Collegium Logicum – Logische Grundlagen der Philosophie und

Historisches 21
sie ebenfalls unentscheidbar ist.
Für die technische Durchführung der Arithmetisierung der Syntax war es
wichtig, die einzelnen Kodierungsschritte in kontrollierbarer, oder wie man
sagt: in effektiver bzw. berechenbarer Weise vorzunehmen. Da die syntaktischen
Operationen, die es zu verschlüsseln galt, effektiv sind, kam es darauf
an, die entsprechenden Operationen auf den Gödelschen Zahlencodes ebenfalls
berechenbar zu halten. Gödel benutzte dazu die sogenannten primitiv rekursiven
Funktionen, deren Theorie damals gerade entwickelt wurde. Dies sind
Funktionen auf den natürlichen Zahlen, die zu jedem gegebenen Argument
aufgrund einer expliziten Rechenvorschrift nach endlich vielen Rechenschritten
ein eindeutiges Resultat liefern. Es sei bemerkt, daß nicht jede Funktion
im Sinne der Cantorschen Mengenlehre von dieser Art ist: der moderne Funktionsbegriff
ist wesentlich allgemeiner. Doch sind die üblichen arithmetischen
Funktionen wie die Addition, die Multiplikation und die Exponentiation alle
primitiv rekursiv. Es stellte sich nun die Frage, ob der allgemeine intuitive Begriff
der Berechenbarkeit durch diese primitiv rekursiven Funktionen adäquat
erfaßt wird. Alan Turing ersann das Konzept einer abstrakten Rechenmaschine,
die die allgemeinsten berechenbaren Prozesse simuliert; dies ist die nach ihm
benannte Turingmaschine. In der Rekursionstheorie zeigt man, daß es zu jeder
primitiv rekursiven Funktion eine diese Funktion simulierende Turingmaschine
gibt, d.h. daß alle primitiv rekursiven Funktionen “Turing-berechenbar” sind.
Der Begriff der Turing-Berechenbarkeit erwies sich jedoch als allgemeiner, und
die Churchsche These besagt, daß der allgemeine Begriff der Berechenbarkeit
mit der Turing-Berechenbarkeit gleichzusetzen ist, da eine ganze Reihe weiterer
und zunächst ganz verschiedenartiger Charakterisierungen der Berechenbarkeit
sich mit dem Turingschen Begriff deckten. All diese Untersuchungen stammen
ebenfalls aus den Dreißiger Jahren. Während dieser Zeit wurden in der Logik
die theoretischen Grundlagen der modernen Computer- und Informationswissenschaften
gelegt.
Das Turingsche Konzept einer abstrakten Rechenmaschine erlangte in der
Folgezeit auch eine beträchtliche philosophische Bedeutung. In dem Maße, wie
versucht wurde, die kognitiven Prozesse des menschlichen Geistes zu verstehen,
beschäftigten sich Kognitionswissenschaftler und Philosophen mit der Natur
der Hirnprozesse, die bei der Verarbeitung externer und interner Reize und
Informationen ablaufen. Ein vieldiskutiertes Hirnmodell ist das der Erstellung
symbolischer Repräsentationen und ihrer Manipulationen: Denken als Symbol-
Manipulation ganz analog zu einer Rechenmaschine oder einem Computer, also
das Gehirn als Turingmaschine. Umgekehrt hatte schon Turing die Idee, die
“Intelligenz” eines Computerprogramms daran zu messen, wie erfolgreich es
kognitive Prozesse simulieren kann. Der bekannte Turingtest besagt, daß eine
Maschine dann geistige Prozesse adäquat nachahmen kann, wenn eine menschliche
Person, die mit der Maschine kommuniziert und ihr Fragen stellt, nach
einer gewissen Zeit aufgrund der gegebenen Antworten nicht zu entscheiden
vermag, ob sich auf der anderen Seite die Machine oder ein Mensch befindet.
Die dadurch aufgeworfenen Probleme werden bis heute in den Kognitionswissenschaften
und der Philosophie des Geistes diskutiert.
Wir kehren zu den eigentlichen Fragen der Logik zurück. Eine weitere grund-