Collegium Logicum – Logische Grundlagen der Philosophie und

22 Einleitung
legende Entwicklung jener Zeit war die Begündung der Theorie der Wahrheit
und allgemeiner der Semantik als logische Disziplin durch Alfred Tarski. Der
klassische Text ist Tarskis Schrift Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten
Sprachen von 1935, die bis heute auch in der Philosophie eine bedeutende
Quelle darstellt. Ausgehend von der Lügner-Paradoxie, die wesentlich das
Wahrheitsprädikat “... ist wahr” enthält, analysiert Tarski die paradoxe Verwendung
des Wahrheitsbegriffs in der Umgangsprache und gibt eine Lösung des
Problems im Rahmen formaler Logik-Systeme, indem er die wesentliche Unterscheidung
zwischen Objekt- und Metasprache trifft: Wahrheit ist ein Prädikat
der Metasprache, das die Aussagen der Objektsprache in wahre und falsche
einteilt; in diesen Aussagen selbst kommt aber das Wahrheitsprädikat nicht
vor.
Die in Tarskis Aufsatz entwickelte Semantik, heute Tarski-Semantik, modelltheoretische
oder Interpretationssemantik genannt, ist ein zentrales Instrument
der formalen Philosophie. In der mathematischen Logik hat sie sich in der
Folgezeit zu der Teildisziplin der Modelltheorie weiterentwickelt, zu der Tarski
selbst wesentliche Beiträge lieferte. Vor Tarski waren semantische Begriffe
zwar implizit vorhanden, z.B. in Gödels Begriff der arithmetisch wahren, aber
unentscheidbaren Aussage, aber im Rahmen des Hilbertschen Formalismus waren
sie nicht wirklich “hoffähig”; sie galten als zu inhaltlich und philosophisch.
Mit Hilfe der Tarski-Semantik konnte man nun den wesentlich semantischen
Charakter einiger wichtiger früherer Ergebnisse der Logik klar herausarbeiten.
Das trifft insbesondere auf ein anderes zentrales Resultat von Gödel zu, den
Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik. Er besagt, daß jede widerspruchsfreie
Menge von Aussagen ein Modell besitzt, d.h. eine Struktur, die alle Aussagen
dieser Menge wahr macht. Geeignet umformuliert kann man den Inhalt
des Vollständigkeitssatzes auch wie folgt ausdrücken. Der Satz stellt eine Verbindung
her zwischen dem syntaktischen Begriff der Beweisbarkeit und dem
semantischen Begriff der logischen Wahrheit, d.h. der Erfüllung in jeder möglichen
Struktur; das Resultat ist, daß die beiden Begriffe deckungsgleich sind.
Aus diesem wichtigen Metatheorem ergeben sich bedeutende Konsequenzen für
die Grenzen der Ausdruckkraft der elementaren Logik: zum Beispiel läßt sich ein
intuitiv so einfacher Begriff wie der der Endlichkeit eines Modells nicht in der
Prädikatenlogik der ersten Stufe charakterisieren. Diese und andere analoge Ergebnisse
sind auch von hohem philosophischen und wissenschaftstheoretischen
Interesse.
Eine letzte philosophisch ebenfalls bedeutsame Entwicklung in der Logik
der Dreißiger Jahre betraf die Mengenlehre; sie wurde wiederum maßgeblich
von Gödel angestoßen. Zu jener Zeit war der Mengenbegriff längst auf einige
wenige intuitiv plausible Axiome der Mengenexistenz und Mengenkonstruktion
zurückgeführt; diese Axiomatisierung stammt von Ernst Zermelo und
Abraham Fraenkel, der zu den Zermeloschen Axiomen ein wichtiges weiteres
Axiom hinzufügte. Dieses System wird heute die Zermelo-Fraenkelsche
Mengenlehre, kurz: ZF genannt. Aber von Anfang an entzog sich ein wichtiges
mengentheoretisches Prinzip der Einordnung in dieses System: das sogenannte
Auswahlaxiom (kurz: AC oder einfach C für engl. [axiom of ] choice). Es geht
von der im Bereich des Endlichen plausiblen Vorstellung aus, daß man etwa aus
einer Anzahl von mit Kugeln gefüllten Urnen jeweils eine Kugel herausgreifen