Collegium Logicum – Logische Grundlagen der Philosophie und

Historisches 9
für die volle reelle Zahlenachse, die von Null aus nicht nur nach +∞, sondern
auch, an der Null gespiegelt, nach −∞ reicht. Im 16. Jahrhundert schließlich
traten noch die imaginären Zahlen hinzu; sie ergaben sich aus der Fragestellung,
die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen. Imaginäre Zahlen wurden zunächst
nicht als Zahlobjekte, sondern als reine Symbole betrachtet, mit denen man
Rechenmanipulationen durchführen konnte, welche der Arithmetik der reellen
Zahlen eine größere formale Geschlossenheit verliehen. Die Erweiterung der
Arithmetik um die imaginären Zahlen führte zu dem einheitlichen Begriff der
komplexen Zahlen, die Summen der Gestalt x + iy aus einem “Realteil” x und
einem “Imaginärteil” y darstellen, wobei i = √ −1 das imaginäre Grundelement
ist. Mit Gauß setzte sich dann die Interpretation der komplexen Zahlen als
Punkte in der Ebene durch (Gaußsche Zahlenebene). Analytisch gesehen sind
komplexe Zahlen damit nichts anderes als geordnete Paare von reellen Zahlen.
Das Ergebnis dieser sukzessiven Rückführung der genannten Zahlensysteme
auf die nächsteinfacheren war, daß man sie in eine Kette von Reduktionsbeziehungen
anordnen konnte, an deren Ende die natürlichen Zahlen stehen:
komplexe Zahlen → reelle Zahlen → rationale Zahlen → ganze Zahlen
→ natürliche Zahlen. Dies gab Gottlob Frege die Idee, eine Begründung der
gesamten Mathematik auf rein logischer Basis zu versuchen. Die natürlichen
Zahlen einschließlich der Null können nämlich als das aufgefaßt werden, was
allen Begriffen gemein ist, welche die entsprechende Anzahl von Objekten subsumieren,
wobei das Gemeinsame, etwa die Zahl n, durch den Begriff “zweiter
Stufe” ausgedrückt wird, unter genau diejenigen Begriffe zu fallen, die gerade n
Objekte subsumieren. Bezeichnen wir für den Augenblick einen Begriff mit dem
Kunstwort n-mächtig, 5 wenn er genau n Objekte subsumiert, so wäre danach
zum Beispiel die Zahl 3 nichts anderes als der Begriff zweiter Stufe, auf dreimächtige
Begriffe zuzutreffen. Die Zahl Null ist dann der zweitstufige Begriff,
auf null-mächtige oder leere Begriffe zuzutreffen, die gar keine Objekte subsumieren.
Begriffe aber sind nach Frege etwas Logisches, und über diese Brücke
wäre die Reduktion auf die Logik erreicht. Ein ähnliches Programm wurde von
Bertrand Russell verfolgt; beide Programme tragen den Namen Logizismus.
Der Logizismus ist philosophisch von Bedeutung, weil auf diese Weise die Mathematik
denselben erkenntnistheoretischen Status wie die reine Logik erhält
und somit neues Licht auf die Behauptung von Kant geworfen wird, die Sätze
der Mathematik seien zwar a priori, d.h. nicht empirisch gewonnen, aber
dennoch nicht analytisch, d.h. durch reine Begriffsanalyse herzuleiten. Wegen
des überragenden Einflusses von Kant war und ist diese Frage von großem
philosophischen Interesse. Der Logizismus wird heute zwar allgemein für falsch
gehalten, ist aber in “logisch geläuterter Form” immer noch ein wichtiges Thema
der Philosophie der Mathematik.
Bevor Frege sein Programm in Angriff nehmen konnte, galt es jedoch, die
Wissenschaft von der Logik zu modernisieren, um sie den Anforderungen anzupassen,
die die Mathematik stellte. Die Logik der Aussagen, d.h. die Logik
der Satzverknüpfungen wie ‘es ist nicht der Fall’, ‘und’, ‘oder’, ‘wenn – dann’
lag zwar im wesentlichen vor, obwohl die logische Bedeutung von wenn-dann-
Sätzen ein notorisches Problem darstellte; das alles entscheidende Mittel zur
ist.
5 Es gibt jedoch den Begriff gleichmächtig, der ein zentraler Terminus der Mengenlehre