Blatt 2 - M1

TU München
Lehrstuhl Mathematische Optimierung
Prof. Dr. M. Ulbrich
Dipl.-Math. F. Kruse
Wintersemester 2008/2009
Blatt 2
Übungen zu Grundlagen der Nichtlinearen Optimierung
Präsenzaufgaben
P4. Lokale Minima sind global für konvexe Funktionen (ca. 4 Punkte)
(a) Sei f : X → R konvex auf der konvexen Menge X. Zeigen Sie, dass jedes lokale Minimum
ein globales Minimum ist. Nehmen Sie dazu an, dass es ein lokales Minimum
x ∗ ∈ X gäbe, das kein globales Minimum ist. Dann gibt es einen Punkt x ∈ X mit
f(x) < f(x ∗ ). Betrachten Sie die Verbindungsstrecke von x ∗ nach x.
(b) Sei nun f sogar streng konvex. Nach (a) ist jedes lokale Minimum von f bereits
globales Minimum. Zeigen Sie, dass es höchstens ein solches Minimum geben kann.
Dabei können Sie ähnlich zu (a) vorgehen.
(Anders formuliert ist damit gezeigt: Streng konvexe Funktion besitzen höchstens ein
lokales Minimum und dieses ist global.)
(c) Besitzt jede streng konvexe Funktion ein (lokales=globales) Minimum
P5. Notwendige Bedingung ist hinreichend für konvexe C 1 -Funktionen (ca. 1 Punkt)
Sei f : X → R konvex und stetig differenzierbar auf der offenen, konvexen Menge X. Es
sei x ∗ ∈ X ein stationärer Punkt. Zeigen Sie unter Benutzung der Charakterisierung von f
aus Aufgabe H2 a), dass x ∗ ein globales Minimum von f auf X ist.
(Das bedeutet: Im konvexen, stetig differenzierbaren Fall ist die für das Vorliegen eines
lokalen Minimums notwendige Bedingung der Stationarität bereits hinreichend und das
Minimum ist global.)
Tutoraufgaben
T2. Quadratische Funktionen (ca. 5 Punkte)
Eine quadratische Funktion sei durch
q : R n → R, q(x) := 1 2 xT Ax + b T x + c
gegeben, mit einer quadratischen Matrix A ∈ R n×n , b ∈ R n und c ∈ R.
(a) Zeigen Sie: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann davon ausgegangen werden,
dass A symmetrisch ist.
(b) Zeigen Sie, dass für den Gradienten ∇q(x) = Ax + b und für die Hessematrix
∇ 2 q(x) = A gilt.
(c) Sei A positiv definit und x ∗ := −A −1 b. Zeigen Sie, dass x ∗ das globale Minimum
von q ist.
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T3. Fehlende Abstiegsrichtungen (ca. 6 Punkte)
Sei
f : R 2 → R, f(x, y) := y 2 − 3yx 2 + 2x 4 .
(a) Berechnen Sie die stationären Punkte von f.
(b) Ausgehend von (0, 0) steigt die Funktion in jede Richtung an: Durch α d (t) := td mit
d ∈ R 2 \{0} ist eine Gerade durch (0, 0) und d gegeben. Zeigen Sie, dass für jedes
α d die Funktion φ d (t) := f(α d (t)) nach unten beschränkt ist und ein striktes lokales
Minimum bei t = 0 hat.
(c) Ist der Punkt (0, 0) ein lokales Minimum von f
Hausaufgaben
H4. Positive Vielfache und Summen konvexer Funktionen (ca. 3 Punkte)
(a) Es sei f : X → R eine (streng) konvexe Funktion auf der konvexen Menge X. Zeigen
Sie, dass für c > 0 auch ˜f(x) := cf(x) (streng) konvex ist.
(b) Es seien f 1 , . . . , f n : X → R konvexe Funktionen auf der konvexen Menge X. Zeigen
Sie, dass dann auch die Funktion g(x) := ∑ n
i=1 f i(x) konvex ist. Zeigen Sie weiter,
dass g sogar streng konvex ist, wenn mindestens einer der Summanden streng konvex
ist.
(c) Die quadrierte euklidische Norm lässt sich durch g(x) := x 2 1 + x2 2 + . . . + x2 n im Fall
n ≥ 2 als Summe ausdrücken. Aus Aufgabe P3 (e) wissen Sie, dass g streng konvex
ist. Lässt sich die strenge Konvexität für n ≥ 2 auch direkt aus Teil (b) folgern
H5. Lineare Ausgleichsrechnung (ca. 7 Punkte)
Seien A ∈ R m×n mit m ≥ n und b ∈ R m . Die Matrix A besitze vollen Spaltenrang.
(a) Zeigen Sie: x ∗ löst genau dann die lineare Ausgleichsaufgabe
wenn x ∗ Lösung des linearen Gleichungssystems
min ‖Ax − b‖ 2, (1)
x∈R n
A T Ax = A T b (2)
ist. Das lineare Gleichungssystem (2) bezeichnet man als Normalengleichung.
(b) Beweisen Sie, dass es genau ein x ∗ ∈ R n gibt, das die lineare Ausgleichsaufgabe (1)
bzw. die Normalengleichung (2) löst. (Existenz und Eindeutigkeit)
Bemerkung: Insgesamt haben Sie damit eine starke Aussage bewiesen: Existenz und
Eindeutigkeit der Lösung sowie eine numerische Charakterisierung.
(c) Ist die Bedingung des vollen Spaltenranges von A notwendig für die Eindeutigkeit der
Lösung
H6. Modellierung (ca. 5 Punkte)
Eine Firma, die sich auf die Herstellung von Saftmischungen spezialisiert hat, möchte einem
Unternehmen ein Angebot für die Versorgung seiner Kantine machen. Die Firma verwendet
eine Skala von 1 bis 10 zur Erfassung der Qualität des Saftes. Es ist bekannt, dass
die Kantinensäfte des Unternehmens eine Qualität von höchstens 4 aufweisen und 1,50 Euro
pro Liter kosten.
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Die Lieferfirma möchte dem Unternehmen ein Angebot über eine Saftmischung machen,
dessen Qualität mindestens so hoch ist wie die des besten Kantinensaftes. Natürlich möchte
die Firma das Getränk so kostengünstig wie möglich herstellen.
Zur Herstellung des Saftes stehen der Firma einige ”
Grundsaftsorten“ als Zutaten zur Verfügung.
Zur Auswahl stehen:
Saftsorte Qualität Kosten pro l
Apfel 4 1,5
Birne 9 3
Maracuja 3 1
Orange 1 0,1
Die Eigenschaften einer Saftmischung, so wird angenommen, ergeben sich aus denen der
prozentual gewichteten Bestandteile. Beispielsweise hat eine Mischung, die zur Hälfte aus
Birnen- und zur Hälfte aus Maracujasaft besteht, die Qualität 6 und Kosten von 2 Euro pro
Liter.
(a) Formulieren Sie die angegebene Problemstellung als Optimierungsaufgabe.
(b) Bringen Sie das in (a) ermittelte Optimierungsproblem in die Standardform, d.h. in
die Form min f(x) u.d.N. g(x) ≤ 0, h(x) = 0 mit geeigneten Funktionen f, g und h.
(c) Ist das Optimierungsproblem linear
H7. Minima gleichmäßig konvexer C 1 -Funktionen (ca. 8 Punkte)
Sei f : R n → R stetig differenzierbar und y ∈ R n ein Punkt so, dass f gleichmäßig konvex
auf der Niveaumenge
N(y) := {x ∈ R n : f(x) ≤ f(y)}
ist. N(y) sei dabei als konvex vorausgesetzt.
(a) Zeigen Sie zunächst, dass konvexe Funktionen konvexe Niveaumengen haben und
geben Sie ein Beispiel dafür an, dass die Umkehrung dieser Aussage nicht gilt. (Insbesondere
ist also N(y) konvex, falls f auf dem gesamten R n konvex ist.)
(b) Zeigen Sie, dass N(y) kompakt ist.
(c) Folgern Sie, dass die Funktion f ein globales Minimum besitzt.
(d) Nun sei f stetig differenzierbar und gleichmäßig konvex auf dem gesamten R n . Folgern
Sie mit P4, dass für f die Begriffe lokales Minimum und globales Minimum
übereinstimmen, dass es höchstens ein (lokales=globales) Minimum x ∗ gibt (Eindeutigkeit),
und dass ein solches Minimum tatsächlich existiert (Existenz). Folgern Sie
außerdem mit P5, dass x ∗ eindeutig charakterisiert ist als Lösung des Gleichungssystems
∇f(x) = 0.
Bemerkung: Auch hier haben Sie ein starkes Resultat bewiesen: Existenz- und Eindeutigkeitsaussage
sowie eindeutige numerische Charakterisierung für das lokale und
globale Minimum einer gleichmäßig konvexen Funktion.
Abgabe der Hausaufgaben: Dienstag, 11.11.08 (Gruppen 1-4) bzw. 18.11.08 (Gruppen 5-7)
bis 12 Uhr im Briefkasten Grundlagen der Nichtlinearen Optimierung im Untergeschoss.
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