Collegium Logicum – Logische Grundlagen der Philosophie und

Historisches 19
zweckmäßig, genauer festzulegen, über welche Art von Objekten eine Theorie
“spricht”: es sind dies die Objekte, über die mit Hilfe der gebundenen Variablen
der Theorie quantifiziert wird. Der Quantifikationsbereich ist zwar eigentlich
ein semantisches Konzept, das nicht explizit in der Theorie eine Rolle spielen
durfte; aber man benutzte für die verschiedenen Bereiche verschiedene Typen
von Variablen und “sagte dann dazu”, was der intendierte Bereich sein sollte.
Die arithmetischen Quantoren z.B. variieren über Zahlen, die anders als bei
Frege als Objekte der untersten Stufe, Individuen genannt, aufgefaßt werden.
Wenn man neben der Quantifikation über Zahlen auch die Quantifikation über
Mengen von Zahlen zuläßt, so spricht man von einer Theorie höherer, genauer:
der zweiten Stufe. Freges System entspricht einer Theorie der zweiten Stufe,
Russells Typentheorie sogar einer Theorie beliebiger endlicher Stufen. Wie
oben bereits erwähnt, läßt die elementare Logik nur die Quantifikation über Individuen,
also Objekte der ersten Stufe, zu. Die übliche, auf den Axiomen von
Peano basierende Zahlentheorie ist eine Theorie der ersten Stufe und trägt den
Namen Peano-Arithmetik. Die Analysis läßt sich als Zahlentheorie der zweiten
Stufe entwickeln, weil die reellen Zahlen mit gewissen Mengen von natürlichen
Zahlen identifiziert werden können; dies ergibt sich aus den Reduktionsbeziehungen
zwischen den Zahlensystemen. Die Mengentheorie ist wiederum eine
Theorie der ersten Stufe; ihre Objekte sind alles Individuen, welche Mengen
genannt werden. Die Reduktion der Mathematik auf die Mengenlehre bedeutet,
daß alle mathematischen Objekte gewisse Mengen sind, speziell die verschiedenen
Arten von Zahlen und alle Relationen und Funktionen über ihnen.
Auch können alle mathematischen Theorien in die Mengentheorie eingebettet
werden; diese ist somit die umfassendste Theorie.
Was nun die Frage der Widerspruchsfreiheit betrifft, so geriet das Hilbertsche
Programm schon bei dem schwächsten System, dem der Arithmetik, in
unüberwindbare Schwierigkeiten. Zwar wurde für dieses System ein Widerspruchsfreiheitsbeweis
geführt (durch Gerhard Gentzen im Jahre 1936), aber
der Beweis benutzte wesentlich nicht-finite Mittel; und weit davon entfernt,
schwächer zu sein, waren sie sogar erheblich stärker als die Beweismittel, die
in der Arithmetik selbst zur Verfügung stehen. Dieses Resultat befindet sich
im Einklang mit einer Entdeckung von Kurt Gödel wenige Jahre vorher: sie
besagt, daß eine Theorie, die so stark ist wie die Peano-Arithmetik, ihre eigene
Widerspruchsfreiheit nicht beweisen kann. Dies ist der Inhalt des sogenannten
zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes. Der finite Standpunkt muß also
in seiner strikten Form aufgegeben werden. Das mag für Mathematiker und
Philosophen, die diese Position für unnötig restriktiv hielten, nicht besonders
schlimm gewesen sein. Weit schwerer wog allerdings eine weitere Folgerung aus
dem Gödelschen Satz: da die Mengenlehre die Arithmetik umfaßt, gilt dasselbe
für sie, d.h. ihre Widerspruchsfreiheit kann nicht in der Mengenlehre selbst bewiesen
werden. Nun umfaßt die Mengenlehre aber im wesentlichen die gesamte
Mathematik; die Frage, ob die Mathematik als ganze widerspruchsfrei ist, muß
also unbeantwortet bleiben. Der Optimismus Hilberts, der verkündet hatte,
in der Mathematik gebe es kein Ignorabimus, erhielt hierdurch einen gewissen
Dämpfer.
Zur Unbeweisbarkeit der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik innerhalb des
Systems selbst gelangte Gödel mit Hilfe von Methoden, die er für seinen ersten