Aufgabe 1 (ca. 14 Punkte) Seite 3 Gegeben sei das ... - M1

Aufgabe 1 (ca. 14 Punkte)
I
II
Seite 3
Gegeben sei das gleichungsrestringierte Problem
min f(x) := −x 1x 2
x∈R 2 2 u. d. N. h(x) := x 2 1 + x 2 2 − 1 = 0. (P1)
Es bezeichne X := {x ∈ R 2 : h(x) = 0} den zulässigen Bereich.
a) Begründen Sie kurz, dass (P1) eine globale Lösung besitzt.
b) Ist (P1) konvex (Hier genügt „ja“ oder „nein“ als Antwort!)
c) Zeigen Sie, dass für alle x ∈ X eine CQ gilt und für alle (x, µ) ∈ X × R auch die CQ2 erfüllt ist.

Fortsetzung von Aufgabe 1 Seite 4
d) Es sei x = (x 1 , x 2 ) T ∈ R 2 . Geben Sie die KKT-Bedingungen für (P1) im Punkt x konkret an.
e) Überprüfen Sie, dass der Punkt ¯x := (√ 1
, √ ) T √
2
3 3 mit dem Multiplikator ¯µ := 1
3
von (P1) bildet.
ein KKT-Paar
f) Wir setzen K := {(d 1 , d 2 ) T ∈ R 2 : d 1 = − √ 2d 2 }. Rechnen Sie nach, dass T l (h, ¯x) = K gilt.

Fortsetzung von Aufgabe 1 Seite 5
g) Geben Sie mit kurzer Begründung den Tangentialkegel T(X, ¯x) an.
h) Man kann nachrechnen, dass d T ∇ 2 xxL(¯x, ¯µ)d > 0 ∀d ∈ K \ {0} gilt.
Begründen Sie, dass ¯x ein lokales Minimum von (P1) ist.

Aufgabe 2 (ca. 12,5 Punkte)
I
II
Seite 6
Wir betrachten das Optimierungsproblem
min f(x) := x
x∈R 2 1 + 1 (
x
2
2 2 − x1)
2
u. d. N. g 1 (x) := x 2 1 − 1 ≤ 0, g 2 (x) := x 2 2 − 1 ≤ 0. (P2)
a) Die Nebenbedingungen von (P2) sind konvex, daher gilt in jedem zulässigen Punkt eine CQ, wenn
die Slater-Bedingung erfüllt ist. (Das brauchen Sie nicht zu beweisen!)
Zeigen Sie, dass die Nebenbedingungen von (P2) der Slater-Bedingung genügen.
b) Ist (P2) konvex (Hier genügt „ja“ oder „nein“!)
c) Geben Sie unter Verwendung des (·) + -Operators die l 1 -Penaltyfunktion P 1 α, α > 0, für (P2) konkret
an.
d) Geben Sie P 1 1/2 (x) für alle x = (x 1, x 2 ) T mit x 1 < −1 und x 2 ∈ [−1, 1] an und vereinfachen Sie
soweit wie möglich.

Fortsetzung von Aufgabe 2 Seite 7
e) Ist das l 1 -Penaltyteilproblem für α = 1 2
global lösbar (Hier genügt „ja“ oder „nein“!)
Im Folgenden betrachten wir das lokale SQP-Verfahren mit der Wahl H k := ∇ 2 xxL(x k , λ k ) für alle k.
f) Geben Sie das SQP-Teilproblem für (P2) zum Startpunkt x 0 := (1, 0) T und λ 0 := (1, 0) T konkret
an.

Fortsetzung von Aufgabe 2 Seite 8

Aufgabe 3 (ca. 9 Punkte)
I
II
Seite 9
Kreuzen Sie die richtige Antwort an! Der Rechenweg wird in dieser Aufgabe nicht bewertet!
Pro falsch/nicht/richtig angekreuztem Kästchen gibt es -1/0/1 Punkte.
Im Falle einer negativen Gesamtpunktzahl wird diese Aufgabe mit null Punkten bewertet.
In der gesamten Aufgabe seien f : R n → R, g : R n → R m und h : R n → R p zweimal stetig differenzierbare
Funktionen. Betrachtet wird stets das Optimierungsproblem
mit zulässigem Bereich X := {x ∈ R n : g(x) ≤ 0, h(x) = 0}.
min f(x) u. d. N. x ∈ X (P3)
a) Der linearisierte Tangentialkegel ist ein nichtleerer, abgeschlossener und konvexer Kegel.
wahr □ falsch □
b) Es sei ¯x ∈ X ein innerer Punkt von X. Dann gilt:
Die Bedingung ∇f(¯x) T d ≥ 0 ∀d ∈ T(X, ¯x) ist genau dann erfüllt, wenn ∇f(¯x) = 0 gilt.
wahr □ falsch □
c) f sei konvex und g und h seien affin-linear. Dann gilt für ¯x ∈ X:
¯x ist genau dann ein globales Minimum von (P3), wenn ¯x ein KKT-Punkt von (P3) ist.
wahr □ falsch □
d) Es sei x ∈ X mit g(x) < 0 und λ ∈ R m mit λ ≥ 0. Dann gilt T l (g, h, x) = T + (g, h, x, λ).
wahr □ falsch □
e) Es sei x ∈ X ein regulärer Punkt. Dann gelten in x die notwendigen Optimalitätsbedingungen
zweiter Ordnung.
wahr □ falsch □
f) (P3) sei konvex und zusätzlich sei für ein i ∈ {1, . . . , m} die Funktion g i : R n → R strikt konvex.
Dann ist die quadratische Penaltyfunktion strikt konvex auf R n . wahr □ falsch □
g) (P3) sei konvex und ¯x ∈ X ein lokales Minimum, in dem eine CQ gelte. Dann ist die l 1 -
Penaltyfunktion Pα 1 für hinreichend große α exakt in ¯x.
wahr □ falsch □
h) Wir betrachten das lokale SQP-Verfahren. Dann gilt:
Der Vektor d = 0 ist genau dann zulässig für das zur aktuellen Iterierten (x k , λ k , µ k ) gehörige
SQP-Teilproblem, wenn x k ein zulässiger Punkt von (P3) ist.
wahr □ falsch □
i) Sowohl bei Penaltyverfahren als auch beim globalisierten SQP-Verfahren können Teilprobleme
auftreten, die keine globale Lösung besitzen.
wahr □ falsch □
Platz für Nebenrechnungen:

Fortsetzung von Aufgabe 3 Seite 10

Aufgabe 4 (ca. 4,5 Punkte)
I
II
Seite 11
Wir betrachten das Optimierungsproblem
min f(x) u. d. N. h(x) = 0 (P4)
x∈Rn mit stetig differenzierbaren Funktionen f : R n → R und h : R n → R p sowie zulässigem Bereich
X := {x ∈ R n : h(x) = 0}. Es sei ¯x ∈ X ein regulärer Punkt.
a) Begründen Sie, dass die Vektoren ∇h i (¯x), i = 1, . . . , p, linear unabhängig sind.
b) Zeigen Sie unter Benutzung von a), dass die Lagrange-Multiplikatoren zu ¯x eindeutig sind, d. h.
für zwei KKT-Paare (¯x, ¯µ) und (¯x, µ ∗ ) von (P4) gilt ¯µ = µ ∗ .

Zusammenfassung Seite 13
Aufgabe 1
Gegeben sei das gleichungsrestringierte Problem
min f(x) := −x 1x 2
x∈R 2 2 u. d. N. h(x) := x 2 1 + x 2 2 − 1 = 0. (P1)
Es bezeichne X := {x ∈ R 2 : h(x) = 0} den zulässigen Bereich.
a) Begründen Sie kurz, dass (P1) eine globale Lösung besitzt.
b) Ist (P1) konvex (Hier genügt „ja“ oder „nein“ als Antwort!)
c) Zeigen Sie, dass für alle x ∈ X eine CQ gilt und für alle (x, µ) ∈ X × R auch die CQ2 erfüllt ist.
d) Es sei x = (x 1 , x 2 ) T ∈ R 2 . Geben Sie die KKT-Bedingungen für (P1) im Punkt x konkret an.
(√ √ ) T √
1
e) Überprüfen Sie, dass der Punkt ¯x :=
3 , 2
3 mit dem Multiplikator ¯µ :=
1
3
ein KKT-Paar von (P1) bildet.
f) Wir setzen K := {(d 1 , d 2 ) T ∈ R 2 : d 1 = − √ 2d 2 }. Rechnen Sie nach, dass T l (h, ¯x) = K gilt.
g) Geben Sie mit kurzer Begründung den Tangentialkegel T(X, ¯x) an.
h) Man kann nachrechnen, dass d T ∇ 2 xxL(¯x, ¯µ)d > 0 ∀d ∈ K \ {0} gilt.
Begründen Sie, dass ¯x ein lokales Minimum von (P1) ist.
Aufgabe 2
Wir betrachten das Optimierungsproblem
min f(x) := x 1 + 1 (
x
2
x∈R 2 2 2 − x 2 1)
u. d. N. g 1 (x) := x 2 1 − 1 ≤ 0, g 2 (x) := x 2 2 − 1 ≤ 0. (P2)
a) Die Nebenbedingungen von (P2) sind konvex, daher gilt in jedem zulässigen Punkt eine CQ, wenn die Slater-
Bedingung erfüllt ist. (Das brauchen Sie nicht zu beweisen!)
Zeigen Sie, dass die Nebenbedingungen von (P2) der Slater-Bedingung genügen.
b) Ist (P2) konvex (Hier genügt „ja“ oder „nein“!)
c) Geben Sie unter Verwendung des (·) + -Operators die l 1 -Penaltyfunktion P 1 α, α > 0, für (P2) konkret an.
d) Geben Sie P 1 1/2 (x) für alle x = (x 1, x 2 ) T mit x 1 < −1 und x 2 ∈ [−1, 1] an und vereinfachen Sie soweit wie möglich.
e) Ist das l 1 -Penaltyteilproblem für α = 1 2
global lösbar (Hier genügt „ja“ oder „nein“!)
Im Folgenden betrachten wir das lokale SQP-Verfahren mit der Wahl H k := ∇ 2 xxL(x k , λ k ) für alle k.
f) Geben Sie das SQP-Teilproblem für (P2) zum Startpunkt x 0 := (1, 0) T und λ 0 := (1, 0) T konkret an.
Aufgabe 3
Kreuzen Sie die richtige Antwort an! Der Rechenweg wird in dieser Aufgabe nicht bewertet!
Pro falsch/nicht/richtig angekreuztem Kästchen gibt es -1/0/1 Punkte.
Im Falle einer negativen Gesamtpunktzahl wird diese Aufgabe mit null Punkten bewertet.
In der gesamten Aufgabe seien f : R n → R, g : R n → R m und h : R n → R p zweimal stetig differenzierbare Funktionen.
Betrachtet wird stets das Optimierungsproblem
mit zulässigem Bereich X := {x ∈ R n : g(x) ≤ 0, h(x) = 0}.
min f(x) u. d. N. x ∈ X (P3)
a) Der linearisierte Tangentialkegel ist ein nichtleerer, abgeschlossener und konvexer Kegel.
b) Es sei ¯x ∈ X ein innerer Punkt von X. Dann gilt:
Die Bedingung ∇f(¯x) T d ≥ 0 ∀d ∈ T(X, ¯x) ist genau dann erfüllt, wenn ∇f(¯x) = 0 gilt.
c) f sei konvex und g und h seien affin-linear. Dann gilt für ¯x ∈ X:
¯x ist genau dann ein globales Minimum von (P3), wenn ¯x ein KKT-Punkt von (P3) ist.

d) Es sei x ∈ X mit g(x) < 0 und λ ∈ R m mit λ ≥ 0. Dann gilt T l (g, h, x) = T + (g, h, x, λ).
e) Es sei x ∈ X ein regulärer Punkt. Dann gelten in x die notwendigen Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung.
f) (P3) sei konvex und zusätzlich sei für ein i ∈ {1, . . . , m} die Funktion g i : R n → R strikt konvex. Dann ist die
quadratische Penaltyfunktion strikt konvex auf R n .
g) (P3) sei konvex und ¯x ∈ X ein lokales Minimum, in dem eine CQ gelte. Dann ist die l 1 -Penaltyfunktion P 1 α für
hinreichend große α exakt in ¯x.
h) Wir betrachten das lokale SQP-Verfahren. Dann gilt:
Der Vektor d = 0 ist genau dann zulässig für das zur aktuellen Iterierten (x k , λ k , µ k ) gehörige SQP-Teilproblem,
wenn x k ein zulässiger Punkt von (P3) ist.
i) Sowohl bei Penaltyverfahren als auch beim globalisierten SQP-Verfahren können Teilprobleme auftreten, die keine
globale Lösung besitzen.
Aufgabe 4
Wir betrachten das Optimierungsproblem
min f(x) u. d. N. h(x) = 0 (P4)
x∈Rn mit stetig differenzierbaren Funktionen f : R n → R und h : R n → R p sowie zulässigem Bereich X := {x ∈ R n : h(x) = 0}.
Es sei ¯x ∈ X ein regulärer Punkt.
a) Begründen Sie, dass die Vektoren ∇h i (¯x), i = 1, . . . , p, linear unabhängig sind.
b) Zeigen Sie unter Benutzung von a), dass die Lagrange-Multiplikatoren zu ¯x eindeutig sind, d. h. für zwei KKT-Paare
(¯x, ¯µ) und (¯x, µ ∗ ) von (P4) gilt ¯µ = µ ∗ .