Modern Methods in Nonlinear Optimization (Optimierung mit ... - M1

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Optimierung, M1
Prof. Dr. Michael Ulbrich
Dipl.-Math. Christian Böhm Sommersemester 2013
Modern Methods in Nonlinear Optimization
(Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen)
Übungsblatt 4
Aufgabe 4.1 (Adjungierte und Berechnung von Ableitungen):
Man betrachte nochmals Beispiel 3.4 aus der Vorlesung:
min
(y,u)∈Y ×U J(y, u) := 1 2 ‖y − y d‖ 2 L 2 (Ω) + α 2 ‖u‖2 L 2 (∂Ω)
s.t. ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
−∆y + y 3 = 0 in Ω,
∂y
∂ν + y = u
a ≤ u ≤ b
auf ∂Ω,
auf ∂Ω,
mit Ω ⊂ R n , (n = 2, 3) offen, beschränkt und mit Lipschitz-Rand, y d ∈ L 2 (Ω) Y = H 1 (Ω),
a, b ∈ L 2 (∂Ω) mit a ≤ b, U = L 2 (∂Ω) und U ad = {u ∈ U : a ≤ u ≤ b}.
Die schwache Formulierung der Zustandsgleichung ist gegeben durch e(y, u) = 0 mit
e : Y × U → Y ∗ ,
〈e(y, u), v〉 Y ∗ ,Y = (∇y, ∇v) L 2 (Ω) n + (y3 , v) L 2 (Ω) + (y − u, v) L 2 (∂Ω).
(a) Zeigen Sie, dass F : L 6 (Ω) → L 2 (Ω),
bestimmen Sie die Ableitung.
y ↦→ y 3 stetig Fréchet-differenzierbar ist und
(b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von J und e und begründen Sie, dass der Operator
e y (y, u) stetig invertierbar ist.
(c) Leiten Sie die linearisierte Zustandsgleichung und die adjungierte Gleichung in schwacher
und starker Form her.
(d) Geben Sie die Adjungierten-Darstellung der Ableitung der reduzierten Zielfunktion an.
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Aufgabe 4.2 (Optimale Steuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen):
Gegeben sei das Optimalsteuerungsproblem
∫ T
min J(y, u) := g(t, y(t), u(t)) dt + h(y(T ))
(y,u)∈Y ×U 0
s.t.
(P)
y ′ (t) = f(t, y(t), u(t)) a.e. in [0, T ], y(0) = y 0 ,
mit T > 0, n y , n u ∈ N, n y , n u ≥ 1, Y = W 1,∞ ([0, T ], R ny ), U = L ∞ ([0, T ], R nu ), y 0 ∈ R ny und
Fréchet-differenzierbaren Funktionen f : [0, T ] × R ny × R nu → R ny , g : [0, T ] × R ny × R nu → R
und h : R ny → R
(a) Geben Sie die Lagrange-Funktion L : Y × U × Y × R ny → R für Problem (P) an. Nutzen
Sie dabei die Lagrange-Multiplikatoren λ ∈ Y für die ODE-Nebenbedingung und λ 0 ∈ R ny
für die Anfangsbedingung.
(b) Bestimmen Sie die adjungierte Gleichung für den adjungierten Zustand λ = λ(u) ∈
W 1,∞ ([0, T ], R ny ). Stellen Sie dazu zunächst die variationelle Form von
L y (y(u), u, λ(u), λ 0 ) = 0
explizit auf und leiten Sie daraus anschließend durch partielle Integration eine gewöhnliche
Differentialgleichung für den adjungierten Zustand her. Sie können dabei ohne Beweis
verwenden, dass der adjungierte Zustand in W 1,∞ ([0, T ], R ny ) existiert.
(c) Zur Herleitung der notwendigen Optimalitätsbedingungen wird in der Regelungstechnik
häufig anstelle der Lagrange-Funktion die Hamilton-Funktion verwendet, die durch
H(t, y(t), u(t), λ(t)) := g(t, y(t), u(t)) + λ(t) T f(t, y(t), u(t)),
definiert ist. Die notwendigen Optimalitätsbedingungen lassen sich dann in folgender Form
schreiben: Sei (y ∗ , u ∗ ) ∈ Y × U ein lokales Minimum von (P). Dann existiert ein λ ∈ Y mit
H u (t, y ∗ (t), u ∗ (t), λ(t)) = 0 a.e. in [0, T ], (Optimalitäts-Bedingung)
H y (t, y ∗ (t), u ∗ (t), λ(t)) T = −λ ′ (t) a.e. in [0, T ], (adjungierte Gleichung)
λ(T ) = (h y (y ∗ (T ))) T .
Betrachten Sie für n y = n u = 1 das Beispiel
∫ 2
min J(y, u) := y(t) + 1
(y,u)∈Y ×U 2 u2 (t) dt
0
(Transversalitäts-Bedingung)
s.t. y ′ (t) = y(t) + u(t) a.e. in [0, 2], y(0) = 1 2 e2 − 1.
Berechnen Sie mit Hilfe der Optimalitätsbedingungen die optimale Kontrolle und den
zugehörigen optimalen Zustand.
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