Blatt 1 - M1 - TUM

Zentrum Mathematik
Technische Universitat Munchen
Prof. Dr. Michael Ulbrich
Dr. Moritz Simon
Sommersemester 2011
Ubungsblatt 1
Nichtglatte Optimierung
1. Exakte Penalty-Funktion: Gegeben sei das Optimierungsproblem
min f(x) u.d.N. x ∈ X ⊛
mit einer stetig dierenzierbaren Zielfunktion f : R n → R und zulassigem Bereich
X ⊂ R n . Wir betrachten eine allgemeine Penalty-Funktion der Form
P r,α (x) := f(x) + αr(x) ∀ x ∈ R n ,
wo r : R n → R + := [0, ∞) stetig sei mit der Eigenschaft X = {x ∈ R n | r(x) = 0}.
Die Penalty-Funktion P r,α heit exakt in einer lokalen Losung x ∗ von ⊛, falls es
ein β > 0 derart gibt, dass x ∗ lokales Minimum von P r,α ist fur alle α ≥ β.
Zeigen Sie: Ist x ∗ eine lokale Losung von ⊛ mit ∇f(x ∗ ) ≠ 0 und ist P r,α exakt in
x ∗ , so kann die Funktion r in x ∗ nicht dierenzierbar sein.
2. Nash-Gleichgewicht vs NCP(F): Wir betrachten n Unternehmen, die alle das
gleiche Produkt herstellen. Fur i = 1, . . . , n bezeichne x i die jeweils produzierte
Menge und c i (x i ) die dabei auftretenden Produktionskosten. Weiter sei p(y) der
Stuckpreis, der auf dem Markt erzielt wird, wenn die Unternehmen insgesamt die
Produktion y = ∑ i x i erreichen. Folglich ist g i (x) := x i p(y) − c i (x i ) der Gewinn
des i-ten Unternehmens mit x = (x 1 , . . . , x n ) T .
Als Nash-Gleichgewicht wird nun ein Vektor x ∗ ∈ R n + bezeichnet, dessen Komponenten
x ∗ i Losungen der gekoppelten Probleme
max
x i
g i (x) u.d.N. x i ≥ 0 ⊚
fur i = 1, . . . , n sind. Die Funktionen p, c i : R → R mit p(R + ), c i (R + ) ⊆ R + seien
in den Teilaufgaben (b)(c) stetig dierenzierbar.
(a) Erortern Sie, inwieweit solch ein Nash-Gleichgewicht unter Ausschluss von
Koalitionen okonomisch sinnvoll ist.
(b) Stellen Sie die KKT-Bedingungen der Optimierungsprobleme ⊚ auf und nden
Sie eine Funktion F : R n → R n , durch welche sich alle KKT-Bedingungen
im Komplementaritatsproblem NCP(F) zusammenfassen lassen.
(c) Formulieren Sie eine | moglichst allgemeine! | hinreichende Bedingung an
die Gewinnfunktionen g i : R n → R, welche gewahrleistet, dass jede Losung
x ∗ von NCP(F) ein globales Nash-Gleichgewicht liefert.

3. Konvexe Optimierung und Variationsungleichungen: Seien X ⊆ R n konvex
und f : U → R konvex auf X sowie stetig dierenzierbar auf einer oenen Menge
U ⊇ X. Zeigen Sie: Der Punkt x ∗ lost das Problem ⊛ aus Aufgabe 1 genau dann,
wenn x ∗ die Variationsungleichung VI(∇f, X) lost, d.h.
x ∗ ∈ X und ∇f(x ∗ ) T (x − x ∗ ) ≥ 0 ∀ x ∈ X.
Tipp: Betrachten Sie einerseits den Quotienten f(x∗ +t(x−x ∗ ))−f(x ∗ )
im Grenzubergang
t ↘ 0, benutzen Sie andererseits die Konvexitat der Funktion
t
f.
4. Projektion auf abgeschlossene konvexe Mengen: Sei X ⊂ R n eine (nichtleere)
abgeschlossene und konvexe Menge. Ziel dieser Aufgabe ist der Nachweis, dass zu
jedem Punkt x ∈ R n ein eindeutiger Punkt y ∗ = P X (x) ∈ X, die Projektion von
x auf X, existiert, der die euklidische Norm ‖y − x‖ unter allen y ∈ X minimiert.
Weiter sollen die Eigenschaften von P X untersucht werden.
(a) Begrunden Sie, dass das Minimierungsproblem
min
y∈X
1
‖y − x‖2
2
eine eindeutige Losung y ∗ besitzt und dass deshalb der Projektionsoperator
P X : R n → X wohldeniert ist mit P X (x) = y ∗ .
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 3 und (a), dass fur x, y ∈ R n gilt:
y = P X (x) ⇐⇒ y ∈ X und (y − x) T (z − y) ≥ 0 ∀ z ∈ X.
(c) Zeigen Sie mittels (b), dass P X Lipschitz-stetig mit Konstante L = 1 ist:
∥ PX (x 1 ) − P X (x 2 ) ∥ ∥ ≤ ‖x1 − x 2 ‖ ∀ x 1 , x 2 ∈ R n .
Empfohlenes Vorgehen: Zeigen Sie mit u = x 1 − x 2 , v = P X (x 1 ) − P X (x 2 ) und
w 1,2 = x 1,2 − P X (x 1,2 ) zunachst
‖u‖ 2 = ‖v‖ 2 + ‖w 1 − w 2 ‖ 2 + 2(w 1 − w 2 ) T v,
wobei die Eigenschaften der euklidischen Norm zu nutzen sind.
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nden Sie auf der folgenden Homepage:
http://www-m1.ma.tum.de/bin/view/Lehrstuhl/MUlbrichNichtglatteOptSS11