismus, der bereits bei Aussagen von nur mäßiger
Komplexität kaum zu lesen war und damit durchaus abschreckend wirkte.
Der zweite Grund war ein wissenschaftssoziologischer: Als formal arbeitender
Philosoph saß er zwischen den Stühlen der Philosophengemeinde auf der einen
und der Mathematikergemeinde auf der anderen Seite. Dementsprechend äußert
er sich in der Einleitung der Grundgesetze von 1893 sehr pessimistisch über
die mögliche Leserschaft des Buchs: “Jedenfalls müssen alle Mathematiker aufgegeben
werden, die beim Aufstossen von logischen Ausdrücken wie ‘Begriff’,
‘Beziehung’, ‘Urtheil’ denken: metaphysica sunt, non leguntur! und ebenso die
Philosophen, die beim Anblick einer Formel ausrufen: mathematica sunt, non
leguntur!” ([77], Bd. I: xii) 6
Erfolgreicher als Frege war der italienische Mathematiker Guiseppe Peano,
der zur gleichen Zeit einen logischen Symbolismus entwickelte, welcher
sowohl von dem Philosophen Russell als auch von den an Grundlagenfragen
arbeitenden Mathematikern übernommen wurde. Das charakteristische Quantorensymbol
für den Existenzquantor, ‘∃’, geht z.B. auf Peano zurück. Wichtiger
aber ist Peanos Formulierung der nach ihm benannten Axiome der Arithmetik;
sie sind bis heute im Gebrauch.
Für Bertrand Russell war die Begegnung mit Peano auf dem Pariser Philosophenkongress
im Jahr 1900 ein regelrechtes Erweckungserlebnis. In seiner
6 Es ist eine interessante historische Tatsache, daß dieses Spannungverhältnis, zumindest
was den mainstream sowohl auf der Seite der Philosophie wie der Mathematik betrifft, bis
heute fortbesteht. Allerdings hat sich mit der analytischen Philosophie eine Tradition herausgebildet,
die die Kluft zwischen den formalen Wissenschaften und der Philosophie zu
überbrücken trachtet.

14 Einleitung
Autobiographie beschreibt er das so:
Der Kongreß war ein Wendepunkt in meinem intellektuellen Leben, weil
ich dort Peano kennenlernte. Ich kannte ihn vorher schon vom Namen
und hatte auch einige seiner Arbeiten gesehen, aber mir nicht die Mühe
gemacht, seine Notation zu verstehen. Bei den Diskussionen auf dem
Kongreß stellte ich fest, daß er stets präziser war als alle anderen, und daß
er unweigerlich bei allen Disputen, auf die er sich einließ, die Oberhand
behielt. Als die Tage verstrichen, gewann ich die Überzeugung, daß er
dies seiner mathematischen Logik verdanke. Also bat ich ihn, mir alle
seine Schriften zu geben. ... Mir wurde klar, daß sein Formalismus ein
Instrument zur logischen Analyse lieferte, nach dem ich jahrelang gesucht
hatte, und daß ich durch das Studium seiner Werke neue und machtvolle
Techniken für schon lange geplante Arbeiten an die Hand bekam.
([222]: 147; Übersetzung G.L.)
Dementsprechend fanden Peanos Formalismus und seine Methoden Eingang
in Russells Schriften, vor allem in sein logisches Hauptwerk, die Principia
Mathematica [268], die er zusammen mit Alfred Whitehead verfaßte. Bevor
gesagt werden kann, worum es in diesem einflußreichen dreibändigen Werk ging,
muß ein weiterer Entwicklungsstrang der modernen Logik erwähnt werden: die
Mengenlehre.
0.1.2 Cantors Mengenlehre
Die Mengenlehre ist heute auch Nicht-Spezialisten bekannt, weil sie die Gestalt
der Mathematik des 20. Jahrhunderts entscheidend prägte. Sie faßte die
verschiedenen Disziplinen der Mathematik in einer einheitlichen Rahmentheorie
zusammen und ist heute eine lingua franca für alle mit formalen Methoden
arbeitenden Wissenschaften. Im 19. Jahrhundert jedoch war die mengentheoretische
Begriffsbildung auch in der Mathematik so neu und ungewohnt, daß der
Begründer der Mengenlehre, der Mathematiker Georg Cantor, selbst in seiner
eigenen Zunft ins Abseits geriet. Die Objekte der Mathematik waren nach
der Auffassung der meisten Mathematiker Zahlen und Funktionen, während
Mengen für zu abstrakt und teilweise für widersprüchlich gehalten wurden.
Die weithin bekannte Begriffsbestimmung der Mengen, die Cantor gab,
lautet wie folgt:
(7) Unter einer “Menge” verstehen wir jede Zusammenfassung M von
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung
oder unseres Denkens (welche die “Elemente” von M genannt
werden) zu einem Ganzen. ([35]: 282)
Für die Beziehung der Elementschaft hat sich die bekannte Epsilon-Notation
(8a) eingebürgert, zu lesen wie unter (8b):
(8) a. m ∈ M
b. m ist ein Element von M

Historisches 15
Jede derartige Zusammenfassung zu einem Ganzen, von dem Cantor spricht,
benötigt ein Kriterium, das über die Mitgliedschaft in einer Menge entscheidet.
Da die Cantorsche Bestimmung keinerlei Einschränkungen für ein solches
Kriterium enthält, könnte man allgemein sagen, daß jede beliebige Eigenschaft
von Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einer Menge führt,
und zwar gerade zu der Menge derjenigen Objekte, die diese Eigenschaft erfüllen.
Cantor benutzte als Notation für Mengen geschweifte Klammern, die bis
heute üblich sind: wenn das Symbol Φ für die gegebene Eigenschaft steht, so
bezeichnen wir die Menge derjenigen Objekte x, die die Eigenschaft Φ besitzen,
mit
(9) { x | Φ[x] }
Man kann dann aus der Cantorschen Bestimmung das folgende allgemeine Prinzip
für die Zugehörigkeit zu einer Menge der Gestalt (9) gewinnen:
(10) y ∈ { x | Φ[x] } genau dann, wenn y die Eigenschaft Φ hat
Das lateinische Wort für ‘zusammenfassen’ ist comprehendere, und so wird diese
Bestimmung das Cantorsche Komprehensionsprinzip für Mengen genannt. 7
Man spricht heute auch von einem “naiven” Komprehensionsprinzip, weil man
es nicht ganz wörtlich nehmen kann, wie wir unten sehen werden. Beispiele für
Mengen in der Mathematik sind natürlich in erster Linie die Zahlensysteme;
natürliche oder reelle Zahlen sind “wohlunterschiedene” Objekte unseres Denkens,
und also kann man die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge
der reellen Zahlen bilden. Beide Mengen sind unendliche Mengen; ihre aktuale
Existenz nahm Cantor ohne Umschweife an und stellte sich damit gegen die
traditionelle philosophische Auffassung von Unendlichkeit als etwas, was niemals
in Wirklichkeit, sondern stets nur in seiner “Potentialität” gegeben ist.
Diese Auffassung des potentiell Unendlichen, die auf Aristoteles zurückgeht,
wurde auch von Mathematikern bis hin zu Gauß geteilt. Der Begriff des
Aktual-Unendlichen erlaubte es Cantor jedoch, das Unendliche als einen Bereich
aufzufassen, der der mathematischen Erforschung zugänglich ist, während
die alte Auffassung das Unendliche vorwiegend entweder als etwas Negatives
begriff, über das man wenig mehr sagen konnte, als daß es nicht endlich sei,
oder aber es mit metaphysischen Begriffen wie Gott oder dem Absoluten identifizierte,
dem unser endlicher Verstand nicht beikommen kann.
Der Grundstein für die Strukturierung des Unendlichen wurde durch die
Entdeckung Cantors gelegt, daß nach Festlegung eines geeigneten Größenbegriffs
für unendliche Mengen (dem der Mächtigkeit) sich unendliche Mengen
verschiedener Mächtigkeit ergeben. Während die Menge der natürlichen Zahlen
die kleinste unendliche Mächtigkeit repräsentiert, besitzt die Menge der reellen
Zahlen eine höhere Mächtigkeit; dies fand Cantor mit Hilfe seines berühmten
Diagonalverfahrens heraus. Es zeigte sich schnell, daß es sogar unendlich
viele verschiedene Mächtigkeiten gibt. Dazu betrachtete Cantor zu einer unendlichen
Menge die Menge aller ihrer Teilmengen, Potenzmenge genannt; er
7 Diese Bezeichnung ist historisch nicht ganz korrekt, da sich ein solches Prinzip nicht
bei Cantor findet und auch dem Geist seiner Mengenauffassung zuwiderläuft, wie etwa S.
Lavine [157] argumentiert.

16 Einleitung
bewies, daß die Potenzmenge eine höhere Mächtigkeit als die Ausgangsmenge
haben muß. Ferner zeigte er, daß die Potenzmenge der Menge der natürlichen
Zahlen dieselbe Mächtigkeit wie die der reellen Zahlen besitzt.
Mächtigkeiten bezeichnete Cantor mit dem ersten Buchstaben des hebräischen
Alphabets, Aleph: ℵ; die kleinste unendliche Mächtigkeit, also die
der natürlichen Zahlen, nannte er ℵ0. Er stellte sodann die einfache Frage, ob
die Mächtigkeit der reellen Zahlen, da sie nicht gleich ℵ0 sein konnte, vielleicht
die nächsthöhere Mächtigkeit ℵ1 sei, und vermutete, daß sich dies auch so verhält.
Da die reellen Zahlen kollektiv auch das “Kontinuum” genannt werden,
heißt diese Vermutung die Kontinuumhypothese, kurz CH . Cantor mußte
einsehen, daß er keine Möglichkeit hatte, diese Vermutung zu beweisen, was
er als schweren Schlag für das sonst so elegante und erfolgreiche mengentheoretische
Programm ansah. Das Kontinuumproblem erlangte in der Folgezeit
eine außerordentliche Berühmtheit. David Hilbert nannte es auf dem Pariser
Mathematikerkongreß im Jahre 1900, dem weltweite Beachtung zuteil war, als
erstes in einer Reihe von über zwanzig ungelösten Problemen der Mathematik.
Erst Jahrzehnte später begriff man die besondere Natur dieses Problems: es
verhielt sich nämlich zu den bis dahin kodifizierten Axiomen der Mengenlehre
genauso wie das Parallelenpostulat zu den anderen Axiomen der euklidischen
Geometrie. Man kann weder die Kontinuumhypothese noch ihre Negation aus
den Axiomen beweisen; sie ist von diesen unabhängig. Bevor dieser Nachweis
im Jahre 1963 schließlich gelang, hatte sich die mathematische Logik zu einer
Wissenschaft von beträchtlicher Reife und Subtilität entwickelt. Das Kontinuumproblem
warf zugleich tiefe philosophische Fragen zur Realität und zum
Charakter des Universums aller Mengen auf: ist in diesem Universum die Kontinuumhypothese
wahr oder falsch, oder gibt der Begriff der absoluten Wahrheit
in der Mathematik möglicherweise gar keinen Sinn?
Während Cantor mit dem Kontinuumproblem rang und über andere
scheinbare Ungereimtheiten seiner Mengenlehre mit den traditionellen Mathematikern
Dispute führte, entwickelte sich eher am Rande eine Problematik, die
nun geradewegs eine Krise der Grundlagen der Mathematik herbeiführte. Cantor
selbst hatte bereits gemerkt, daß er bei der Mengenbildung eine gewisse
Vorsicht walten lassen mußte: die Annahme einer Menge aller Mengen etwa
führt zu der Konsequenz, daß es eine echt größere Potenzmenge von ihr geben
muß, sie damit aber entgegen ihrer Definition nicht alle Mengen enthält. Cantor
sah dies jedoch als ein von der mathematischen Praxis weit entferntes und
isoliertes Grenzproblem an. Es war nun Russell, der im Mai 1901 die Entdeckung
machte, daß das oben erwähnte Komprehensionsprinzip ohne geeignete
Beschränkungen nicht aufrecht erhalten werden kann. Von der Beobachtung
ausgehend, daß im üblichen Mengenverständnis eine Menge nicht ein Element
von sich selbst ist, isolierte Russell die Eigenschaft
(11) Φ[x]: x ist kein Element von sich; kurz: x �∈ x
Der Versuch, die Menge aller Mengen zu bilden, die sich selbst nicht als Element
enthalten:
(12) { x | x �∈ x },

Historisches 17
führt jetzt zusammen mit dem Komprehensionsprinzip (10) zu einem Widerspruch.
Bezeichnen wir diese Russellsche Menge mit r und fragen danach, ob
r selbst ein Element von r ist. Wird das bejaht, so besitzt r die definierende
Eigenschaft der Menge in (12), d.h. r ist kein Element von r. Wenn aber
umgekehrt die “Selbstelementschaft” von r verneint wird, so hat r gerade die
definierende Eigenschaft der Menge r, und dann müßte r eines der Elemente
von r sein. In Symbolen:
(13) r ∈ r genau dann, wenn r �∈ r
Dies ist nun eine echte Antinomie, deren Kennzeichen es ist, daß aus unkontrovers
erscheinenden Prämissen, wie hier dem naiven Komprehensionsprinzip,
ein nicht auflösbarer Widerspruch abgeleitet werden kann. Die Tatsache, daß
sie so leicht erklärt werden kann, ist ein Hinweis auf Schwierigkeiten grundsätzlicher
Art, die mehr sind als ein Grenzproblem in der Mengenlehre wie das der
Menge aller Mengen. Der größte Logiker des 20. Jahrhunderts, Kurt Gödel,
sagte später zu der Russell-Paradoxie:
[Russell] unterzog die Paradoxien, zu denen Cantors Mengenlehre
geführt hatte, einer eingehenden Analyse und befreite sie von allen
technischen Details; er förderte so das erstaunliche Faktum zu Tage,
daß unsere logischen Intuitionen (d. h. Intuitionen zu Konzepten wie
Wahrheit, Begriff, Sein, Klasse, usw.) Widersprüche in sich tragen.
([97]: 131; Übersetzung G.L.)
Die Paradoxie stellte die als selbstverständlich angenommene Beziehung
zwischen Begriff und Umfang in Frage, nämlich daß es zu jedem beliebigen
Begriff einen Umfang gibt, der genau die Objekte enthält, die unter den Begriff
fallen. Dies hatte auch Frege in seinen Grundgesetzen angenommen und
mußte nun feststellen, daß sein System einen analogen Widerspruch enthielt.
Mathematiker, die nichts von der neuen Logik hielten, fühlten sich in ihrer
Abneigung bestärkt; so ist von dem berühmten Mathematiker Poincaré die
Bemerkung überliefert: “Die Logik ist gar nicht mehr steril — sie zeugt jetzt
Widersprüche!”
Russell selbst faßte seine Entdeckung als persönliche Herausforderung auf,
eine Lösung der Paradoxie sowie einer ganzen Reihe verwandter Paradoxien
zu erarbeiten, welche in dieser Zeit sehr schnell entdeckt oder wiederentdeckt
wurden. Zu den letzteren zählte auch die Jahrtausende alte Lügnerparadoxie:
Wenn ich den Satz äußere: “ich lüge jetzt”, oder auch: “was ich jetzt gerade sage,
ist falsch”, sage ich dann mit diesem Satz die Wahrheit oder die Unwahrheit?
Beide Annahmen führen ähnlich wie bei der Russell-Paradoxie jeweils zu ihrem
Gegenteil.
Russell benötigte fast zehn Jahre, bevor er zusammen mit Whitehead
die Principia Mathematica publizieren konnte, in der eine Lösung der Paradoxien
präsentiert wird. Dazu entwickelten die Autoren eine Logik der Typen,
welche Elementschaftszyklen der Form ‘x ∈ x’ oder auch ‘x �∈ x’ von vornherein
unterbindet und so die Russell-Paradoxie im Ansatz blockiert. Darüberhinaus
liegt die Bedeutung dieses Werks vor allem in den folgenden Punkten: Erstens
baut es mit Hilfe der Peano-Notation ein umfassendes System der Logik auf,
welches als Vorbild späterer Systeme der mathematischen Logik diente und

18 Einleitung
das System der modernen Prädikatenlogik der ersten Stufe, auch elementare
Logik genannt, als Teilsystem enthält; zweitens wird hier das logizistische
Programm der Zurückführung der Mathematik auf die Logik im Detail vorangetrieben,
soweit dies möglich war; und schließlich findet sich drittens in dem
Werk eine nach Inhalt, Methode und Präzision völlig neue Philosophie, welche
richtungsweisende Beiträge zur Ontologie, Erkenntnistheorie, Sprachphilosophie
sowie den Grundlagen von Logik und Mathematik lieferte. Wegen ihres
kompromißlosen Formalismus sind die Principia Mathematica bis heute keine
leichte Lektüre. Daß ihre logische Genauigkeit dennoch nicht mehr heutigen
formalen Standards genügen kann, spricht nicht gegen ihre epochemachende
Innovation an formaler Strenge, sondern lediglich für die beachtliche Schnelligkeit,
mit der die Entwicklung der mathematischen Logik in den letzten hundert
Jahren vonstatten ging.
0.1.3 Die Logik des 20. Jahrhunderts
Daß die Logik sich als mathematische Disziplin etablieren konnte, verdankt
sie vor allem dem von seinen Fachkollegen anerkannten Mathematiker Hilbert,
der oben bereits erwähnt wurde. Neben seinen im engeren Sinne mathematischen
Arbeiten befaßte sich Hilbert um die Jahrhundertwende mit den
Grundlagen der Geometrie, deren Axiomatisierung ja bereits der Gegenstand
vieler Untersuchungen im 19. Jahrhundert gewesen war. Im Zusammenhang der
Diskussionen um den Status der nicht-euklidischen Geometrien waren Fragen
der Widerspruchsfreiheit von Axiomensystemen in den Vordergrund getreten.
Hilbert und seine Schüler nahmen nun die Entdeckung der Widersprüche
in der naiven Mengenlehre zum Anlaß, systematisch die Teilgebiete der Mathematik
zu untersuchen, sie zu axiomatisieren und ihre Widerspruchsfreiheit
nachzuweisen (Hilbertsches Programm). Sieht man von der Geometrie ab, so
handelte es sich vor allem um drei zentrale, aufeinander aufbauende mathematische
Disziplinen: (i) die Theorie der natürlichen Zahlen und ihrer Funktionen
(Arithmetik), (ii) die Theorie der reellen Zahlen und ihrer Funktionen (Analysis)
sowie (iii) die Theorie der Mengen (Mengenlehre). Da hier mathematische
Theorien selbst Gegenstand der Untersuchungen sind, spricht man von diesem
Forschungsprogramm auch als der Metamathematik. Natürlich können die
Methoden der Metamathematik keine anderen als mathematische sein; um nun
einem “Methodenzirkel” zu entkommen, verlangte Hilbert, in der Metatheorie
nur solche Mittel zu verwenden, die in einem gewissen Sinn als “unproblematisch”
gelten können. Angesichts der unerwarteten Probleme mit den intuitiven
Grundlagen der Mathematik einerseits und mit den zum Teil paradox anmutenden
Phänomenen im Unendlichen andererseits versuchte er, auf inhaltliche,
“semantische” Argumente zu verzichten wie auch auf “infinitäre”, auf unendliche
Bereiche Bezug nehmende Methoden. Beweise wurden nur anerkannt, wenn sie
rein formal nach fest vorgegebenen Regeln durchgeführt werden konnten. Diese
Maxime trägt den Namen Formalismus. Der Verzicht auf infinitäre Argumente
wird als Finitismus bezeichnet. Die Widerspruchsfreiheitsbeweise sollten also
ausschließlich mit finiten Methoden erbracht werden, die rein kombinatorischer
Natur sind und ohne Unendlichkeit auskommen.
Bei der Axiomatisierung der genannten drei Theorien erwies es sich als

Historisches 19
zweckmäßig, genauer festzulegen, über welche Art von Objekten eine Theorie
“spricht”: es sind dies die Objekte, über die mit Hilfe der gebundenen Variablen
der Theorie quantifiziert wird. Der Quantifikationsbereich ist zwar eigentlich
ein semantisches Konzept, das nicht explizit in der Theorie eine Rolle spielen
durfte; aber man benutzte für die verschiedenen Bereiche verschiedene Typen
von Variablen und “sagte dann dazu”, was der intendierte Bereich sein sollte.
Die arithmetischen Quantoren z.B. variieren über Zahlen, die anders als bei
Frege als Objekte der untersten Stufe, Individuen genannt, aufgefaßt werden.
Wenn man neben der Quantifikation über Zahlen auch die Quantifikation über
Mengen von Zahlen zuläßt, so spricht man von einer Theorie höherer, genauer:
der zweiten Stufe. Freges System entspricht einer Theorie der zweiten Stufe,
Russells Typentheorie sogar einer Theorie beliebiger endlicher Stufen. Wie
oben bereits erwähnt, läßt die elementare Logik nur die Quantifikation über Individuen,
also Objekte der ersten Stufe, zu. Die übliche, auf den Axiomen von
Peano basierende Zahlentheorie ist eine Theorie der ersten Stufe und trägt den
Namen Peano-Arithmetik. Die Analysis läßt sich als Zahlentheorie der zweiten
Stufe entwickeln, weil die reellen Zahlen mit gewissen Mengen von natürlichen
Zahlen identifiziert werden können; dies ergibt sich aus den Reduktionsbeziehungen
zwischen den Zahlensystemen. Die Mengentheorie ist wiederum eine
Theorie der ersten Stufe; ihre Objekte sind alles Individuen, welche Mengen
genannt werden. Die Reduktion der Mathematik auf die Mengenlehre bedeutet,
daß alle mathematischen Objekte gewisse Mengen sind, speziell die verschiedenen
Arten von Zahlen und alle Relationen und Funktionen über ihnen.
Auch können alle mathematischen Theorien in die Mengentheorie eingebettet
werden; diese ist somit die umfassendste Theorie.
Was nun die Frage der Widerspruchsfreiheit betrifft, so geriet das Hilbertsche
Programm schon bei dem schwächsten System, dem der Arithmetik, in
unüberwindbare Schwierigkeiten. Zwar wurde für dieses System ein Widerspruchsfreiheitsbeweis
geführt (durch Gerhard Gentzen im Jahre 1936), aber
der Beweis benutzte wesentlich nicht-finite Mittel; und weit davon entfernt,
schwächer zu sein, waren sie sogar erheblich stärker als die Beweismittel, die
in der Arithmetik selbst zur Verfügung stehen. Dieses Resultat befindet sich
im Einklang mit einer Entdeckung von Kurt Gödel wenige Jahre vorher: sie
besagt, daß eine Theorie, die so stark ist wie die Peano-Arithmetik, ihre eigene
Widerspruchsfreiheit nicht beweisen kann. Dies ist der Inhalt des sogenannten
zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes. Der finite Standpunkt muß also
in seiner strikten Form aufgegeben werden. Das mag für Mathematiker und
Philosophen, die diese Position für unnötig restriktiv hielten, nicht besonders
schlimm gewesen sein. Weit schwerer wog allerdings eine weitere Folgerung aus
dem Gödelschen Satz: da die Mengenlehre die Arithmetik umfaßt, gilt dasselbe
für sie, d.h. ihre Widerspruchsfreiheit kann nicht in der Mengenlehre selbst bewiesen
werden. Nun umfaßt die Mengenlehre aber im wesentlichen die gesamte
Mathematik; die Frage, ob die Mathematik als ganze widerspruchsfrei ist, muß
also unbeantwortet bleiben. Der Optimismus Hilberts, der verkündet hatte,
in der Mathematik gebe es kein Ignorabimus, erhielt hierdurch einen gewissen
Dämpfer.
Zur Unbeweisbarkeit der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik innerhalb des
Systems selbst gelangte Gödel mit Hilfe von Methoden, die er für seinen ersten

20 Einleitung
Unvollständigkeitssatz entwickelt hatte. Dieser sagt aus, daß es in der Arithmetik
Sätze gibt, die im Peanoschen Axiomensystem weder beweisbar noch
widerlegbar sind, d.h. auch ihre Negation ist nicht beweisbar. Nun ist ein solcher
Satz in der Sprache der Arithmetik formuliert und daher entweder eine
wahre oder eine falsche Aussage über die natürlichen Zahlen; ist er falsch, so
ist seine Negation wahr, die ebenfalls nicht beweisbar ist. Es gibt damit auf
jeden Fall einen wahren arithmetischen Satz, welcher nicht beweisbar ist. Dies
zeigt, daß die Begriffe der Wahrheit und der Beweisbarkeit auseinanderfallen.
Zwar ist jeder beweisbare Satz auch wahr, da die Axiome wahr sind und der
Kalkül korrekt ist, d.h. aus wahren Prämissen wahre Folgerungen zieht. Aber
es gibt “mehr” arithmetische Wahrheiten als beweisbare Sätze: das Hauptinstrument
des Mathematikers, der Beweis, greift schon im Fall der Arithmetik
zu kurz. Dies ist ein Ergebnis von außerordentlicher Tragweite. Es wirft tiefliegende
Fragen nach dem Status mathematischer Wahrheit auf, die außer für
den an Grundlagenfragen arbeitenden Logiker auch für den Philosophen von
höchstem Interesse sind.
Die Gödelschen Resultate sind in seinem Aufsatz “Über formal unentscheidbare
Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I” von 1931 [96]
veröffentlicht. 8 Welches waren nun die Methoden, mit denen Gödel seine berühmten
Unvollständigkeitssätze bewies? Das neuartige Verfahren, dessen Gödel
sich bediente, bestand in einer Kodierung der logischen Syntax der Arithmetik
in der Arithmetik selbst, heute auch Arithmetisierung oder Gödelisierung
genannt. Es beruht auf der Beobachtung, daß arithmetische Formeln ebenso wie
natürlichsprachliche Sätze, ganz allgemein also die sinnvollen Ausdrücke einer
Sprache, endliche Ketten von gewissen Grundausdrücken sind (im ersten Fall
z.B. sind die Grundausdrücke die Grundsymbole der arithmetischen Sprache,
und im zweiten Fall Wörter einer gegebenen natürlichen Sprache). Den Grundausdrücken
ordnet man nun gewisse natürliche Zahlen zu, und den Ketten von
Grundausdrücken weitere Zahlencodes, aus denen die Bestandteile in eindeutiger
Weise zurückgewonnen werden können. Die Kodierung geht zugleich so vor
sich, daß den syntaktischen Operationen berechenbare Funktionen auf den Zahlencodes
entsprechen; dadurch kann gewährleistet werden, daß die Kodierung
überprüfbar und korrekt ist, d.h. daß die Kodierung eines syntaktischen Sachverhalts
diesen in der Arithmetik auch “ausdrückt”. Insbesondere kann auf diese
Weise der Beweisbegriff selbst auf adäquate Weise kodiert werden. Durch eine
ingenuöse Verwendung der Selbstbezüglichkeit des Systems gelangt Gödel zu
einem arithmetischen Satz, der seine eigene Unbeweisbarkeit ausdrückt. Wegen
der Korrekheit der Arithmetisierung ist dieser Satz wahr, aber nicht beweisbar;
er ist aber auch nicht widerlegbar, sondern “unentscheidbar”. Es ist nun
leicht zu sehen, wie auch die Widerspruchsfreiheit im System ausdrückbar ist.
Ein System heißt widerspruchsfrei oder konsistent, wenn nicht alle Aussagen
beweisbar sind. Man nimmt nun eine einfache offensichtlich falsche Aussage,
etwa ‘0 = 1’, und kodiert die Behauptung “‘ 0 = 1’ ist nicht beweisbar ”; dies
ist eine mögliche Konsistenzaussage für das System. Gödel zeigt von ihr, daß
8 Es ist von Interesse festzustellen, daß auch über zwanzig Jahren nach ihrem Erscheinen
die Principia der Philosophen Whitehead und Russell noch das Referenzwerk der neuen
mathematischen Logik war. Allerdings änderte sich das in dem dann beginnenden Jahrzehnt
grundlegend: die Logik wurde durch die Arbeiten von Gödel, Gentzen, Turing, Tarski
und anderen Logikern auf eine qualitativ andere Stufe gehoben.

Historisches 21
sie ebenfalls unentscheidbar ist.
Für die technische Durchführung der Arithmetisierung der Syntax war es
wichtig, die einzelnen Kodierungsschritte in kontrollierbarer, oder wie man
sagt: in effektiver bzw. berechenbarer Weise vorzunehmen. Da die syntaktischen
Operationen, die es zu verschlüsseln galt, effektiv sind, kam es darauf
an, die entsprechenden Operationen auf den Gödelschen Zahlencodes ebenfalls
berechenbar zu halten. Gödel benutzte dazu die sogenannten primitiv rekursiven
Funktionen, deren Theorie damals gerade entwickelt wurde. Dies sind
Funktionen auf den natürlichen Zahlen, die zu jedem gegebenen Argument
aufgrund einer expliziten Rechenvorschrift nach endlich vielen Rechenschritten
ein eindeutiges Resultat liefern. Es sei bemerkt, daß nicht jede Funktion
im Sinne der Cantorschen Mengenlehre von dieser Art ist: der moderne Funktionsbegriff
ist wesentlich allgemeiner. Doch sind die üblichen arithmetischen
Funktionen wie die Addition, die Multiplikation und die Exponentiation alle
primitiv rekursiv. Es stellte sich nun die Frage, ob der allgemeine intuitive Begriff
der Berechenbarkeit durch diese primitiv rekursiven Funktionen adäquat
erfaßt wird. Alan Turing ersann das Konzept einer abstrakten Rechenmaschine,
die die allgemeinsten berechenbaren Prozesse simuliert; dies ist die nach ihm
benannte Turingmaschine. In der Rekursionstheorie zeigt man, daß es zu jeder
primitiv rekursiven Funktion eine diese Funktion simulierende Turingmaschine
gibt, d.h. daß alle primitiv rekursiven Funktionen “Turing-berechenbar” sind.
Der Begriff der Turing-Berechenbarkeit erwies sich jedoch als allgemeiner, und
die Churchsche These besagt, daß der allgemeine Begriff der Berechenbarkeit
mit der Turing-Berechenbarkeit gleichzusetzen ist, da eine ganze Reihe weiterer
und zunächst ganz verschiedenartiger Charakterisierungen der Berechenbarkeit
sich mit dem Turingschen Begriff deckten. All diese Untersuchungen stammen
ebenfalls aus den Dreißiger Jahren. Während dieser Zeit wurden in der Logik
die theoretischen Grundlagen der modernen Computer- und Informationswissenschaften
gelegt.
Das Turingsche Konzept einer abstrakten Rechenmaschine erlangte in der
Folgezeit auch eine beträchtliche philosophische Bedeutung. In dem Maße, wie
versucht wurde, die kognitiven Prozesse des menschlichen Geistes zu verstehen,
beschäftigten sich Kognitionswissenschaftler und Philosophen mit der Natur
der Hirnprozesse, die bei der Verarbeitung externer und interner Reize und
Informationen ablaufen. Ein vieldiskutiertes Hirnmodell ist das der Erstellung
symbolischer Repräsentationen und ihrer Manipulationen: Denken als Symbol-
Manipulation ganz analog zu einer Rechenmaschine oder einem Computer, also
das Gehirn als Turingmaschine. Umgekehrt hatte schon Turing die Idee, die
“Intelligenz” eines Computerprogramms daran zu messen, wie erfolgreich es
kognitive Prozesse simulieren kann. Der bekannte Turingtest besagt, daß eine
Maschine dann geistige Prozesse adäquat nachahmen kann, wenn eine menschliche
Person, die mit der Maschine kommuniziert und ihr Fragen stellt, nach
einer gewissen Zeit aufgrund der gegebenen Antworten nicht zu entscheiden
vermag, ob sich auf der anderen Seite die Machine oder ein Mensch befindet.
Die dadurch aufgeworfenen Probleme werden bis heute in den Kognitionswissenschaften
und der Philosophie des Geistes diskutiert.
Wir kehren zu den eigentlichen Fragen der Logik zurück. Eine weitere grund-

22 Einleitung
legende Entwicklung jener Zeit war die Begündung der Theorie der Wahrheit
und allgemeiner der Semantik als logische Disziplin durch Alfred Tarski. Der
klassische Text ist Tarskis Schrift Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten
Sprachen von 1935, die bis heute auch in der Philosophie eine bedeutende
Quelle darstellt. Ausgehend von der Lügner-Paradoxie, die wesentlich das
Wahrheitsprädikat “... ist wahr” enthält, analysiert Tarski die paradoxe Verwendung
des Wahrheitsbegriffs in der Umgangsprache und gibt eine Lösung des
Problems im Rahmen formaler Logik-Systeme, indem er die wesentliche Unterscheidung
zwischen Objekt- und Metasprache trifft: Wahrheit ist ein Prädikat
der Metasprache, das die Aussagen der Objektsprache in wahre und falsche
einteilt; in diesen Aussagen selbst kommt aber das Wahrheitsprädikat nicht
vor.
Die in Tarskis Aufsatz entwickelte Semantik, heute Tarski-Semantik, modelltheoretische
oder Interpretationssemantik genannt, ist ein zentrales Instrument
der formalen Philosophie. In der mathematischen Logik hat sie sich in der
Folgezeit zu der Teildisziplin der Modelltheorie weiterentwickelt, zu der Tarski
selbst wesentliche Beiträge lieferte. Vor Tarski waren semantische Begriffe
zwar implizit vorhanden, z.B. in Gödels Begriff der arithmetisch wahren, aber
unentscheidbaren Aussage, aber im Rahmen des Hilbertschen Formalismus waren
sie nicht wirklich “hoffähig”; sie galten als zu inhaltlich und philosophisch.
Mit Hilfe der Tarski-Semantik konnte man nun den wesentlich semantischen
Charakter einiger wichtiger früherer Ergebnisse der Logik klar herausarbeiten.
Das trifft insbesondere auf ein anderes zentrales Resultat von Gödel zu, den
Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik. Er besagt, daß jede widerspruchsfreie
Menge von Aussagen ein Modell besitzt, d.h. eine Struktur, die alle Aussagen
dieser Menge wahr macht. Geeignet umformuliert kann man den Inhalt
des Vollständigkeitssatzes auch wie folgt ausdrücken. Der Satz stellt eine Verbindung
her zwischen dem syntaktischen Begriff der Beweisbarkeit und dem
semantischen Begriff der logischen Wahrheit, d.h. der Erfüllung in jeder möglichen
Struktur; das Resultat ist, daß die beiden Begriffe deckungsgleich sind.
Aus diesem wichtigen Metatheorem ergeben sich bedeutende Konsequenzen für
die Grenzen der Ausdruckkraft der elementaren Logik: zum Beispiel läßt sich ein
intuitiv so einfacher Begriff wie der der Endlichkeit eines Modells nicht in der
Prädikatenlogik der ersten Stufe charakterisieren. Diese und andere analoge Ergebnisse
sind auch von hohem philosophischen und wissenschaftstheoretischen
Interesse.
Eine letzte philosophisch ebenfalls bedeutsame Entwicklung in der Logik
der Dreißiger Jahre betraf die Mengenlehre; sie wurde wiederum maßgeblich
von Gödel angestoßen. Zu jener Zeit war der Mengenbegriff längst auf einige
wenige intuitiv plausible Axiome der Mengenexistenz und Mengenkonstruktion
zurückgeführt; diese Axiomatisierung stammt von Ernst Zermelo und
Abraham Fraenkel, der zu den Zermeloschen Axiomen ein wichtiges weiteres
Axiom hinzufügte. Dieses System wird heute die Zermelo-Fraenkelsche
Mengenlehre, kurz: ZF genannt. Aber von Anfang an entzog sich ein wichtiges
mengentheoretisches Prinzip der Einordnung in dieses System: das sogenannte
Auswahlaxiom (kurz: AC oder einfach C für engl. [axiom of ] choice). Es geht
von der im Bereich des Endlichen plausiblen Vorstellung aus, daß man etwa aus
einer Anzahl von mit Kugeln gefüllten Urnen jeweils eine Kugel herausgreifen

Moderne Logik und Philosophie 23
kann, und erweitert sie zu dem Prinzip, daß es zu jeder Familie von nichtleeren
Mengen eine Funktion gibt, die wie ein tausendarmiger Riese (oder besser ein
Riese mit unendlich vielen Armen) aus jeder Menge dieser Familie ein Element
herausgreift. Nicht alle Mathematiker erkannten das Auswahlaxiom als zulässig
an, da es durchaus zu kontraintuitiven Konsequenzen führt; auf der anderen
Seite sind viele wichtige mathematische Sätze ohne dieses Axiom nicht zu beweisen,
so daß die meisten Mathematiker, insbesondere Zermelo selbst, nicht
ohne auskommen wollen. Es stellte sich nun die Frage, ob das Axiom überhaupt
mit den anderen ZF-Axiomen verträglich ist, d.h. widerspruchsfrei zu den anderen
dazugenommen werden kann. Wie oben erläutert, kann man zwar noch
nicht einmal sagen, ob die Axiome von ZF für sich genommen widerspruchsfrei
sind. Aber man kann das Problem in bedingter Form formulieren: angenommen,
die ZF-Axiome seien widerspruchsfrei; ist dann auch ZFC , also ZF plus
dem Auswahlaxiom, widerspruchsfrei? Diese Frage konnte von Gödel positiv
beantwortet werden. Er benutzte dazu eine Konstruktion, deren Grundidee er
nach eigenen Angaben bei Russell gefunden hatte. Auch hier entwickelte sich
eine zunächst im philosophischen Kontext gewonnene Idee in den Händen eines
genialen Mathematikers zu einem bedeutenden technischen Resultat.
Gödel bewies ferner, daß dasselbe Modell, das die Verträglichkeit des Auswahlaxioms
zeigte, auch die Cantorsche Kontinuumhypothese wahr macht; diese
ist also ebenfalls zumindest verträglich mit den anderen Axiomen der Mengenlehre.
Nach wie vor aber blieb die Frage offen, ob das Auswahlaxiom und die
Kontinuumhypothese nicht doch vielleicht ableitbar sind. Diese Frage, die sich
als noch schwieriger erwies, wurde erst im Jahre 1963 von Paul Cohen negativ
beantwortet: man kann, ausgehend von einem Modell der ZF-Mengenlehre,
Modelle konstruieren oder, wie Cohen sagt, “erzwingen”, in denen beide Aussagen
falsch sind; damit sind AC und CH unabhänig von den übrigen Axiomen
der Mengenlehre.
Philosophisch bedeutet dieses Ergebnis, daß das auf plausiblen Annahmen
über den Mengenbegriff basierende Axiomensystem ZF klar formulierte mathematische
Aussagen unbeantwortet läßt, wie etwa die Frage nach der Mächtigkeit
des Kontinuums. Wenn man sich nun analog zu der Struktur der natürlichen
Zahlen, die die Peano-Axiome wahr macht, das Universum der Mengen vorstellt,
welches die ZF-Axiome wahr macht: ist dann in diesem Universum, um
die schon oben einmal gestellte Frage zu wiederholen, die Kontinuumhypothese
wahr oder falsch? Für einen Realisten bezüglich mathematischer Objekte,
auch mathematischer Platonist genannt, ist diese Frage vollkommen sinnvoll
gestellt: im “platonischen Himmel” abstrakter Gegenstände existiert das Mengenuniversum,
und dieses ist entweder so beschaffen, daß die Mächtigkeit des
Kontinuums die nächsthöhere Mächtigkeit nach der der natürlichen Zahlen ist,
oder eben nicht. Es scheint, daß Gödel selbst diesen Standpunkt vertrat. Die
meisten Mengentheoretiker jedoch, so etwa Cohen, sind dagegen Formalisten
und erklären diese Frage für sinnlos. Hier sind wir wieder bei einem typisch
philosophischen Problem angelangt: es geht nicht mehr darum, ein mathematisches
Theorem zu beweisen, sondern um begriffliche und durchaus ontologische
Fragen, die sich vor allem aus dem Problem der Unendlichkeit ergeben. Philosophen,
die zu dieser Thematik etwas beitragen wollen, kommen nicht umhin,
auch ihre logisch-mathematische Seite zu studieren.

24 Einleitung
0.2 Moderne Logik und Philosophie
Nach diesem Streifzug durch die Geschichte der Logik und ihrem Verhältnis zur
Philosophie stellt sich natürlich die Frage, ob die Logik sich nicht bereits mehr
oder minder aus der Philosophie verabschiedet hat, da ihre Resultate nur noch
mit mathematischen Kenntnissen gewürdigt werden können. Natürlich hat sich
die Logik vollkommen von der Philosophie emanzipiert; sie ist gewiß keine ancilla
metaphysicae in dem Sinne, wie einst die Theologen die Philosophie als
ancilla theologiae in den Dienst zu nehmen versuchten. Auch spielen bei vielen
logischen Problemen rein mathematische Aspekte eine Rolle. Dennoch erzeugen
auch technisch fortgeschrittene Resultate immer wieder genuin philosophische
Probleme, ebenso wie philosophische Fragestellungen Anlaß geben zu teilweise
tiefen logischen Untersuchungen. Ein Beispiel dafür ist etwa die moderne formale
Wahrheitstheorie der letzten Jahrzehnte, die über die klassische Theorie von
Tarski hinausgeht und von Saul Kripke, einem Logiker-Philosophen, angestoßen
wurde. Während sich große Bereiche der heutigen mathematischen Logik
aus naheliegenden Gründen der Informatik nähern, bleibt weiterhin Raum für
die philosophisch inspirierte Tradition der Metamathematik, wie sie von den
oben erwähnten Philosophen und Logikern begründet wurde.
Auch für einen Philosophen, der nicht speziell an der Philosophie der Mathematik
interessiert ist, besteht Anlaß, sich ernsthaft mit der Logik zu beschäftigen.
Immer wenn es in der Philosophie um die Form oder Struktur unseres
Denkens oder Sprechens geht, werden logische Beziehungen thematisiert. Ich
bezeichne den Teil der Metaphysik, in dem es um derartige Fragen geht, als
formale Metaphysik, wobei die Ontologie hier subsumiert sei. Zu den Themen
auf diesem Gebiet, die in der philosophischen Tradition vorgegeben wurden und
damals wie heute eine wichtige Rolle spielen, zählen etwa die folgenden:
• Existenz
• Prädikation
• Identität
• Abstraktion
• Teil/Ganzes und Nominalismus
• Wahrheit
• Modalität
• Wenn-dann-Verknüpfungen
Die Methoden der modernen Logik stellen ein präzises Instrumentarium zur
Behandlung dieser und verwandter Problemfelder dar. Es gibt aber zugleich
philosophisch relevante Themen von ganz neuartigem Charakter, deren seriöse
Behandlung durch gründliche Kenntnisse in der Logik meist überhaupt erst
möglich gemacht wird. Dazu gehören die folgenden Problemkreise aus der Philosophie
der Logik und Mathematik:
• Quantifikation

Moderne Logik und Philosophie 25
• Beweisbarkeit vs. mathematische Wahrheit
• Unendlichkeit und Philosophie der Mengenlehre
• Selbstreferentialität
• Probleme der Arithmetisierung und Kodierung
• Philosophie der Berechenbarkeit
• Grenzen der Ausdruckskraft von Sprachsystemen
• Fragen der Interpretation, Representation, Übersetzung und Reduktion
Ich werde nun der Reihe nach einige Bemerkungen zu den zuerst genannten
Themen der formalen Metaphysik machen und dabei die heutige logische
Perspektive hervorheben. Dabei sollen nur einige Problemzusammenhänge aufgezeigt
werden, die aber hier natürlich nicht ausführlich diskutiert werden können.
Die Fragen aus der zweiten Gruppe wurden zum großen Teil bereits im
vorigen Abschnitt angesprochen; ihr genauerer Inhalt wird sich erst nach und
nach erschließen, wenn die technischen Voraussetzungen erarbeitet sind.
0.2.1 Existenz
Was ist der logische Charakter von Aussagen wie ‘Gespenster existieren nicht’?
Ihre grammatische Form ist vollkommen analog zu der von Sätzen wie ‘Pinguine
fliegen nicht’. In letzterem Beispiel sprechen wir über Pinguine und verneinen,
daß sie die Eigenschaft zu fliegen besitzen. Der erste Satz drückt aber
gerade aus, daß es keine Gespenster gibt; wir können also schlecht von den Gespenstern
reden und ihnen dann die Eigenschaft zu existieren absprechen. Das
Verb ‘existieren’ scheint von anderer Qualität zu sein als gewöhnliche Prädikate.
Ein weiteres Symptom für diesen Befund ist das berühmte Argument im
Zusammenhang mit dem ontologischen Gottesbeweis, nach dem wir Gott als
einem in jeder Hinsicht vollkommenen Wesen auch die Existenz als Bestandteil
dieser Vollkommenheit zuschreiben müssen. Dieser noch von Descartes
vorgebrachte Schluß wird von Kant ausführlich kritisiert, und zwar im wesentlichen
gerade mit dem Argument, daß man einem Objekt nicht die Existenz wie
irgendeine andere Beschaffenheit zuschreiben kann: “Wenn ich also ein Ding,
durch welche und wie viel Prädikate ich will, ... denke, so kommt dadurch, daß
ich noch hinzusetze, dieses Ding ist, nicht das mindeste zu dem Dinge hinzu.”
([137]: B 628)
Es war Frege, der als erster einen präzisen logischen Grund angab, warum
sich Existenz anders verhält als gewöhnliche Prädikate. Den Kern der Fregeschen
Vorstellung haben wir bereits oben im Zusammenhang mit der logizistischen
Rekonstruktion der natürlichen Zahlen erwähnt. Nennen wir einen
Begriff ≥1-mächtig, wenn mindestens ein Objekt unter ihn fällt, wenn er also
nicht leer ist; dann ist Existenz offenbar derjenige Begriff zweiter Stufe, der alle
≥1-mächtigen Begriffe subsumiert. Somit ist schon rein kategoriell klar, daß
sich ein zweitstufiger Begriff nicht unter die gewöhnlichen erststufigen Begriffe
mischen kann (siehe [74]: § 53 und ausführlich [79]).

26 Einleitung
Die angedeutete Hierarchie von Begriffen oder ihrer syntaktischen Gegenstücke,
der Prädikate, läßt sich so in der Standardlogik der ersten Stufe nicht
wiedergeben. Stattdessen wird Existenz zu dem logischen Operator ‘∃’ und ist
als solcher grundlegend verschieden von allen deskriptiven Prädikaten der logischen
Sprache. Die unterschiedlichen logischen Formen der obigen Beispielsätze
sehen dann so aus: 9
(14) a. Pinguine fliegen nicht.
EF: Für alle x gilt: wenn x ein Pinguin ist, so fliegt x nicht.
LF: ∀x (P (x) → ¬F (x))
b. Gespenster existieren nicht.
EF: Es ist nicht der Fall, daß es ein x gibt, so daß gilt: x ist ein
Gespenst.
LF: ¬∃x G(x)
Die grammatische Oberflächenstruktur und die logische Tiefenstruktur von
Aussagen sind also zu unterscheiden; was die gleiche grammatische Struktur
besitzt, kann auf der Ebene der logischen Form sehr verschieden aussehen.
Analoge Überlegungen gelten für reine Existenzsätze, in denen Objektnamen
auftreten, wie in folgenden Beispielen:
(15) a. Pegasus existiert nicht.
b. Der König von Frankreich existiert nicht.
c. Das runde Quadrat existiert nicht.
Wiederum hat es den Anschein, daß Pegasus in irgendeiner Form “Sein” besitzen
müsse, weil sonst der Satz (15a) sinnlos wäre, was er aber offenbar nicht ist;
sinnlos deshalb, weil wie selbstverständlich angenommen wird, daß jeder Name
in Subjektposition etwas bezeichnen oder denotieren muß. Um das Problem zu
lösen, nannte man Pegasus ein “mögliches Objekt”, was lediglich nicht aktualisiert
sei, und sprach ihm die Seinsweise der Subsistenz zu, welcher zur vollen
Existenz nur das aktuale Sein fehlt. Auf diese Weise meinte man sich mit dem
Subjekt des Satzes (15a) immerhin auf etwas beziehen zu können. Dasselbe
gilt für den beschreibenden Namen ‘der König von Frankreich’ in (15b) (diese
wichtige Klasse von Ausdrücken der Form ‘der/die/das F ’ heißen Kennzeichnungen):
da es nur ein historischer Zufall ist, daß Frankreich eine Republik ist
und keinen König hat, wird der König von Frankreich also ebenfalls zu einem
möglichen Objekt, dem zur realen Existenz lediglich die Aktualisierung fehlt.
Es war Russell, der anläßlich einer Auseinandersetzung mit dem Philosophen
A. Meinong erkannte, daß die Nennung eines Namens noch nicht einmal
die mögliche Existenz garantiert, wie die Kennzeichnung in (15c) zeigt: ein rundes
Quadrat ist eine logische Unmöglichkeit. Da nun speziell Kennzeichnungen
besonders anfällig gegen Bezeichnungslücken sind (so gab es etwa in Frankreich
9 Dabei wird der Pinguin-Satz als für alle Pinguine geltende Aussage interpretiert. Das
ist nicht ganz korrekt, da es sich genau genommen um einen sogenannten generischen Satz
handelt, der Ausnahmen zuläßt, wie etwa in dem Satz ‘Vögel fliegen’, bei dem gerade die
Pinguine systematische Ausnahmen darstellen. Generische Aussagen sind also im Sinne des
Zusatzes “normalerweise” zu verstehen. Der Ausdruck ‘normalerweise’ bezeichnet jedoch keinen
rein logischen Operator und ist daher in der Prädikatenlogik nicht darstellbar.

Moderne Logik und Philosophie 27
erst einen König, dann eine Republik, dann einen Kaiser, dann einen König,
dann eine Republik und wieder einen Kaiser und dann wieder eine Republik ...),
zog Russell den radikalen Schluß, daß diese Ausdrücke für sich genommen gar
keine Bedeutung haben, sondern nur im Kontext eines ganzen Satzes. Die Bedeutung
erhält man, wenn man einen Satz wie in (16a) durch den Satz (16b)
paraphrasiert:
(16) a. Der König von Frankreich ist weise.
b. Es gibt ein Objekt x, das König von Frankreich ist (i), und alle
Objekte y, die König von Frankreich sind, sind gleich x (ii),
und dieses x ist weise.
Im b-Satz tritt die Kennzeichnung gar nicht mehr auf: sie wird durch die Paraphrase
eliminiert. Trotzdem wird durch den ganzen Satz, sofern er wahr ist,
genau ein Objekt herausgegriffen, weil dann die charakteristischen Bedingungen
der Existenz (i) und Eindeutigkeit (ii) erfüllt sind. Dies ist der Kern der Russellschen
Kennzeichnungstheorie. 10 Sie behandelt den obigen Satz (15b) somit
einfach als die Negation der Behauptung, daß es ein eindeutiges Objekt gibt
mit der Eigenschaft, König von Frankreich zu sein, und diese Aussage ist nicht
nur nicht sinnlos, sondern wahr. Gleiches gilt für den Satz (15c), der sogar aus
logischen Gründen wahr ist.
Einer der einflußreichsten analytischen Philosophen des 20. Jahrhunderts,
der Logiker-Philosoph Willard Van Quine, behandelt die ontologischen Irrwege,
die in mißverstandenen Existenzaussagen gründen, auf exemplarische Weise
in seinem Aufsatz On what there is [202]. Er schließt an Russells logische
Analyse an und dehnt sie sogar auf Eigennamen wie ‘Pegasus’ aus, indem
er (15a) liest als ‘dasjenige x, welches die Eigenschaft hat, gleich Pegasus zu
sein, existiert nicht’, oder mit Hilfe des künstlichen Prädikats ‘pegasieren’:
‘der Pegasierer existiert nicht’. Auf diese Weise werden Namen zu speziellen
Kennzeichnungen, 11 und das Eliminationsverfahren der Kennzeichnungstheorie
liefert eine einheitliche Lösung für das Existenzproblem. Zudem verlagert
Quine deutlicher als Russell das Problem auf die Ebene des gegebenen Individuenbereichs,
d.h. auf die Objekte, über die gesprochen wird: grundlegender
als die Namenbeziehung ist die Erfüllungsrelation, die zwischen den Objekten
des Individuenbereichs und Aussageformen der Art ‘x ist König von Frankreich’
besteht. Jene läßt sich aus dieser gewinnen, aber nur diese sagt verläßlich etwas
über Existenz aus. So gelangt Quine zu seinem bekannten logischen Existenzkriterium:
To be is to be the value of a (bound) variable. 12
Es mag nach dem Obigen als philosophischer Rückschritt erscheinen, wenn
in neueren logischen Darstellungen der Existenzproblematik doch wieder ein
“Existenzprädikat” auftritt. Dies geschieht auf zweierlei Weise. Im Rahmen der
10 Engl. theory of definite descriptions; siehe [218] und ausführlicher [268]: I*14.
11 Die Grenzen sind ohnehin fließend: ‘der Morgenstern’ ist der Form nach eine Kennzeichnung,
wird aber wie ein Name gebraucht; umgekehrt ist ‘Phosphorus’ ein Name, dessen
Bedeutung (“der Lichtträger”) eine Kennzeichnung ist.
12 “Existieren bedeutet, Wert einer (gebundenen) Variable zu sein.” ([202]:15; gebundene
Variablen sind Platzhalter in quantifizierten Aussagen, siehe Kapitel 4.) — Hier wurde ein
wenig vereinfacht: genau genommen sagt dieses Kriterium nach Quine nur etwas darüber
aus, welche ontologischen Verpflichtungen (engl. ontological commitments) jemand mit seinen
Aussagen oder seiner Theorie eingeht.

28 Einleitung
modalen Quantorenlogik wird üblicherweise unterschieden zwischen einem Bereich
von realen Objekten und weiteren Bereichen von nicht aktualisierten,
möglichen Dingen. Hier dient ein Existenzprädikat erster Stufe dazu, gerade
den Bereich der realen Objekte auszuzeichnen. Die hinter diesem modalen
Formalismus stehende philosophische Perspektive muß sich allerdings mit dem
Vorwurf auseinandersetzen, die Existenz/Subsistenz-Unterscheidung gewissermaßen
durch die Hintertür doch wieder zuzulassen. Quine blieb sich in diesem
Punkte treu und lehnte die Verbindung von Modalität und Quantifikation als
philosophisch unbrauchbar ab (siehe Unterabschnitt 0.2.7).
Der andere Zusammenhang, in dem das Existenzprädikat wieder auftritt, ist
die Kennzeichnungstheorie. Ein technisch wie philosophisch befriedigendes Verfahren
besteht darin, bei der semantischen Interpretation einer Sprache einen
“Überhang” von nicht-denotierenden Termen zuzulassen und denjenigen Individuenausdrücken,
die bei einer gegebenen Interpretation auch wirklich ein Objekt
bezeichnen, das Existenzprädikat zuzusprechen. Derartige Logiksysteme
heißen freie Logiken (siehe Kapitel 13). Ein solches Existenzprädikat steht jedoch
für keine Eigenschaft, die einem Ding zuwachsen kann: es ist rein syntaktischer
Natur und drückt — angewandt auf etwa auf einen Kennzeichnungsterm
— lediglich aus, daß dieser ein Denotat besitzt. Es gilt hier also zu unterscheiden
zwischen der Ebene der Sprache und der Ebene der “Welt”: das Existenzprädikat
ist auf der Sprachebene angesiedelt und besitzt keine Entsprechung als
Eigenschaft oder Qualität von Dingen auf der ontologischen Ebene.
In [202] bezeichnet Quine die Lehre von den nicht-aktualisierten Possibilia
als “Platons Bart”, der es in seinem Wildwuchs über die Jahrhunderte immer
wieder geschafft habe, die Klinge des Ockhamschen Rasiermessers stumpf zu
machen. Mit dem Rasiermesser wird traditionell die nominalistische Maxime
bezeichnet, nach der Entitäten nicht ohne Not vermehrt werden sollen: Entia
non sunt multiplicanda praeter necessitatem. Der Nominalismus, der im mittelalterlichen
Streit um den ontologischen Status der Begriffe oder Universalien
die Position vertrat, Begriffe seien keine realen Entitäten, sondern lediglich
flatus vocis, erfuhr eine bedeutende Renaissance in der logischen Philosophie
des 20. Jahrhunderts. Ein formaler Individuenkalkül wurde entwickelt, der der
philosophischen Position eine logische Basis verleiht. Seine Objekte sind Einzeldinge,
welche jedoch Teile besitzen und selbst Teil von größeren Einzeldingen
sein können. Die Subsumtionsrelation zwischen Individuum und Begriff wird
umgedeutet in die Teil-Ganzes-Beziehung zwischen einem kleineren und einem
umfassenderen Einzelding. Begriffe werden so zu Individuen derselben Art wie
die Dinge, die sie in der üblichen Sprechweise subsumieren. Nach dem griechischen
Wort ¢¡¤£¦¥¨§ (meros) für ‘Teil’ werden derartige nominalistische Systeme
auch Mereologien genannt; ihnen ist das Kapitel 13 gewidmet (siehe zur Einführung
auch Unterabschnitt 0.2.5).
Ein Sonderfall des modernen Universalienstreits wird in der Philosophie der
Logik und Mathematik ausgetragen. Was die Logik betrifft, so dokumentiert
sich eine Ablehnung des Begriffsrealismus, wie er etwa noch von Frege vertreten
wurde, durch die Festlegung auf die Logik erster Stufe, die nur über
Individuen quantifiziert. In der Logik höherer Stufe treten dagegen Begriffe
oder ihre extensionalen Gegenstücke, die Mengen, als Werte gebundener Variablen
auf, was nach dem Quineschen Kriterium der ontologischen Verpflichtung

Moderne Logik und Philosophie 29
auf Begriffe bzw. Mengen gleichkommt.
Die Mathematik hat es in der Standarddeutung ausschließlich mit abstrakten
Objekten zu tun, mit Zahlen, Funktionen und Mengen. Der mathematische
Platonismus geht von der “realen” Existenz all dieser Objekte aus. Dagegen
tritt der mathematische Nominalismus auf, und zwar in einer gemäßigten und
einer radikalen Form: jener bestreitet lediglich die Existenz von Mengen; dieser
lehnt alle abstrakten Objekte ab und versucht, Mathematik und sogar die Wissenschaft
ohne abstrakte Objekte, d.h. also auch ohne Zahlen zu begründen;
einschlägige Quellen sind der Überblick [229] sowie [170], [117] und [69].
0.2.2 Prädikation
Einfache Behauptungssätze wie ‘Sokrates ist ein Mensch’ oder ‘Sokrates ist
älter als Platon’ stellen singuläre Urteile dar; wir wollen sie elementare Prädikationen
nennen. Mit der Behauptung eines derartigen Satzes wird einem
Objekt, zum Beispiel Sokrates, eine Eigenschaft zugeschrieben, oder man sagt,
das Objekt exemplifiziere die Eigenschaft, oder in noch anderer Sprechweise:
das Objekt wird unter einen Begriff subsumiert; dies ist der Spezialfall einer
“einstelligen” Prädikation. Wird dagegen in dem Satz ausgesagt, daß zwei oder
mehrere Objekte in einer Relation zueinander stehen, zum Beispiel in der Relation
ist älter als, so handelt es sich um eine “zweistellige” oder “mehrstellige”
Prädikation. Im einstelligen Fall wird das Subsumtionsverhältnis im Deutschen
typischerweise durch die Kopula ‘ist’ wiedergegeben, aber auch nur dann, wenn
es sich um eine Konstruktion mit Prädikatsnomen oder prädikativem Adjektiv
handelt, und nicht um das ‘ist’ der Gleichheit (siehe unten) oder um intransitive
Konstruktionen wie ‘Sokrates spricht’. In diesem Fall, wie auch generell
in mehrstelligen Prädikationen, ist die Subsumtionsbeziehung gar nicht lexikalisiert;
Subjekt und Prädikatausdruck werden einfach nebeneinandergestellt
oder juxtaponiert. 13 Logisch gesehen handelt es sich bei der Prädikation dennoch
um eine Operation, die die Basis aller Urteile über die Welt bildet. Wir
hatten schon erwähnt, daß Frege die Analogie zum Funktionsbegriff in der
Mathematik zog; der Subsumtionsoperation entspricht dort die Operation der
Anwendung oder Auswertung einer Funktion auf ein oder mehrere Argumente.
Es besteht jedoch ein wichtiger syntaktischer Unterschied zum mathematischen
Fall: dort sind Argument und Ergebnis (Input und Output) der Anwendung
der Funktion typischerweise von der gleichen Art, etwa reelle Zahlen wie bei
der Quadratfunktion x ↦→ x 2 ; in der natursprachlichen wie in der logischen
Grammatik dagegen sind die Argumente ein oder mehrere Individuenterme
(im einfachsten Fall Namen), und das Ergebnis ist ein Satz. Ein Satz aber gehört
zu einer anderen syntaktischen Kategorie als ein Name; er bezeichnet keine
Objekte, sondern ist der Träger von Wahrheit oder Falschheit: bei einem vollständigen
Satz fragt man danach, ob er als Aussage in einer gegebenen Situation
wahr oder falsch ist. Die ergänzungsbedürftigen Prädikate vor der Auswertung,
wie ‘. . . ist ein Mensch’ und ‘. . . ist älter als − − −’, kann man entsprechend
“Satzfunktionen” nennen; verbreiteter ist der Ausdruck Aussagefunktion (engl.
13 In vielen Sprachen der Welt gibt es auch keine Kopula, und Prädikationen werden ausschließlich
durch Juxtaposition bewerkstelligt.

30 Einleitung
propositional function). 14
Neben den Kategorien Name und Satz ist Prädikat die dritte syntaktische
Grundkategorie. Es stellt sich die Frage, ob Prädikate auch als Namen auftreten
können; wenn das zugelassen wird, so könnte ein Prädikat, etwa P , im Prinzip
auch auf sich selbst angewendet werden, in der Form P (P ). In einer berühmten
Passage des Dialogs Parmenides diskutiert Platon genau diese Frage, die
sich als ein logisches Problem für die Ideenlehre darstellt. Wenn man nämlich
zum Beispiel neben den guten Dingen oder Taten noch ein Objekt wie den
Begriff oder die Idee des Guten, also “das Gute”, in die Ontologie einführt,
dann könnte man sinnvoll fragen, ob das Gute gut sei; ein solcher Satz hätte
gerade die Form P (P ). Ebenso könnte das Große groß genannt werden, usw.
Nun führt die Annahme, daß die Idee zu den Dingen gehört, die sie subsumiert,
zu einem unendlichen Regreß, wie Platon zeigt. Dieses Argument werden wir
in Kapitel 5 logisch rekonstruieren.
Seit Aristoteles wird das Argument auch der Dritte Mensch genannt; 15
es läßt sich natürlich sofort blockieren, wenn man das Prinzip der Selbstanwendung
für ungültig erklärt. Die Idee einer Pfeife ist offensichtlich ebenso wenig
eine Pfeife wie das Bild einer Pfeife eine Pfeife ist; 16 man kann sie (die Idee)
zum Beispiel nicht mit Tabak vollstopfen. Genauso wenig ist der Begriff des
Pferdes ein Pferd: der Begriff des Pferdes wiehert nicht.
Andererseits scheint es auf den ersten Blick Prädikate zu geben, die auf
sich selbst zutreffen: das Prädikat ‘dreisilbig’ ist offenbar dreisilbig. Hier lauert
allerdings ein anderes Paradox, das nach K. Grelling benannt ist. Nennen
wir ein Prädikat autolog, wenn es die Eigenschaft besitzt, die es ausdrückt, anderenfalls
heterolog. Offensichtlich ist ‘dreisilbig’ autolog, ‘zweisilbig’ dagegen
heterolog. Was aber ist mit dem Prädikat ‘heterolog’ selbst? Es ist entweder
autolog oder heterolog. Angenommen, es sei autolog; dann besitzt es die Eigenschaft,
die es ausdrückt, also ist es heterolog. Umgekehrt besagt die Annahme,
es sei heterolog, daß es diese Eigenschaft nicht hat; das ist aber gerade die Bedeutung
von heterolog, also ist das Prädikat autolog. Das ist ein Widerspruch,
da kein Prädikat zugleich autolog und heterolog sein kann.
Wir haben es hier mit einer der sogenannten semantischen Paradoxien zu
tun, von denen die bekannteste die oben erwähnte Lügner-Paradoxie ist. Wir
werden später darauf zurückkommen. Hier wollen wir vorerst nur eine offensichtliche
Schwierigkeit mit dieser Art von Beispielen ansprechen, nämlich ihre
grammatische Ungenauigkeit. Es war Frege, der darauf hinwies, daß das
Wort ‘Pferd’, als Prädikat gebraucht, für einen “ungesättigten” Begriff erster
Ordnung steht; ein solcher Begriff verlangt aber zu seiner “Sättigung” ein Individuum
und keinen weiteren Begriff. Folglich ist die Selbstanwendung ein
Kategorienfehler und von vornherein unzulässig. Prädikate können also nicht
14 Es gibt allerdings eine Diskussion um den genauen ontologischen Status von Aussagefunktionen;
in den Principia Mathematica [269] scheinen Russell und Whitehead der
Auffassung zu sein, daß propositionale Funktionen Abstraktionen aus Propositionen, also
Sachverhalten, sind und nicht Abstraktionen aus Aussagen als sprachlichen Gebilden. Eine
Quelle von Verwirrung, von der auch Russell selbst nicht frei war, liegt in dem Umstand,
daß im Englischen ‘proposition’ zunächst ´Aussage’ bedeutet, im philosophischen Kontext
aber eben auch ‘Proposition’ meinen kann.
15 In der Zweiten Analytik, 83a, benützt Aristoteles das Beispiel Mensch; dort wird der
Schluß gezogen, daß die Ideenlehre aufgegeben werden muß.
16 Man denke an das bekannte Bild von Magritte: Ce n’est pas une pipe.

Moderne Logik und Philosophie 31
als Namen auftreten, da Prädikate für Begriffe und Namen für Individuen stehen.
Ebenso wie Begriff und Individuum von verschiedenem logischem Typ
sind, sind Prädikat und (Individuen-)Name von verschiedenem syntaktischem
Typ (auf der syntaktischen Ebene werden wir statt von Typ von Kategorie
sprechen).
Nun haben wir oben bereits einen Beispielsatz gebildet, in denen der Begriff
des Pferdes als Subjekt und nicht als Prädikat auftritt. Syntaktisch gesehen ist
damit der Ausdruck ‘der Begriff des Pferdes’ offenbar ein Individuenname, und
sein Gegenstand scheint ein Begriff zu sein. Frege sah dieses Problem und
behauptete kühn, daß trotz einer “freilich unvermeidbaren sprachlichen Härte”
der Begriff Pferd kein Begriff sei, “während doch z. B. die Stadt Berlin eine Stadt
und der Vulkan Vesuv ein Vulkan ist.” ([75]: 71) Stattdessen ist ‘der Begriff
Pferd’ ein Name für ein Individuum, welches lediglich ein “Korrelat” des Begriffs
des Pferdes darstellt. Man kann den hier intendierten Unterschied im logischen
Typ durch einen Vergleich mit dem syntaktischen Prozeß der Nominalisierung
klarmachen. Betrachten wir das folgende Satzpaar.
(17) a. Troja wurde zerstört.
b. Die Zerstörung Trojas ist das Thema von Homers Ilias.
In Satz (17a) tritt ‘zerstört werden’ als Prädikat auf und steht für den entsprechenden
Begriff, der durch ein Individuum (Troja) gesättigt werden muß. Der
Ausdruck ‘die Zerstörung Trojas’ in (17b) dagegen ist ein Name für den Gegenstand,
der das Korrelat des Begriffs, zerstört zu werden, bildet, und der selbst
wieder unter einen Begriff erster Ordnung fällt, nämlich Thema von Homers
Ilias zu sein.
Trotz dieser beträchtlichen begrifflichen Sorgfalt war Frege den Gefahren
der Selbstprädikation noch nicht gänzlich entkommen. Ein im Gesamtkontext
seines Hauptwerks [77] harmlos erscheinendes Prinzip macht das System der
Fregeschen Logik anfällig für eine Spielart der Russell-Paradoxie. Nach diesem
Prinzip kann man von jedem Begriff zu seinem Umfang oder “Wertverlauf”, wie
Frege sagt, übergehen und damit zu einem neuen Individuum, das typenmäßig
eine Art Begriffskorrelat darstellt. Auf diese Weise wird die Selbstanwendung
quasi durch die Hintertür wieder möglich. Im Juni 1902 schreibt nun Russell
in seinem berühmten Brief an Frege (er nennt “Prädicat”, was Frege mit
“Begriff” meint):
Nur in einem Punkt ist mir eine Schwierigkeit begegnet. ... Sei w das
Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt
werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort
folgt das Gegenteil. Deshalb muß man schliessen, dass w kein Prädicat
ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die
als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter
gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet. ([223]:
59)
Die sicherste Strategie besteht also darin, an einer strikte Trennung der logischen
Typen festzuhalten. Danach sind gewöhnliche Gegenstände oder Individuen
vom Typ 0, Begriffe (erster Stufe) vom Typ 1 und, wenn man solche
Objekte zulassen will, Begriffe, welche Begriffe erster Stufe subsumieren, vom

32 Einleitung
Typ 2, usw. Dies ist gerade der Kern der Russellschen Typentheorie. Operationen
wie die Bildung von Begriffskorrelaten haben dagegen den Effekt, Objekte
höheren Typs in einen niederen Typ “hineinzuprojizieren”, was zu Widersprüchen
führen kann. 17
Typentheoretisch gesprochen drückt also die Prädikation die Subsumtion
eines Objekts eines gewissen Typs n unter einen Begriff des Typs n + 1 aus
(in der normalen Prädikatenlogik erster Stufe ist n = 0). Wenn wir nun die
Beziehung der Prädikation selbst in den Blick nehmen (und sie hier etwa ‘Π’
nennen), so ist sie damit eine irreflexive Relation: für kein Objekt x gilt xΠx.
Die Elementschaftsrelation in der Mengenlehre ist ebenfalls irreflexiv (für keine
Menge x gilt x ∈ x). Das ist ein Grund dafür, daß in der Tarski-Semantik die
Prädikation durch die ∈-Relation wiedergegeben oder “modelliert” wird.
Nach dem Bekanntwerden der Paradoxien lokalisierten einige Logiker und
Philosophen die Schwierigkeiten in der Prädikationsrelation selbst und versuchten
sie dadurch zu entschärfen, daß sie die irreflexive Subsumtionsbeziehung
durch eine reflexive Teilbeziehung ersetzten. Danach ist etwa das elementare
Urteil ‘der Taj Mahal ist weiß’ eine Aussage von dem Verhältnis eines Teiles
zu seinem Ganzen: das Weiß des Taj Mahal ist ein Teil des “Weißen in der
Welt”, d.h. der Summe alles Weißen. Teil und Ganzes sind jetzt Objekte gleichen
Typs, nämlich Individuen, und die Subsumtion ist mitsamt den Begriffen
eliminiert. Philosophisch bedeutet das zugleich das Optieren für eine nominalistische
Ontologie, in der Universalien, also Begriffe oder Ideen, nicht mehr
auftreten. Bei dieser Deutung der Struktur elementarer Urteile wird die reflexive
Selbstanwendung möglich und sogar zu einer trivialen Wahrheit: ‘das Weiße
ist weiß’ etwa bedeutet jetzt nichts anderes als daß die Summe alles Weißen
ein (unechter) Teil von sich selbst ist, so wie jedes Raumgebiet ein unechter
Teil von sich selbst ist.
Aufgabe der Logik ist es nun, die verschiedenartigen formalen Prinzipien
herauszuarbeiten, denen die Prädikationsrelation Π gegenüber der Teilrelation
(nennen wir sie T ) gehorcht. Während jene wesentlich irreflexiv ist, ist diese
reflexiv, d.h. für alle möglichen Relata x gilt xT x. Im Gegensatz zu Π ist T
ferner transitiv, d.h. für alle Objekte x, y, z mit xT y und yT z gilt auch xT z:
der Teil eines Teils eines Objekts ist selbst ein Teil dieses Objekts. Die Logik
der Teilrelation ist gemessen an der Mengentheorie relativ einfach; ihre Theorie
wird in Kapitel 13 behandelt (siehe auch Unterabschnitt 0.2.5).
Wir wollen noch eine letzte philosophische Schwierigkeit im Zusammenhang
mit der Prädikation ansprechen, deren Kern ebenfalls genuin logischer Natur
ist; sie ist unter dem Namen “Bradleys Regreß” bekannt (siehe [29]). Wenn
nämlich die Subsumtionsbeziehung Π eine Relation ist, die Objekte x und Eigenschaften
P in der Form xΠP miteinander verbindet, so existiert sie offenbar
unabhängig von ihren Relata. Dann muß es aber, so das Argument, eine weitere
Relation Π ′ geben, welche die Entitäten x, P und Π miteinander verbindet.
Diese neue Verbindung wird dann ihrerseits von einer weiteren Relation Π ′′
gestiftet, und so fort ad infinitum. Nun stellt dieses Argument für einen Philosophen,
der Relationen als “Bürger erster Klasse” in seiner Ontologie etablieren
17 ... aber nicht muß; in der mathematischen Logik und der Informatik sind wichtige typenfreie
Systeme entwickelt worden, welche Selbstanwendung zulassen und dennoch widerspruchsfrei
sind.

Moderne Logik und Philosophie 33
möchte, durchaus ein ernstes Problem dar. Jedes sprachliche In-Verbindungsetzen
von gegebenen Objekten erzeugt danach eine Relation, welche die Relata
wie ein Klebstoff zusammenfügt; dann benötigen wir aber offenbar einen
neuen “Klebstoff”, der die Ausgangsrelata mit der Relation verbindet, usw. Es
war kein geringerer als Russell, der mit seinem neuen ontologischen Realismus
(speziell auch in Bezug auf Relationen) den neo-hegelianischen Idealismus
eines Bradley überwunden zu haben glaubte, sich dennoch mit dem Regreßproblem
jahrelang herumschlug und es eigentlich nie wirklich los wurde. Ein
Grund ist darin zu suchen, daß Russell ein Universalienrealist war und Relationen
wie Eigenschaften und Individuen zu den in der Welt existierenden
Entitäten rechnete; ein Nominalist könnte den Regreß gleich im ersten Schritt
stoppen. Ohne hier eine endgültige Antwort geben zu können, verweisen wir
auf die Modellierung von Relationen in der modernen Mengenlehre als Klassen
von geordneten Paaren der Gestalt 〈x, y〉; die Prädikationsrelation wäre dann
etwa die Klasse aller Paare 〈x, y〉 mit x ∈ y. Nun ist diese Klasse allerdings
so groß, dass sie selbst nicht wieder als Komponente in einem derartigen geordneten
Paar auftreten kann. Sie gehört zu den Objekten in der Mengenlehre
(den sogenannten echten Klassen), die nicht als Element von irgendetwas auftreten
können. Sie kann lediglich nach Art der Zusammenfügung von Teilen
zu etwas anderem hinzukommen; hierbei handelt es sich aber nicht mehr um
Subsumtion.
0.2.3 Identität
Hamlet: But come; for England!
Farewell, dear mother.
King: Thy loving father, Hamlet.
Hamlet: My mother:
father and mother is man and wife;
man and wife is one flesh;
and so, my mother.
Shakespeare, Hamlet
Wie bereits erwähnt erfüllt die Kopula ‘ist’ neben der Prädikation noch eine
zweite Funktion: sie wird für Identitätsaussagen gebraucht. Hier sind einige
Beispiele.
(18) a. Zwei plus Drei ist (gleich) Fünf.
b. π ist die Maßzahl für den Flächeninhalt des Einheitskreises.
c. Marcus Tullius ist Cicero.
d. Der 18. Brumaire des Jahres VIII ist der 9. November 1799.
e. Sirius ist der Herbststern der Ilias.
f. Der Morgenstern ist der Abendstern.
Es liegt daher nahe, das aus der Mathematik bekannte Relationssymbol ‘=’
für die Gleichheit zwischen Individuentermen der angegebenen Art zu verwenden.
Danach drückt das Gleichheitszeichen eine Relation aus, welche zwischen
zwei Objekten genau dann besteht, wenn sie identisch sind.

34 Einleitung
Diese Ausdrucksweise ist zugegebenermaßen fragwürdig, aber dennoch gang
und gäbe. So hört man häufig die folgende Formulierung eines Gleichheitsgesetzes:
“Sind zwei Größen einer dritten gleich, so sind sie auch untereinander
gleich.” Sie nährt das Mißtrauen des Philosophen in die Existenz einer Relation
der Gleichheit. So schreibt L. Wittgenstein in seinem Tractatus logicophilosophicus:
“Von zwei Dingen zu sagen, sie seien identisch, ist ein Unsinn,
und von Einem zu sagen, es sei identisch mit sich selbst, sagt gar nichts.” ([272]:
5.5303) Er schließt daraus, daß die Identität überhaupt keine echte Relation
zwischen Gegenständen sein kann, und möchte das Gleichheitssymbol aus einer
idealen logischen Begriffsschrift verbannen ([272]: 5.533).
Nun sollte man die Logik vielleicht nicht zu leichtfertig zu reformieren versuchen
angesichts der Tatsache, daß die exakteste aller Wissenschaften, die
Mathematik, seit je mit der Gleichheit nicht nur problemlos umgeht, sondern
diese für sie offenbar auch unverzichtbar ist; und eigentlich verhält es sich mit
der Kopula der Gleichheit in der Umgangsprache nicht anders. Allerdings hat
Wittgenstein recht, wenn er die Laxheit jener Formulierung anprangert. Nun
ist es zwar unsinnig, von zwei (verschiedenen) Dingen zu sagen, sie seien identisch,
aber nicht, zwei (verschiedene) Namen zu benutzen um auszudrücken,
daß sie sich auf denselben Gegenstand beziehen (in diesem Fall sagen wir, die
Namen seien koreferentiell). Dies ist aber genau der Sinn der obigen Beispielsätze.
So hat z.B. jede Zahl mehrere (sogar unendlich viele) Namen, etwa die
Zahl Fünf die Namen ‘5’, ‘2 + 3’, ‘8 − 3’, usw.; die irrationale Zahl, die den
Namen ‘π’ trägt, kann auch durch den Ausdruck ‘die Maßzahl für den Flächeninhalt
des Einheitskreises’ gekennzeichnet werden; der berühmte römische
Konsul und Gegner des Catilina mit dem Namen ‘Marcus Tullius’ ist bekannter
unter dem Namen ‘Cicero’; der Tag mit dem Namen ‘18. Brumaire des Jahres
VIII ’ im französischen Revolutionskalender wird im gregorianischen Kalender
‘9. November 1799 ’ genannt; der Hauptstern im Sternbild Canis Major trägt
den Namen ‘Sirius’ und heißt in Homers Ilias ‘der Herbststern’; und die Venus
schließlich hat mindestens die beiden Namen ‘der Morgenstern’ und ‘der
Abendstern’. Die Identitätsaussagen in (18) behaupten also einfach in jedem
Fall, daß die Individuenterme, die das Gleichheitszeichen flankieren, ein und
denselben Gegenstand bezeichnen. Derlei Aussagen sind zugleich insofern informativ,
als die Namensgebung auch anders hätte verlaufen können. Das macht
sie zu einem wichtigen Instrument sprachlicher Kommunikation.
Die vielen Anführungszeichen im letzten Absatz machen augenfällig, daß
wir es bei der Identitätsproblematik mit einer zweiten Relation zu tun haben,
die nicht immer von der Gleichheitsrelation sauber unterschieden wird;
sie besteht nicht zwischen den Gegenständen selbst, sondern zwischen sprachlichen
Ausdrücken, die sich auf Gegenstände beziehen. Um aber nun über Ausdrücke
sprechen zu können, benötigen wir Namen für die Ausdrücke selbst
und nicht für die Objekte, auf die sich die Ausdrücke beziehen; sie werden
am einfachsten durch (einfache) Anführungsstriche erzeugt. Die neue Relation
zwischen den Ausdrücken ist aber gerade die der Koreferentialität. Da man
Ausdrücke gebraucht (engl. use), wenn man sich auf die Objekte bezieht, und
sie erwähnt (engl. mention), wenn man sie in Anführungsstriche setzt und damit
über sie selbst spricht, wollen wir die Vermengung dieser Ebenen einen

Moderne Logik und Philosophie 35
Gebrauch/Erwähnungs-Fehler nennen (engl. use/mention slur-over). 18
G. W. Leibniz hat ein berühmtes Kriterium für die Identität formuliert.
Im lateinischen Original lautet es ([158]: 156): Eadem sunt quorum unum potest
substitui alteri salva veritate (Zwei Dinge sind gleich, wenn eines für das andere
unter Erhaltung der Wahrheit ersetzt werden kann). Leider findet sich hier genau
die Vermengung von Ausdrücken und Bezugsobjekten, die Wittgenstein
kritisiert: Es sind Ausdrücke, die in einem Satz füreinander ersetzt werden können,
und nicht Gegenstände. Allerdings läßt sich dieser Gebrauch/Erwähnungs-
Fehler korrigieren, ohne die Existenz der Gleichheitsrelation in Frage zu stellen.
Dazu beginnen wir damit, aus dem Leibniz-Zitat ein Prinzip im Sinne der
modernen Logik zu extrahieren, und ignorieren zunächst die Objekt/Namen-
Problematik. Die Bedingung der Ersetzbarkeit ist so zu interpretieren, daß sie
ausnahmslos und stets gelten soll, d.h. das eine Ding kann das andere jederzeit
in allen Kontexten ersetzen, ohne daß die Wahrheitswert tangiert wird.
Statt von Kontexten wollen wir “ontologischer” von Eigenschaften sprechen;
dann sagt die Identitätsbedingung, daß das eine Objekt in einer jeden Instanz
der Subsumtionsbeziehung mit einer Eigenschaft an die Stelle des anderen Objekts
treten kann, ohne die Subsumtion zu stören. Kurz gesagt lautet jetzt das
Kriterium:
(19) Stimmen zwei Objekte in allen ihren Eigenschaften überein, so sind
sie gleich.
Dies ist die bekannte identitas indiscernibilium, die Gleichheit des Ununterscheidbaren.
Sie ist ein Korollar der metaphysischen Überzeugung, daß zwei
Substanzen als identisch anzusehen sind, wenn sie durch keine Eigenschaft voneinander
“getrennt”, d.h. unterschieden werden können. Hierin drückt sich ein
Ökonomie-Prinzip aus: eine Welt mit zwei verschiedenen Dingen, die sich jedoch
in ihren Eigenschaften vollkommen gleichen, entspränge einem redundanten
Schöpfungsplan, der nach Leibniz auszuschließen ist.
Wir paraphrasieren nun (19) in einer Explizitfassung (20a), die zwar noch
umgangsprachlich formuliert ist, aber die logische Struktur deutlich macht;
diese ist unter (20b) angefügt. Ferner kürzen wir das Kriterium der Ununterscheidbarkeit
im Vorderglied von (20b), nämlich das Zutreffen derselben Eigenschaften,
durch die Relation Indisc(x, y) ab und erhalten so die übersichtliche
Version (20c).
(20) a. Für alle Objekte x und y gilt: wenn für alle Eigenschaften F
gilt, daß F auf x dann und nur dann zutrifft, wenn F auf y
zutrifft, so ist x gleich y. 19
b. ∀x∀y (∀F (F x ↔ F y) → x = y)
c. ∀x∀y (Indisc(x, y) → x = y)
18Zu der für die Logik wesentlichen Unterscheidung von Gebrauch und Erwähnung siehe
Kapitel 1.
19Wenn eine gegebene Eigenschaft als ein beliebiger, aber “fester” Parameter betrachtet
wird, wie das in der Prädikatenlogik der ersten Stufe ausschließlich der Fall ist, benutzen
wir zu ihrer Mitteilung die Buchstaben ‘P ’, ‘Q’, usw.; hier benötigen wir dagegen eine Eigenschaftsvariable
für eine generelle Aussage über alle Eigenschaften, mit dem zweitstufigen
Variablensymbol ‘F ’ (siehe Kapitel 20.)

36 Einleitung
Wir stellen fest, daß sich die Vermengung von Gebrauch und Erwähnung beim
Übergang zur Explizitfassung verflüchtigt hat: wir müssen gar nicht mehr von
zwei Objekten reden, sondern benötigen lediglich zwei verschiedene (variable)
Namen ‘x’ und ‘y’ zur Formulierung des Prinzips. Die beiden Variablen durchlaufen
denselben Individuenbereich; keine begriffliche Beschränkung hindert sie
daran, auch denselben Wert anzunehmen, d.h., koreferentiell zu werden.
Das Problem mit dem Kriterium der Ununterscheidbarkeit Indisc(x, y) liegt
darin, daß es in der elementaren Logik, d.h. in der Quantorenlogik der ersten
Stufe, gar nicht formulierbar ist. Es benutzt wesentlich eine Quantifikation über
Eigenschaftsvariablen oder Variablen zweiter Stufe. Geht man jedoch zur Logik
der zweiten Stufe über, so kann das Kriterium als Definition der Identität hergenommen
werden; so verfährt etwa Russell in der Typenlogik der Principia
Mathematica, die die Logik zweiter Stufe umfaßt.
Nun gibt es viele gewichtige theoretische Gründe, an der elementaren Logik
festzuhalten. In ihr ist zwar das Ununterscheidbarkeitskriterium nicht formulierbar,
aber eine Art Umkehrung davon, die Ununterscheidbarkeit des Gleichen;
sie wird von Leibniz in der erwähnten Schrift ebenfalls angesprochen,
wenn er schreibt ([158]: 156): et contra si Eadem etiam sint A et B, procedet
substitutio quam dixi. Das heißt, daß bei Gleichheit von x und y die Substitution
von x durch y in jeder der Aussagen F x erlaubt ist und umgekehrt.
Natürlich würden wir in der Frage der erststufigen Ausdrückbarkeit nichts gewinnen,
wenn wir wiederum einen Quantor über ‘P ’ einführen. Da aber bei dieser
Richtung die Eigenschaftsquantifikation “nach außen” gezogen werden kann,
können wir das Prinzip “fallweise” auffassen und schematisch formulieren; dies
ist in der ersten Stufe möglich. Zugleich gehen wir zur nicht-ontologischen, rein
sprachlichen Version über; Eigenschaften werden dann wieder zu “Kontexten”,
d.h. zu Formeln in der Sprache der ersten Stufe, die wir mit dem Symbol ‘φ[∗]’
wiedergeben (anstelle des Sterns kann ‘x’ bzw. ‘y’ treten). In (21a) findet sich
die Explizitfassung der Umkehrung, und unter b) ihre logische Form.
(21) a. Sei φ[∗] ein beliebiger Kontext in der Sprache der elementaren
Logik; dann gilt für alle Objekte x und y: ist x gleich y, so gilt
φ[x] genau dann, wenn φ[y] gilt.
b. ∀x∀y (x = y → (φ[x] ↔ φ[y]))
Auf diese Weise sind wir zu dem zentralen Axiomenschema der Identitätslogik
der ersten Stufe gelangt, welches Leibnizsches Substitutionsprinzip oder einfach
Leibniz-Prinzip (engl. Leibniz’ law), genannt wird; wir verwenden im folgenden
meist das Kürzel “(Lb)”.
Sind nun zwei koreferentielle Ausdrücke gegeben, so kann man in (21b)
die Variablen x und y auf sie spezialisieren. Eine wahre Aussage über den
bezeichneten Gegenstand bleibt dann wahr, wenn der eine durch den anderen
ersetzt wird. Danach gilt z.B. wegen 2 + 3 = 5 auch 2 2+3 = 2 5 . Oder hat
man erkannt, daß der Abendstern gleich dem Morgenstern ist, so folgt aus der
wahren Aussage der Abenstern ist der zweitinnerste Planet des Sonnensystems
auch die Wahrheit der Aussage der Morgenstern ist der zweitinnerste Planet
des Sonnensystems. Die Ersetzung ist damit auch im folgenden Beispiel (22a,b)
gültig:

Moderne Logik und Philosophie 37
(22) a. Der Abendstern steht heute am Abendhimmel.
b. Der Morgenstern steht heute am Abendhimmel.
c. Venus steht heute am Abendhimmel.
Dies wird deutlich, wenn man für beide Namen den zugehörigen Planetennamen
‘Venus’ einsetzt; siehe (22c). Läßt man dagegen das temporale Adverb ‘heute’
weg, so drängt sich neben der bisherigen Lesart eine weitere in den Vordergrund,
die die Ersetzbarkeit zweifelhaft und die Version c) sogar falsch erscheinen läßt:
(23) a. Der Abendstern steht am Abendhimmel.
b. Der Morgenstern steht am Abendhimmel.
c. Venus steht am Abendhimmel.
Die neue Lesart vermittelt den Eindruck eines “analytischen”, d.h. rein sprachlichen
Zusammenhangs zwischen dem Individuenterm ‘der Abenstern’ und dem
Prädikat ‘steht am Abendhimmel’, welcher beim Übergang zu einem zwar koreferentiellen,
aber mit einem anderen sprachlichen Gehalt versehenen Term wie
‘Morgenstern’ oder ‘Venus’ verloren geht. Dieses Beispiel zeigt, daß das Substitutionsprinzip
nur für solche Kontexte gedacht ist, in denen es lediglich darauf
ankommt, welches Objekt die beiden Terme bezeichnen, ganz unabhängig von
ihrem deskriptiven Gehalt. Derartige Kontexte heißen extensionale Kontexte.
Dadurch, daß die Identitätslogik das Prinzip zum Axiom erhebt, wird sie zu
einer extensionalen Logik, wie sie der Mathematik zugrunde liegt.
Die Verbindung zur Mathematik, d.h. hier: zur Mengenlehre, ist dabei die
folgende: wie oben kurz erwähnt, werden die Begriffe in der Mathematik grundsätzlich
mit ihren Umfängen identifiziert. Ein Umfang, auch Extension des Begriffs
genannt, ist aber eine Menge von Objekten, die nicht von der Art und
Weise ihrer Charakterisierung abhängt. In einer extensionalen Begriffslogik ist
demnach der Begriff Lebewesen mit Herz identisch mit dem Begriff Lebewesen
mit Niere, da ihre Umfänge übereinstimmen. Für zwei Mengen A und B gilt
nämlich das Extensionalitätsprinzip, welches besagt, daß A gleich B ist, wenn
A und B dieselben Elemente enthalten. Dieses Prinzip ist gewissermaßen ein
Identitätskriterium “von unten”, im Gegensatz zu dem Leibnizschen Prinzip der
Gleichheit des Ununterscheidbaren, welches auf die höhertypigen Eigenschaften
von Objekten rekurriert und daher ein Kriterium “von oben” ist. Als Extensionalitätsaxiom
ist es eines der Axiome der ZF-Mengenlehre und lautet formal:
(24) ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B) → A = B
In der natürlichen Sprache gibt es jedoch auch nicht-extensionale Kontexte,
in denen der deskriptive Gehalt von Ausdrücken für die Wahrheit der Aussage
eine Rolle spielt. Russell gibt folgendes Beispiel, welches sich auf den
Autor des zunächst unter einem Pseudonym veröffentlichten Romans Waverley
bezieht.
(25) a. Georg IV. wollte wissen, ob Scott der Autor von Waverley ist.
b. Georg IV. wollte wissen, ob Scott Scott ist.

38 Einleitung
Wie sich herausstellte, war Walter Scott der Autor des anonym veröffentlichten
Romans Waverley; dies ist die Information, die den englischen König
interessierte, aber nicht die triviale Aussage Scott ist Scott. Hier zeigt sich,
daß in sogenannten epistemischen Kontexten des Wissens oder Glaubens das
Leibniz-Prinzip ungültig wird. Schreibt man einer Person a eine Überzeugung
in der Form a glaubt daß S zu, so hängt die Wahrheit der gesamten Aussage
nicht nur von den Denotaten der in S auftretenden Individuenterme ab, sondern
von dem, wie Frege sagt, Sinn des Satzes S, in den die Art der gewählten Beschreibungen
der Objekte Eingang finden. Das Gebiet der intensionalen Logik
befaßt sich mit derartigen Phänomenen.
Doch zurück zur Trivialität von Selbstidentitäten wie Scott ist Scott oder
allgemeiner a = a; ihre mangelnde Informativität ist der andere Kritikpunkt,
den Wittgenstein im obigen Zitat gegen die Gleichheitsrelation vorbringt.
Aber selbst wenn solche Aussagen trivial und uninformativ sind, so sind sie
damit noch nicht sinnlos. Das Schema der Selbstidentität zählt im allgemeinen
zu den offensichtlichsten logischen Gewißheiten und ist auf jeden Fall, anders
als etwa die Selbstprädikation P (P ) oder die Selbstelementschaft x ∈ x, im
Hinblick auf mögliche Widersprüche völlig ungefährlich. Es stellt neben dem
Substitutionsprinzip das zweite Axiom der klassischen Identitätslogik dar.
Wenn wir nun darauf bestehen, daß Identitätsaussagen (über die Brücke
der Koreferentialität) von der logischen Relation der Gleichheit selbst handeln,
dann scheint es philosophisch gesehen irreführend, etwa zu sagen, es hätte sein
können, daß der Morgenstern (also die Venus) nicht der Abendstern (also die
Venus) ist. Gleichheit ist keine kontingente Relation, sondern vielmehr eine logisch
und metaphysisch notwendige Beziehung, welche genau zwischen jedem
Objekt und sich selbst besteht. Was kontingent ist, sind Zuschreibungen wie
Aristoteles war der Lehrer Alexanders im Sinne von Aristoteles unterrichtete
Alexander. Das hätte auch anders kommen können, d.h. Alexander zu unterrichten
ist keine notwendige Eigenschaft von Aristoteles oder sonst jemanden; so
entsteht der Eindruck der Kontingenz von Identitätsaussagen. Hier wird allerdings
eine neue begriffliche Dimension eingeführt, die der Modalitäten notwendig,
möglich, kontingent. Diese erzeugen eine weitere Gruppe von intensionalen
Kontexten, die einer gesonderten Behandlung bedarf; siehe unten.
Wir erwähnen noch eine weitere wichtige Funktion der Identitätsbeziehung.
Will man von einer Eigenschaft P sagen, daß sie nicht-leer ist, also auf mindestens
ein Objekt zutrifft, so formuliert man einen einfachen Existenzsatz der
Form ∃xP x. Für die weitergehende Bedingung, daß es auch nicht mehr als ein
Objekt, also höchstens ein x mit P x gibt, benötigt man das Identitätssymbol.
Diese Eindeutigkeitsbedingung lautet, wiederum zunächst lax formuliert:
Haben zwei Objekte die Eigenschaft P , so sind sie gleich. Diese Sprechweise
kann jedoch auf die gleiche Weise wie oben reformiert werden, indem man zwei
Variablen x und y zu Hilfe nimmt; die Bedingung lautet dann: Für alle x und
alle y gilt: wenn P x und P y, dann x = y; symbolisch:
(26) ∀x∀y (P x ∧ P y → x = y)
Zusammen mit der Existenzbedingung ∃xP x ergibt sich die Einzigkeitsbedingung
(= Existenz und Eindeutigkeit) der Russellschen Kennzeichnungstheorie;

Moderne Logik und Philosophie 39
damit ein Satz wie der gegenwärtige König von Frankreich ist weise überhaupt
die “Chance” hat wahr zu sein, muß die Existenz und Eindeutigkeit des Königs
von Frankreich zu allererst erfüllt sein. Ist dies der Fall, dann wird der Satz
wahr, wenn diese Person gerade die Eigenschaft besitzt, weise zu sein. Dagegen
kann der Satz auf dreierlei Weise falsch werden: Entweder es gibt keinen König
von Frankreich, oder es gibt zwei davon, oder es gibt zwar genau einen, aber
der ist nicht weise.
Wie bereits erwähnt, war Russell überzeugt davon, daß Kennzeichnungen
wie ‘der gegenwärtige König von Frankreich’, aber auch denotierende wie
‘der Präsident der französischen Republik’ Scheinkonstituenten in einem Satz
darstellen, die in keiner direkten Denotationsbeziehung zu einem Gegenstand
stehen; er eliminierte daher Kennzeichnungsterme generell durch die obige Paraphrase
und gestand ihrer syntaktischen Gestalt nur einen “virtuellen” Charakter
zu. Ist die Einzigkeitsbedingung nicht erfüllt, so wird ein elementarer
(nicht-negierter) Satz, in dem ein solcher Term auftritt, nach der Elimination
einfach falsch.
Die freie Logik dagegen ist ein Theorierahmen, in dem Kennzeichnungen
nicht eliminiert, sondern syntaktisch ernst genommen und als Individuenterme
in der logischen Form beibehalten werden. Die zugehörige Semantik weicht von
der klassischen Semantik dadurch ab, indem sie Denotationslücken zuläßt. Die
Bedingung, daß ein solcher Individuenausdruck t denotiert, kann man dann
durch die Selbstidentität t = t wiedergeben. Diese wird jetzt informativ, allerdings
verliert sie dadurch den Status eines stets gültigen Satzes. In der freien
Logik ist sie zu dem Existenzprädikat äquivalent. Wir verweisen auf den Abschnitt
über freie Logik in Kapitel 13.
Wie oben schon erwähnt heißt eine Relation R reflexiv, wenn für jedes Relatum
x von R gilt, daß xRx, also daß x mit sich selbst in der Relation R steht.
Ferner heißt R symmetrisch, wenn mit xRy auch yRx gilt, und transitiv, wenn
aus xRy und yRz die Beziehung xRz folgt. Besitzt R alle drei Eigenschaften,
so ist R eine Äquivalenzrelation.
Wegen des Prinzips der Selbstidentität ist die Gleichheitsrelation reflexiv.
Sie ist ferner symmetrisch und transitiv; diese Gesetze lassen sich mit dem
Leibniz-Prinzip herleiten.
Äquivalenzrelationen sind allgegenwärtig; sie treten immer dann auf, wenn
eine Anzahl von Objekten sich in einer fest vorgegebenen Eigenschaft gleichen,
z.B. wenn Personen die gleiche Körpergröße haben. Die Relation zwischen Ausdrücken,
koreferentiell zu sein, ist ebenfalls eine Äquivalenzrelation. Wir kommen
im nächsten Unterabschnitt darauf zurück.
Ähnlichkeit
In dem Umkreis der Identitätsproblematik gehört auch der Begriff der Ähnlichkeit.
Man kann das Verhältnis zur Gleichheit am besten durch Abwandlung des
Ununterscheidbarkeitskriteriums erläutern: zwei Objekte sind gleich, 20 wenn sie
in allen ihren Eigenschaften übereinstimmen; zwei Objekte sind einander ähnlich,
wenn sie in mindestens einer Eigenschaft übereinstimmen. Zum Beispiel
20 Wir wissen jetzt, daß diese Sprechweise harmlos ist.

40 Einleitung
waren sich Mozart und Schubert darin ähnlich, daß sie beide in jungen Jahren
starben. Es ist klar, daß jedes Objekt zu sich selbst ähnlich ist; das folgt
aus dem Ununterscheidbarkeitskriterium der Selbstidentität. 21 Ist ferner a zu
b ähnlich, so ist auch b zu a ähnlich. Die Ähnlichkeitsrelation ist damit reflexiv
und symmetrisch. Anders als die Gleichheit ist sie jedoch nicht mehr transitiv:
die gemeinsame Eigenschaft kann nämlich von einem Ähnlichkeitspaar zum anderen
wechseln. Das ist so wie der Freund eines Freundes, der kein Freund mehr
zu sein braucht. Anders als bei der Gleichheit und bei der Äquivalenzrelation
gibt es keine stabilen Ähnlichkeitsketten.
In einem philosophischen Werk des 20. Jahrhunderts spielt eine Ähnlichkeitsbeziehung
eine zentrale Rolle. Es handelt sich um Rudolf Carnaps Buch
Der logische Aufbau der Welt [37], in dem der Versuch unternommen wird, aus
einer einzigen empirischen Relation der Ähnlichkeitserinnerung, genannt ‘Er’,
die Gegenstände der Welt nach dem Vorbild der Principia Mathematica Stufe
für Stufe logisch zu konstruieren und damit ein ganzes Konstitutionssystem
auf psychischer Basis, also auf der Grundlage unmittelbarer Erlebnisinhalte
zu errichten. (Die Wahl der psychischen Basis ist für Carnap allerdings nicht
mit einer metaphysischen Prioritätsbehauptung verbunden, sondern hat einen
rein methodologischen Charakter). Für uns ist der formale Aspekt wichtig, daß
Eigenschaften wie etwa Farbmerkmale Rot, Gelb, Blau als sogenannte Ähnlichkeitskreise
auf der Grundlage der Relation Er konstruiert werden, wobei nur
die Annahmen der Reflexivität und Symmetrie für Er gemacht werden. Dieses
für den Aufbau zentrale Verfahren der Quasianalyse wird in der Theorie der
Relationen in Kapitel 10 in seinen Grundzügen dargestellt.
0.2.4 Abstraktion
Abstraktion wird allgemein das Verfahren genannt, aus einer Reihe von Beobachtungen
von ähnlichen Einzelobjekten ein gemeinsames Merkmal zu extrahieren
und zu einer dieses Merkmal ausdrückenden “Idee” bzw. einem Begriff
überzugehen, welcher gerade diejenigen Gegenstände subsumiert, die in den
Ausgangsbeobachtungen auftraten. Mit der Abstraktion geht also stets eine
Klassenbildung einher: hat man den Begriff sprachlich durch eine Eigenschaft
P isoliert, so kann man die Klasse aller x mit P x bilden, etwa die Klasse aller
Menschen oder die Klasse aller Vögel. Ursprünglich strebte die Abstraktionsbildung
danach, vom Einzelen und Besonderen zum Allgemeinen überzugehen,
das sich in einem sprachlichen Konzept niederschlägt. Dieses ist im allgemeinen
“feinkörniger” als die reine Klassenbildung; so können wir dieselbe Klasse von
Objekten einmal unter dem Begriff Lebewesen mit Herz subsumieren und das
andere Mal unter Lebewesen mit Niere. Traditionell unterscheidet man zwischen
verschiedenen Inhalten (Intensionen) von Begriffen, welche denselben
Umfang (dieselbe Extension) haben können. Der Umfang oder die Extension
eines Begriffs ist wie schon erwähnt gerade die Klasse der Objekte, die unter
ihn fallen.
Der gedanklichen Operation der Abstraktion entspricht in der Logik ein
21 Streng genommen müssen wir dazu voraussetzen, daß jedes Objekt mindestens eine Eigenschaft
hat; aber selbst der Mann ohne Eigenschaften hat die Eigenschaft, ein Mann zu
sein.