Collegium Logicum – Logische Grundlagen der Philosophie und

18 Einleitung
das System der modernen Prädikatenlogik der ersten Stufe, auch elementare
Logik genannt, als Teilsystem enthält; zweitens wird hier das logizistische
Programm der Zurückführung der Mathematik auf die Logik im Detail vorangetrieben,
soweit dies möglich war; und schließlich findet sich drittens in dem
Werk eine nach Inhalt, Methode und Präzision völlig neue Philosophie, welche
richtungsweisende Beiträge zur Ontologie, Erkenntnistheorie, Sprachphilosophie
sowie den Grundlagen von Logik und Mathematik lieferte. Wegen ihres
kompromißlosen Formalismus sind die Principia Mathematica bis heute keine
leichte Lektüre. Daß ihre logische Genauigkeit dennoch nicht mehr heutigen
formalen Standards genügen kann, spricht nicht gegen ihre epochemachende
Innovation an formaler Strenge, sondern lediglich für die beachtliche Schnelligkeit,
mit der die Entwicklung der mathematischen Logik in den letzten hundert
Jahren vonstatten ging.
0.1.3 Die Logik des 20. Jahrhunderts
Daß die Logik sich als mathematische Disziplin etablieren konnte, verdankt
sie vor allem dem von seinen Fachkollegen anerkannten Mathematiker Hilbert,
der oben bereits erwähnt wurde. Neben seinen im engeren Sinne mathematischen
Arbeiten befaßte sich Hilbert um die Jahrhundertwende mit den
Grundlagen der Geometrie, deren Axiomatisierung ja bereits der Gegenstand
vieler Untersuchungen im 19. Jahrhundert gewesen war. Im Zusammenhang der
Diskussionen um den Status der nicht-euklidischen Geometrien waren Fragen
der Widerspruchsfreiheit von Axiomensystemen in den Vordergrund getreten.
Hilbert und seine Schüler nahmen nun die Entdeckung der Widersprüche
in der naiven Mengenlehre zum Anlaß, systematisch die Teilgebiete der Mathematik
zu untersuchen, sie zu axiomatisieren und ihre Widerspruchsfreiheit
nachzuweisen (Hilbertsches Programm). Sieht man von der Geometrie ab, so
handelte es sich vor allem um drei zentrale, aufeinander aufbauende mathematische
Disziplinen: (i) die Theorie der natürlichen Zahlen und ihrer Funktionen
(Arithmetik), (ii) die Theorie der reellen Zahlen und ihrer Funktionen (Analysis)
sowie (iii) die Theorie der Mengen (Mengenlehre). Da hier mathematische
Theorien selbst Gegenstand der Untersuchungen sind, spricht man von diesem
Forschungsprogramm auch als der Metamathematik. Natürlich können die
Methoden der Metamathematik keine anderen als mathematische sein; um nun
einem “Methodenzirkel” zu entkommen, verlangte Hilbert, in der Metatheorie
nur solche Mittel zu verwenden, die in einem gewissen Sinn als “unproblematisch”
gelten können. Angesichts der unerwarteten Probleme mit den intuitiven
Grundlagen der Mathematik einerseits und mit den zum Teil paradox anmutenden
Phänomenen im Unendlichen andererseits versuchte er, auf inhaltliche,
“semantische” Argumente zu verzichten wie auch auf “infinitäre”, auf unendliche
Bereiche Bezug nehmende Methoden. Beweise wurden nur anerkannt, wenn sie
rein formal nach fest vorgegebenen Regeln durchgeführt werden konnten. Diese
Maxime trägt den Namen Formalismus. Der Verzicht auf infinitäre Argumente
wird als Finitismus bezeichnet. Die Widerspruchsfreiheitsbeweise sollten also
ausschließlich mit finiten Methoden erbracht werden, die rein kombinatorischer
Natur sind und ohne Unendlichkeit auskommen.
Bei der Axiomatisierung der genannten drei Theorien erwies es sich als