Algorithmen der Videosignalverarbeitung: Optimierung durch ...

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VIDEOSIGNAL-ALGORITHMEN variablen“) mit einem jeweils zugehörigen Streuwert σ(i) („Strategieparameter“) korreliert, mit der die Objektvariablen additiv modifiziert werden. Diese Streuwerte σ(i) werden durch Multiplikation der alten Streuwerte mit dem Exponentialfunktionswert einer normalverteilten Zufallszahl ebenfalls mutiert [9]. Die Streuwerte werden mit den korrespondierenden Parametern an die nächste Generation vererbt. Dadurch entsteht ein Selbstadaptionsprozeß der Streuwerte während der Parameteroptimierung. Im Verlaufe des Optimierungsprozesses setzen sich die Individuen durch, deren Streuwerte ein möglichst schnelles Fortschreiten in Richtung des Optimums ermöglichen. Die Mutation eines Individuums wird in Gl. (1) beschrieben, wobei N(0,x) eine normalverteilte Zufallszahl mit einem Mittelwert von Null und einer Standardabweichung x ist. W stellt die Dimension des Optimierungsproblems dar und c ist eine Konstante des Mutationsprozesses ⎛ c ⎞ τ 0 = N⎜0, ⎟ ⎝ 2W ⎠ (1) ⎛ c τ + ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ N ⎜ , ⎟ ⎟⎫ ⎜ 0 0 ⎜ ⎟ ⎟⎪ für ⎝ W ⎠ σ( i ) = σ( i ) ⋅e⎝ 2 ⎠⎬ ⎪ i = 1... W pi ( ) = pi ( ) + σ( i ) ⋅N( 01 , ) ⎭ Die Mutation der Streuwerte enthält je einen für alle Streuwerte gemeinsamen Anteil τ 0 sowie einen spezifischen Anteil für jeden einzelnen Streuwert. Mit diesen Streuwerten werden anschließend die Objektvariablen mutiert. 2.2. Rekombination Mit Rekombination wird die Schaffung eines neuen Individuums („Kind“) unter Verwendung der Gene zweier anderer Individuen („Eltern“) bezeichnet. Dieser Mechanismus korrespondiert mit der sexuellen Fortpflanzung in der Natur. Durch die Rekombination können Distanzen im Parameterraum überbrückt werden, die die Streuweiten der Mutation weit überschreiten. Es werden zwei Methoden der Rekombination unterschieden: die diskrete und die intermediäre Rekombination. Im Falle der diskreten Rekombination werden die Parameter p(i) bzw. die Streuwerte σ(i) für ein neues Individuum zufällig mit der gleichen Wahrscheinlichkeit entweder von dem einen oder von dem anderen Eltern-Individuum Selektion n−1 Selektion n Selektion n−1 µ Eltern ausgewählt. Bei der intermediären Rekombination wird jeder Parameter bzw. Streuwert eines neuen Individuums als arithmetischer Mittelwert der jeweiligen Parameter bzw. Streuwerte der Eltern berechnet [9]. 2.3. Selektion µ+λ λ Kinder Generierung n µ Eltern Bild 6. Darstellung der ( + )-Strategie (links) und der ( Mutation und Rekombination sind Mechanismen zur Erzeugung neuer Individuen. Um einen Fortschritt beim Optimierungsprozeß zu erzielen, ist die Selektion der besten Individuen einer Generation in jedem Optimierungsschritt erforderlich. Hierdurch kann die Populationsgröße, das heißt die Anzahl von Eltern- und Kind-Individuen in einer Generation während der Optimierung konstant gehalten werden. Die am häufigsten verwendeten Evolutionsstrategien sind die im Bild 6 dargestellten (µ+λ)- und (µ,λ)-Strategien [9]. Bei diesen Strategien bestehen die Generationen jeweils aus µ Eltern und λ Kindern. Jedes der λ Kind-Individuen wird durch Rekombination zweier zufällig ausgewählter Eltern-Individuen und anschließende Mutation des Kind-Individuums erzeugt. Die Qualität des neuen Individuums wird durch eine Fehler- bzw. Gütefunktion bewertet. Verwendet man eine (µ+λ)-Strategie zur Selektion, so werden als Eltern-Individuen für die nächste Generation die µ besten Individuen der insgesamt µ+λ Eltern- und Kind-Individuen der aktuellen Generation ausgewählt. Bei einer (µ,λ)-Strategie werden nur die besten Individuen der λ Kinder der aktuellen Generation als Eltern- µ Eltern λ Kinder Selektion n µ Eltern Generierung n+1 Generierung n Generierung n+1 )-Strategie (rechts) Individuen für die nächste Generation ausgewählt. Die (µ,λ)-Strategie stellt eine bessere Repräsentation der biologischen Evolution dar, da sie das Konzept einer begrenzten Lebensspanne der Individuen enthält. 2.4. Klassisches Anwendungsbeispiel Ein bekanntes, sehr anschauliches Optimierungsproblem ist die Konstruktion eines Stabtragewerks [3]. Dieses aus dem Bauingenieurwesen stammende Beispiel erfordert die Kostenminimierung (Optimierung) einer Brückenkonstruktion. Zu optimieren sind die Stabdicken und Längen sowie die Anzahl erforderlicher Knotenpunkte der im Bild 7 dargestellten Brückenkonstruktion. Unter Berücksichtigung aller gegebenen technischen Restriktionen (wie zum Beispiel einem geraden Brückenboden) aber auch aller Symmetriebedingungen ergibt sich ein 25dimensionales, analytisch nicht lösbares Optimierungsproblem. Im Bild 7 sind die Ausgangskonfiguration sowie zwei Zwischenlösungen nach der 10. und 70. Iteration einer Optimierung mit einer Evolutionsstrategie dargestellt. Durch Anwendung der Evolutionsstrategien ist es möglich, das erforderliche Gewicht der Brücke von über 14.000 Einheiten auf rund 11.000 Einheiten zu minimieren [3]. Die Evolutionsstrategie erbringt für dieses Problem Lösungen, die mit anderen Optimierungsverfahren nicht erzielt werden können. Bild 7. Optimierung eines Brückentragewerks; a) Startkonfiguration b), c) Zwischenlösungen der Brückenoptimierung (entnommen aus [3]) 46 FERNSEH- UND KINO-TECHNIK 52. Jahrgang Nr. 1+2/1998
VIDEOSIGNAL-ALGORITHMEN Diese Vorgehensweise der Parameteroptimierung soll nun auf Algorithmen der Videosignalverarbeitung übertragen und anhand von Beispielen in den folgenden Abschnitten diskutiert werden. 3. Optimierung linearer Filter Eine Filterung von Bildsignalen ist eine der wichtigsten Aufgaben in der digitalen Video-Signalverarbeitung. Die gefilterten Bilder sollen dabei häufig eine möglichst hohe Auflösung und eine hohe Bildschärfe haben. Aus diesen Forderungen resultieren Vorgaben an die Eigenschaften eines Filters sowohl im Frequenz- als auch im Ortsbereich. Hier soll nun ein Verfahren zum Filterentwurf für FIR-Filter vorgestellt werden, das Vorgaben in beiden Bereichen erlaubt. Ein Filter wird dazu durch mehrere Teilfehlerfunktionen bewertet, die die Abweichungen der Eigenschaften des Filters von den Vorgaben repräsentieren. Eine weitere Fehlerfunktion bewertet den Hardwareaufwand bei der Implementierung des Filters. Die gewichtete Addition der Werte der einzelnen Teilfehlerfunktionen ergibt eine zu minimierende Gesamtfehlerfunktion, die ein direktes Maß für die Eignung des Filters darstellt. Durch die Wahl der Gewichte können beim Entwurf Schwerpunkte auf verschiedene Eigenschaften des Filters gelegt werden. Weil sich die Gesamtfehlerfunktion additiv aus komplexen Teilfehlerfunktionen zusammensetzt, ist zu erwarten, daß das korrespondierende Gütegebirge viele Maxima und Minima aufweist, („multimodales Gütegebirge“). Aus diesem Grund bietet sich für dieses Optimierungsproblem die Verwendung von Evolutionsstrategien an, weil sie mit höherer Wahrscheinlichkeit als herkömmliche Optimierungsverfahren das globale Optimum eines multimodalen Gütegebirges erreichen. 3.1. Eindimensionale FIR-Filter Wie schon zuvor diskutiert, unterliegen Filter, die eine für Bildsignale optimale Signalformung vornehmen sollen, Toleranzvorschriften sowohl im Frequenzbereich als auch im Orts- (bzw. Zeit-) Bereich. Es ergibt sich eine allgemeine Fehlerfunktion, die im Sinne einer optimalen Approximation minimiert werden soll Etotal = EFreq( Θx , Θ y ) + EOrt ( x, y ). (2) |H(f)| ➞ 4 3 2 1 0 -0,2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 −4 −2 0 2 4 f/f s ➞ n ➞ Bild 8. Frequenzgang |H(f)| und Sprungantwort g s (n) eines FIR-Filters mit Zufallskoeffizienten (L=11 Filterkoeffizienten) Dabei stellt sich heraus, daß beide Fehleranteile nicht unabhängig voneinander sind. Bei linearen Systemen bedeutet das, daß zum Beispiel eine stärkere Bandbegrenzung des Frequenzgangs eine Ausdehnung in der Impulsantwort (und umgekehrt) bewirkt. Es liegt hier also ein nichtlineares komplexes Approximationsproblem vor. Die Technik der Evolutionsstrategien gestattet auf der Basis einer wohldefinierten Fehlerfunktion eine Optimierung des vorliegenden nichtlinearen mehrdimensionalen Problems. Es wird eine zusammengesetzte Fehlerfunktion zur Lösung des Entwurfsproblems auf der Basis einer Summe von mit λ i gewichteten Teilfehlerfunktionen E i gebildet I Etotal = ∑ λ i ⋅Ei . (3) i= 1 Mit diesen Teilfehlerfunktionen werden Entwürfe für 1D-FIR-Filter durchgeführt. Bei einer Optimierung eines linearphasigen 1D-FIR-Filters mit L Filterkoeffizienten können W = L + 1⎥ ⎣ ⎢ ⎢ ⎦ ⎥ Filterkoeffizienten frei gewählt werden, was bedeu- 2 tet, daß es sich um eine Optimierung in einem W-dimensionalen Parameterraum handelt. 3.1.1. Teilfehlerfunktionen a) Teilfehlerfunktionen im Frequenzbereich • Abweichung vom Sollfrequenzgang, • Flankensteilheit im Frequenzbereich, • Gleichverstärkungsabweichung, • Abweichung bei der Grenzfrequenz. b) Teilfehlerfunktionen im Ortsbereich • Betragsabweichung des ersten Überschwingers, • Positionsabweichung des ersten Überschwingers, g s (n) ➞ 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 • Größe weiterer Überschwinger, • Flankensteilheit der Sprungantwort. c) Teilfehlerfunktion bezüglich des Implementierungsaufwands • Summe der „1“-Bits der Filterkoeffizienten. 3.1.2. Minimierung der Fehlerfunktion durch eine Evolutionsstrategie Die Approximationsqualität bezüglich der Anforderungen an ein Videosignalfilter ist nach Gl. (2) durch die gewichtete Summe der Teilfehlerfunktionen gegeben. Die Minimierung der Gesamtfehlerfunktion ist analytisch nicht möglich, da das W-dimensionale Optimierungsproblem nichtlinear ist. Ein erster Schritt bei einer Verwendung von Evolutionsstrategien ist, die Stabilität des Optimierungsvorgangs zu überprüfen. Hierzu werden Optimierungsläufe von willkürlich gewählten (schlechten) Initialwerten aus gestartet und die Ergebnisse mit Lösungen von Standardverfahren verglichen. Ergeben sich bei diesen Optimierungsläufen jeweils sinnvolle Ergebnisse, so ist dies ein Hinweis auf die Stabilität des Optimierungsprozesses. Beim 1D-Filterentwurf wurden daher zum Beispiel Zufallskoeffizienten als Startparameter gewählt. Das sich aus diesen Initialwerten ergebende Filter hat Eigenschaften, die in keiner Weise die Vorgaben erfüllen (Bild 8), so daß beim Optimierungsvorgang große Distanzen im Parameterraum überwunden werden müssen. Als weitere Initial-Parametersätze wurden die Koeffizienten eines reinen Mittelwertfilters sowie die mittels eines Kaiserfenster-Entwurfes erhaltene Parameter verwendet, die Nebenoptima im Parameterraum darstellen. FERNSEH- UND KINO-TECHNIK 52. 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