Physik und Umwelt I Lösungen der Übungen Nr. 7 LOES-PU-I-Ü7-1 ...

Aufgabe 7.1
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 7
Barometrische Höhenformel:
h
p = p exp( − )
0
H
RT
H = (Skalenhöhe)
gM m
Die Skalenhöhe H hat für T = 273 K den Wert: H ≈ 8000 m
Wegen
1 gM
m
= und
H RT
p
ρ RT
= folgt
0
0
M
m
1 ρ g
0
= .
H p
0
Damit erhält die barometrische Höhenformel die Form
ρ g
0
p = p exp( − h) .
0
p
0
Der Schweredruck eines Gases nimmt mit der Höhe h um so schneller ab, je größer seine
−3
3
Bodendichte ρ 0
ist. Mit den Zahlenwerten p 0 = 1013,25 hPa und ρ = 1,293⋅10
g / cm für
0
eine Temperatur T entsprechend von ϑ = 0° C erhält man für den Luftdruck p in der Höhe h:
n
−0,125
h / km
p = 1013,25⋅
e hPa.
Die barometrische Höhenformel wurde bereits 1686 erstmals durch den englischen Physiker
und Astronom Edmond Halley (1656 - 1742) angegeben.
a) p(h) für h = 10 km:
p(h) = 1013,25⋅
e
p = 290 hPa
b) p = 982 hPa
1013,25 hPa
p 0
=
−1,25
hPa = 290 hPa
.
−0,125
h / km
p = 1013,25⋅
e hPa
h / km
=
h = 251 m
1
ln
0,125
p
p
0 =
0,2506
LOES-PU-I-Ü7-1

Aufgabe 7.2
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 7
Es gilt:
Δ ϑ / ° C = ΔT / K
l = l (1 + αΔϑ)
0
l = l (1 + α Δϑ)
= 500m(1 + 23,1 ⋅10
K ⋅100K)
= 501,15m
Al 0 Al
l = l (1 + α Δϑ)
= 500m(1 + 12 ⋅10
K ⋅100K)
= 500,6m
St 0 St
−6
−6
−1
−1
Längenunterschied:
Δ l = 0,55m
Aufgabe 7.3
Lösungsalternative 1:
γ = 3 α
Δ
0
V = γV
Δϑ
V
4π
3
3
= r
0 0
d = 200 mm
r 0
= 10cm
V = 4189,0 cm
0
3
3
Δ V = 20,7cm
Lösungsalternative 2:
V =
4π
r
3
3
r = r (1 + α Δϑ)
= 10,0165cm
0 Cu
V = 4209,6
3
cm
Δ V = V − V = 20,7 cm
0
3
LOES-PU-I-Ü7-2

Aufgabe 7.4
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 7
Abk.:
ρ = ρ ; = V
0 20 C
0 20°
C
V
°
Es gilt:
m m
20 C 50 ° C
°
= = m
Eine gegebene Masse bleibt unverändert, wenn sich ihre Temperatur ändert!
m
ρ =
0
V
ρ
0
m
=
50° C
V50
° C
Das Volumen ist temperaturabhängig: V = V (1 + γΔϑ)
0
Δ ϑ =
50 ° C − 20°
C = 30°
C
ρ =
m m ρ
0
=
=
V V (1 + γΔϑ)
(1 + γΔϑ)
0
3 3
ρ = 0,764
⋅10
kg / m
50 ° C
Hinweis: Im Allgemeinen wird bei Dichteangaben von Flüssigkeiten eine Bezugstemperatur
von ϑ = 20 C gewählt!
Z
°
Aufgabe 7.5
Für die Stoffmenge n einer Gasmasse m gilt:
n =
m
M m
M m
= 28g / mol = 0,028kg / mol ist die molare Masse von Stickstoff.
In 1 g Stickstoff befindet sich die Stoffmenge:
n 1g 1
= = mol
28g / mol 28
=
0,0357 mol
Für die Zahl N der N -Moleküle folgt:
2
N = n ⋅ N = 0,0357 mol ⋅ 6,022 ⋅10
mol = 2,15⋅10
A
N
A
ist die Avogadro-Konstante.
23
−1
22
Moleküle.
LOES-PU-I-Ü7-3

Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 7
Aufgabe 7.6
Zustandsgleichung für ideale Gase:
p V = n R T
n ist die Stoffmenge, m ist die Gasmasse.
n =
m
M m
M m
= 2g / mol = 0,002kg / mol ist die molare Masse von Wasserstoff ( H ).
2
pV =
m
M
m
RT
m =
pVM
RT
m
Daten: p = 7,6 kPa = 7,6 ⋅ 10 Pa
T = 273,15 K ( ϑ = 0 °C)
−
V = 4,0 l = 4 ⋅ 10
3 m 3
R = 8,314 J/(mol K)
m = 0,0268 g = 26,8 mg
H 2
3
Aufgabe 7.7
Ausgehend von der Zustandsgleichung idealer Gase
pV =
m
M
m
RT
folgt mit der spezifischen Gaskonstanten
pV = mR T .
S
R = R
S
M
:
m
pV
mR S
=
T
Mit
p
6
= 0,81 10 Pa , T 1
= (273,15 + 12) K = 285,15K
und V = 0,855m
folgt:
1
1
⋅
3
LOES-PU-I-Ü7-4

Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 7
mR
p V
1
=
T
1
=
S
1
2428,72J / K
Andererseits gilt für dieselbe Gasmasse:
p V
2
mR =
S
T
2
2
Oder:
T
2
mR
2 S
V
2
p =
320K
p = 2428,72J / K = 0,972MPa = 972kPa
2 3
0,8m
Aufgabe 7.8
Die gefüllte Gasflasche besitzt die Stoffmenge n. Nach Entnahme der Stoffmenge
verbleibt in der Gasflasche die Stoffmenge n = n − n .
Anwendung der Zustandsgleichung idealer Gase auf die drei isothermen Zustände liefert:
pV = nRT (volle Gasflasche)
p V = n RT (Restmenge in der Gasflasche nach Entnahme)
x x
p V = n RT (Zustandsgleichung für entnommene Gasmenge).
E E E
Es gilt:
x
E
n
E
p
x
n RT (n − n )RT
x
E
= =
(Gl. 8.1)
V V
pV
n = und
RT
n
E
p V
E E
= (Gl. 8.2)
RT
Einsetzen von Gl. 8.2 in Gl. 8.1 liefert:
p
x
=
pV
−
p
V
E
V
E
p
x
150⋅10
=
5
Pa ⋅0,05m
3
0,05m
−1⋅10
3
5
Pa ⋅0,5m
3
= 140⋅10
5
Pa
LOES-PU-I-Ü7-5