Collegium Logicum – Logische Grundlagen der Philosophie und

Historisches 11
(3) Ein Student löste alle Aufgaben.
Dies ist ein einfacher Satz mit Subjekt und Objekt, die durch das transitive
Verb ‘löste’ verbunden sind. Die Subjekt- und die Objekt-Konstituente, d.h.
‘ein Student’ bzw. ‘alle Aufgaben’, sind aber nur grammatische Einheiten, keine
logischen Einheiten. Um die logische Struktur des Satzes zum Vorschein zu
bringen, müssen diese Konstituenten zerlegt werden. Die folgenden Paraphrasen
sind Annäherungen an die logische Struktur:
(4) a. Es gibt einen Studenten, der alle Aufgaben löste.
b. Es gibt ein x so daß x ein Student ist und für alle y gilt: wenn y
eine Aufgabe ist, dann löste x y.
Werden in (4b) die deutschen Ausdrücke durch geeignete logische Symbole ersetzt,
so erhält man die logische Form des Satzes (3). Derartige logische Formen
entwickelt Frege nach dem Vorbild mathematischer Aussagen; so liefert dasselbe
Schema die logische Form (5b) für den folgenden mathematischen Satz
(5a):
(5) a. Jede positive reelle Zahl besitzt eine reelle Wurzel.
b. Für alle x gilt: wenn x eine positive reelle Zahl ist, dann gibt es
ein y so daß y reell ist und y die Wurzel von x ist.
Gegenüber dem vorigen Beispiel treten hier die Quantorenausdrücke ‘alle’ und
‘ein’ in umgekehrter Reihenfolge auf, mit entsprechend vertauschter logischer
Abhängigkeit, doch ist die Struktur der Bildung solcher logischen Formen die
gleiche. Derartige logische Formen wirken umständlich, aber sie lassen sich
aus wenigen immer gleichen Grundelementen aufbauen und machen die relative
Anordnung der logischen Ausdrücke deutlich. Diese Grundelemente sind
Darstellungen der beiden genannten Quantorenausdrücke ‘alle’ und ‘ein’, ergänzt
durch ihre Negationen ‘nicht alle’ und ‘kein’. Mit ihnen ergeben sich
vier Grundtypen von Quantorenphrasen, wie sie auch bereits im sogenannten
aristotelischen Quadrat der Oppositionen auftreten; siehe Abbildung 2.
Die prädikatenlogische Darstellung der Quantorenausdrücke erlaubt jedoch
ihre beliebige Schachtelung, so daß auch so komplexe Aussagen wie etwa die obige
Definition der Konvergenz von Funktionenfolgen ausgedrückbar sind. Wenn
wir das klassische Beispiel ‘alle Menschen sind sterblich’ variieren, dann lauten
die vier Darstellungen wie in (6a–d). Dabei ist jeweils unter dem umgangssprachlichen
Satz eine “Explizitfassung” EF angeben, die die logische Struktur
klarer hervorhebt, und darunter im Vorgriff auf später die logische Form LF,
mit ‘∀’ für ‘für alle’, ‘∃’ für ‘es gibt’, ‘¬’ für ‘es ist nicht der Fall, daß’, ‘∧’ für
‘und’, ‘→’ für ‘wenn–dann’, ‘P (x)’ für ‘x ist ein Mensch’, und ‘Q(x)’ für ‘x ist
sterblich’.
(6) a. alle: alle Menschen sind sterblich
EF: für alle x gilt: wenn x ein Mensch ist, dann ist x sterblich.
LF: ∀x(P (x) → Q(x))
b. nicht alle: nicht alle Menschen sind sterblich
EF: es ist nicht der Fall, daß für alle x gilt: wenn x ein Mensch
ist, dann ist x sterblich.
LF: ¬∀x(P (x) → Q(x))