Collegium Logicum – Logische Grundlagen der Philosophie und

Historisches 15
Jede derartige Zusammenfassung zu einem Ganzen, von dem Cantor spricht,
benötigt ein Kriterium, das über die Mitgliedschaft in einer Menge entscheidet.
Da die Cantorsche Bestimmung keinerlei Einschränkungen für ein solches
Kriterium enthält, könnte man allgemein sagen, daß jede beliebige Eigenschaft
von Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einer Menge führt,
und zwar gerade zu der Menge derjenigen Objekte, die diese Eigenschaft erfüllen.
Cantor benutzte als Notation für Mengen geschweifte Klammern, die bis
heute üblich sind: wenn das Symbol Φ für die gegebene Eigenschaft steht, so
bezeichnen wir die Menge derjenigen Objekte x, die die Eigenschaft Φ besitzen,
mit
(9) { x | Φ[x] }
Man kann dann aus der Cantorschen Bestimmung das folgende allgemeine Prinzip
für die Zugehörigkeit zu einer Menge der Gestalt (9) gewinnen:
(10) y ∈ { x | Φ[x] } genau dann, wenn y die Eigenschaft Φ hat
Das lateinische Wort für ‘zusammenfassen’ ist comprehendere, und so wird diese
Bestimmung das Cantorsche Komprehensionsprinzip für Mengen genannt. 7
Man spricht heute auch von einem “naiven” Komprehensionsprinzip, weil man
es nicht ganz wörtlich nehmen kann, wie wir unten sehen werden. Beispiele für
Mengen in der Mathematik sind natürlich in erster Linie die Zahlensysteme;
natürliche oder reelle Zahlen sind “wohlunterschiedene” Objekte unseres Denkens,
und also kann man die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge
der reellen Zahlen bilden. Beide Mengen sind unendliche Mengen; ihre aktuale
Existenz nahm Cantor ohne Umschweife an und stellte sich damit gegen die
traditionelle philosophische Auffassung von Unendlichkeit als etwas, was niemals
in Wirklichkeit, sondern stets nur in seiner “Potentialität” gegeben ist.
Diese Auffassung des potentiell Unendlichen, die auf Aristoteles zurückgeht,
wurde auch von Mathematikern bis hin zu Gauß geteilt. Der Begriff des
Aktual-Unendlichen erlaubte es Cantor jedoch, das Unendliche als einen Bereich
aufzufassen, der der mathematischen Erforschung zugänglich ist, während
die alte Auffassung das Unendliche vorwiegend entweder als etwas Negatives
begriff, über das man wenig mehr sagen konnte, als daß es nicht endlich sei,
oder aber es mit metaphysischen Begriffen wie Gott oder dem Absoluten identifizierte,
dem unser endlicher Verstand nicht beikommen kann.
Der Grundstein für die Strukturierung des Unendlichen wurde durch die
Entdeckung Cantors gelegt, daß nach Festlegung eines geeigneten Größenbegriffs
für unendliche Mengen (dem der Mächtigkeit) sich unendliche Mengen
verschiedener Mächtigkeit ergeben. Während die Menge der natürlichen Zahlen
die kleinste unendliche Mächtigkeit repräsentiert, besitzt die Menge der reellen
Zahlen eine höhere Mächtigkeit; dies fand Cantor mit Hilfe seines berühmten
Diagonalverfahrens heraus. Es zeigte sich schnell, daß es sogar unendlich
viele verschiedene Mächtigkeiten gibt. Dazu betrachtete Cantor zu einer unendlichen
Menge die Menge aller ihrer Teilmengen, Potenzmenge genannt; er
7 Diese Bezeichnung ist historisch nicht ganz korrekt, da sich ein solches Prinzip nicht
bei Cantor findet und auch dem Geist seiner Mengenauffassung zuwiderläuft, wie etwa S.
Lavine [157] argumentiert.