Collegium Logicum – Logische Grundlagen der Philosophie und

Historisches 17
führt jetzt zusammen mit dem Komprehensionsprinzip (10) zu einem Widerspruch.
Bezeichnen wir diese Russellsche Menge mit r und fragen danach, ob
r selbst ein Element von r ist. Wird das bejaht, so besitzt r die definierende
Eigenschaft der Menge in (12), d.h. r ist kein Element von r. Wenn aber
umgekehrt die “Selbstelementschaft” von r verneint wird, so hat r gerade die
definierende Eigenschaft der Menge r, und dann müßte r eines der Elemente
von r sein. In Symbolen:
(13) r ∈ r genau dann, wenn r �∈ r
Dies ist nun eine echte Antinomie, deren Kennzeichen es ist, daß aus unkontrovers
erscheinenden Prämissen, wie hier dem naiven Komprehensionsprinzip,
ein nicht auflösbarer Widerspruch abgeleitet werden kann. Die Tatsache, daß
sie so leicht erklärt werden kann, ist ein Hinweis auf Schwierigkeiten grundsätzlicher
Art, die mehr sind als ein Grenzproblem in der Mengenlehre wie das der
Menge aller Mengen. Der größte Logiker des 20. Jahrhunderts, Kurt Gödel,
sagte später zu der Russell-Paradoxie:
[Russell] unterzog die Paradoxien, zu denen Cantors Mengenlehre
geführt hatte, einer eingehenden Analyse und befreite sie von allen
technischen Details; er förderte so das erstaunliche Faktum zu Tage,
daß unsere logischen Intuitionen (d. h. Intuitionen zu Konzepten wie
Wahrheit, Begriff, Sein, Klasse, usw.) Widersprüche in sich tragen.
([97]: 131; Übersetzung G.L.)
Die Paradoxie stellte die als selbstverständlich angenommene Beziehung
zwischen Begriff und Umfang in Frage, nämlich daß es zu jedem beliebigen
Begriff einen Umfang gibt, der genau die Objekte enthält, die unter den Begriff
fallen. Dies hatte auch Frege in seinen Grundgesetzen angenommen und
mußte nun feststellen, daß sein System einen analogen Widerspruch enthielt.
Mathematiker, die nichts von der neuen Logik hielten, fühlten sich in ihrer
Abneigung bestärkt; so ist von dem berühmten Mathematiker Poincaré die
Bemerkung überliefert: “Die Logik ist gar nicht mehr steril — sie zeugt jetzt
Widersprüche!”
Russell selbst faßte seine Entdeckung als persönliche Herausforderung auf,
eine Lösung der Paradoxie sowie einer ganzen Reihe verwandter Paradoxien
zu erarbeiten, welche in dieser Zeit sehr schnell entdeckt oder wiederentdeckt
wurden. Zu den letzteren zählte auch die Jahrtausende alte Lügnerparadoxie:
Wenn ich den Satz äußere: “ich lüge jetzt”, oder auch: “was ich jetzt gerade sage,
ist falsch”, sage ich dann mit diesem Satz die Wahrheit oder die Unwahrheit?
Beide Annahmen führen ähnlich wie bei der Russell-Paradoxie jeweils zu ihrem
Gegenteil.
Russell benötigte fast zehn Jahre, bevor er zusammen mit Whitehead
die Principia Mathematica publizieren konnte, in der eine Lösung der Paradoxien
präsentiert wird. Dazu entwickelten die Autoren eine Logik der Typen,
welche Elementschaftszyklen der Form ‘x ∈ x’ oder auch ‘x �∈ x’ von vornherein
unterbindet und so die Russell-Paradoxie im Ansatz blockiert. Darüberhinaus
liegt die Bedeutung dieses Werks vor allem in den folgenden Punkten: Erstens
baut es mit Hilfe der Peano-Notation ein umfassendes System der Logik auf,
welches als Vorbild späterer Systeme der mathematischen Logik diente und