2. Nichtlineare Optimierung: Grundlagen (WS 2011/12) - M1

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Optimierung, M1
Prof. Dr. Michael Ulbrich
Dipl.-Math. Florian Lindemann
2. Nichtlineare Optimierung: Grundlagen (WS 2011/12)
Aufgabe 2.2 (Fehlende Abstiegsrichtungen):
In dieser Aufgabe wurde die Funktion
(ca. 6 Punkte)
f : R 2 → R mit f(x, y) := y 2 − 3yx 2 + 2x 4 .
betrachtet. Wer Interesse an eine Visualisierung dieser Funktion hat, kann dies recht einfach mit
Matlab realisieren:
x = -0.5:0.01:0.5;
y = x;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
Z = Y. ∧ 2 - 3*Y.*X. ∧ 2 + 2*X. ∧ 4;
surf(X,Y,Z);
hold on;
betaX = 0:0.01:0.5;
betaY = 1.5*betaX. ∧ 2;
betaZ = -betaX. ∧ 4/4;
plot3(betaX,betaY,betaZ);
Aufgabe 2.3 (Folgen und zugehörige Funktionswertfolgen):
(ca. 8 Punkte)
Es sei eine Folge (x k ) k∈N ⊂ R n gegeben sowie eine stetige Funktion f : R n → R. Entscheiden Sie,
ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind, und geben Sie einen kurzen Beweis an:
a) Sei x ∗ ∈ R n . Dann gilt
b) Sei x ∗ ∈ R n . Dann gilt
lim
k→∞ xk = x ∗ ⇒ lim
k→∞ f(xk ) = f(x ∗ ).
lim
k→∞ f(xk ) = f(x ∗ ) ⇒ lim
k→∞ xk = x ∗ .
c) Sei x ∗ ∈ R n ein striktes globales Minimum und es gebe keine weiteren lokalen Minima. Dann
gilt
lim
k→∞ f(xk ) = f(x ∗ ) ⇒ lim
k→∞ xk = x ∗ .
d) Sei x ∗ ∈ R n ein globales Minimum, so dass für jede Folge (y k ) ⊂ R n mit f(y k ) → f(x ∗ ) gilt
lim k→∞ y k = x ∗ . Dann ist x ∗ ein striktes globales Minimum.
e) Sei (f(x k )) k∈N eine monoton fallende Folge und x ∗ ein Häufungspunkt von (x k ) k∈N . Dann
konvergiert (f(x k )) k∈N gegen f(x ∗ ).
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f) Sei (f(x k )) k∈N eine monoton fallende Folge und x ∗ ein Häufungspunkt von (x k ) k∈N . Dann
konvergiert (x k ) k∈N gegen x ∗ .
g) Die Niveaumenge N f (x 0 ) sei beschränkt. Dann besitzt (x k ) k∈N einen Häufungspunkt.
h) Die Niveaumenge N f (x 0 ) sei beschränkt und (f(x k )) k∈N eine monoton fallende Folge. Dann
besitzt (x k ) k∈N einen Häufungspunkt und es existiert ein f ∗ ∈ R mit lim k→∞ f(x k ) = f ∗ .
Lösung 2.3:
a) WAHR: Folgt direkt aus der Stetigkeit der Funktion f.
b) FALSCH: Man nehme z.B. folgendes Gegenbeispiel: Sei f : R → R konstant, also f(x) := c
mit Konstante c ∈ R und x k := (−1) k . Dann gilt offensichtlich lim k→∞ f(x k ) = c = f(x 0 ),
aber (x k ) konvergiert nicht.
c) FALSCH: Man nehme bspw. eine Funktion f : R → R, welche nach dem striktem globalen
Minimum ein lokales Maximum hat und sich danach für x → ∞ asmptotisch gegen f(x ∗ )
von oben anschmiegt ohne f(x ∗ ) zu erreichen, z.B.
{
(x + 1)
2
falls x < 0
f(x) :=
e −x sonst
d) WAHR: Sei ¯x ∈ R n ein Punkt mit f(¯x) = f(x ∗ ), dann gilt mit der konstanten Folge (x k ) ≡ ¯x:
f(x k ) → f(¯x). Aus der Voraussetzung folgt nun lim k→∞ x k = ¯x = x ∗ und damit die Aussage.
e) WAHR: Da (f(x k )) k∈N monoton fällt, konvergiert sie uneigentlich gegen einen Grenzwert
f ∗ ∈ R ∪ {−∞}. Da x ∗ ein HP ist, gibt es eine gegen x ∗ konvergente Teilfolge (x k ) k∈K
(K ⊂ N) und wegen der Stetigkeit konvergiert auch die Folge der Funktionswerte (f(x k )) k∈K
gegen φ := f(x ∗ ) ∈ R. Da es sich um eine Teilfolge einer monoton fallenden Folge handelt,
konvergiert auch die ganze Folge und es gilt f ∗ = φ = f(x ∗ ).
f) FALSCH: Betrachte f : R → R, f(x) := 0 und x k := (−1) k . Auch streng monotone Beispiele
gibt es: Für f : R → R, f(x) := |x| und x k := (−1) k (1 + 1 k ) gilt f(xk ) = 1 + 1 k
. Die Folge
(f(x k )) ist offensichtlich streng monoton fallend, die Folge (x k ) ist aber nicht konvergent.
g) FALSCH: Betrachte f : R → R, f(x) = |x|. Dann ist die Niveaumenge für beliebige x 0 ∈ R n
kompakt. Für eine beliebige Folge (x k ) ohne Häufungspunkt lässt sich das Gegenbeispiel
vervollständigen.
h) WAHR: Da die Niveaumenge beschränkt ist, ist sie auch kompakt. Da (x k ) komplett in der
Niveaumenge liegt, gibt es also einen Häufungspunkt. Mit e) folgt der Rest.
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