2. Quiz zur Analysis III Musterlösung

Prof. Dr. L. Kramer WS 10/11
Dr. A. Wörner
Dipl.-Math. O. Varghese
2. Quiz zur Analysis III Musterlösung
Version 1
Aufgabe 1 Es existiert ein Homöomorphismus zwischen den Intervallen (0, 1) und [0, 1].
richtig ☒ falsch
Angenommen es existiert ein Homöomorphismus f : [0, 1] → (0, 1). Nach §2 Satz 4 1 2
ist dann
f([0, 1]) = (0, 1) kompakt. Widerspruch.
Aufgabe 2 Sei X ein topologischer Raum. Der Raum X ist genau dann zusammenhängend, wenn es
keine stetige surjektive Abbildung von X auf den diskreten Raum {0, 1} gibt.
☒ richtig falsch
Angenommen es existiert eine stetige surjektive Abbildung f : X → {0, 1}. Dann ist X =
f −1 (0) ∪ f −1 (1). Die Mengen f −1 (0), f −1 (1) sind dabei disjunkt, offen und nichtleer. Also
ist X nicht zusammenhängend. Sei umgekehrt X nicht zusammenhängend. Dann existieren
A, B ⊆ X offene, nichtleere, disjunkte Teilmengen mit A ∪ B = X. Wir definieren f : X →
{0, 1} wie folgt: f(a) = 0 für a ∈ A und f(b) = 1 für b ∈ B. Dann ist f |A und f |B stetig,
also ist f nach §1 Satz 23 stetig.
Aufgabe 3 Die Menge der natürlichen Zahlen N ist mit der koendlichen Topologie zusammenhängend.
☒ richtig falsch
Angenommen N ist mit der koendlichen Topologie nicht zusammenhängend. Dann existieren
U, V ⊆ N offen, nichtleer und disjunkt mit N = U ∪ V . Die Mengen U, V sind in der koendlichen
Topologie offen, genau dann wenn u 1 , . . . u n , v 1 , . . . v m ∈ N existieren mit U = N \
{u 1 , . . . , u n } und V = N\{v 1 , . . . , v m }. Dann ist aber U ∩V = N\{u 1 , . . . , u n , v 1 , . . . , v m } ≠
∅. Widerspruch.
Aufgabe 4 Seien X, Y topologische Räume, I eine unendliche Indexmenge, A i für i ∈ I abgeschlossen
und ⋃ A i = X. Weiter sei f : X → Y eine Abbildung und f |Ai : A i → Y für i ∈ I stetig.
i∈I
Dann ist f in jedem Fall stetig.
richtig ☒ falsch
Seien X = Y = R mit der Standardtopologie. Wir definieren f : R → R wie folgt: f(x) = 1,
falls x ≥ 0 und f(x) = 0 sonst. Wir definieren weiter A a = {a} für a ∈ R. Da R ein T 1 -Raum
ist,
⋃
ist jede Menge A a abgeschlossen. Außerdem ist f |Aa für jedes a ∈ R stetig, und es gilt
a∈R A a = R. Aber f ist unstetig.
Aufgabe 5 Sei X ein topologischer Raum und A ⊆ X Teilmenge. Die Menge A ist genau dann abgeschlossen,
wenn die Häufungspunkte von A in A enthalten sind.
☒ richtig falsch
Siehe §1 Korollar zu Satz 16.
Aufgabe 6 Sei X ein topologischer Raum und A ⊆ X Teilmenge mit der Teilraumtopologie versehen.
Dann ist die Inklusion i : A → X stetig.
☒ richtig falsch
Sei U ⊆ X eine beliebige offene Menge. Dann ist f −1 (U) = A ∩ U offen in A.
Aufgabe 7 Seien X, Y topologische Räume, Y hausdorffsch, X kompakt und f : X → Y stetig und
bijektiv. Dann ist f −1 : Y → X stetig.
☒ richtig falsch
Siehe §2 Korollar vor Satz 5.
1

Aufgabe 8 Sei X ein metrischer Raum. Der Raum X ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in X
eine konvergente Teilfolge hat.
☒ richtig falsch
Siehe §2 Satz 11.
Aufgabe 9 Sei I eine unendliche Indexmenge und X i für i ∈ I topologische Räume. Sei X := ∏
X i
i∈I
mit der Produkttopologie versehen. Dann hat die Produkttopologie eine Basis B folgender
Form: Die Elemente U ∈ B sind U = ∏ U i mit U i ⊆ X i offen.
richtig ☒ falsch
Siehe §2 Definition 15 und Satz nach der Definition 15.
Aufgabe 10 Sei I eine beliebige Indexmenge und X i für i ∈ I Hausdorff-Räume. Dann ist ∏
X i hausdorffsch.
☒ richtig falsch
Siehe §2 Satz 17.
Aufgabe 11 Der topologischer Raum X = ∏ [2, 3] ist mit der Produkttopologie kompakt.
☒ richtig falsch
R×R
i∈I
i∈I
Die Menge [2, 3] ⊆ R ist kompakt. Der topologische Raum X ist dann nach dem Satz von
Tychonoff (§2 Theorem 19) kompakt.
Aufgabe 12 Es existiert keine stetige surjektive Abbildung f : [0, 1] → [0, 1] × [0, 1].
richtig ☒ falsch
Die Peano-Kurve ist eine stetige surjektive Abbildung von [0, 1] nach [0, 1] × [0, 1] (siehe
Skript Seite 34).
Aufgabe 13 Sei X ein metrischer Raum und A, B ⊆ X abgeschlossene disjunkte Mengen. Dann existiert
eine stetige Abbildung f : X → [0, 1] mit f(a) = 0 für alle a ∈ A und f(b) = 1 für alle
b ∈ B.
☒ richtig falsch
Ein metrischer Raum X ist nach §1 Satz 22 normal. Nach Urysohns Lemma §3 Theorem 1
lassen sich dann A und B durch eine stetige Abbildung trennen.
Aufgabe 14 Sei X kompakt und (Y, d Y ) vollständig. Weiter sei F ⊆ C(X, Y ) endlich. Dann ist der
Abschluss von F in C(X, Y ) bezüglich der Supremumsnorm kompakt.
☒ richtig falsch
Die Menge F ist dann gleichgradig stetig und für jeden Punkt x ∈ X ist der Abschluss
von {f(x) | f ∈ F} ⊆ Y kompakt. Nach Ascolis Theorem §3 Theorem 12 ist F ⊆ C(X, Y )
bezüglich der Supremumsnorm kompakt.
Kürzer: Jeder endlicher topologischer Raum ist kompakt.
Aufgabe 15 Die Menge R \ N ist eine Borelmenge in R.
☒ richtig falsch
Sei n ∈ N beliebig. Dann ist {n} abgeschlossen, also eine Borelmenge. Jede abzählbare
Vereinigung von Borelmengen ist wieder eine Borelmenge, also ist N eine Borelmenge. Die
σ-Algebra ist abgeschlossen bezüglich Komplementbildung, also ist R \ N eine Borelmenge
in R.
Aufgabe 16 Seien X, Y topologische Räume und f : X → Y eine stetige Abbildung. Dann ist f eine
Borel-messbare Abbildung.
☒ richtig falsch
Siehe Satz nach Definition 4 in §4.
2

Aufgabe 17 Seien X, Y topologische Räume und f : X → Y eine Borel-messbare Abbildung. Dann ist f
stetig.
richtig ☒ falsch
Seien X = Y = R. Wir definieren f : R → R wie folgt: f(x) = 1 falls x ≥ 0 und f(x) = 0
sonst. Dann ist f eine Borel-messbare Abbildung, aber nicht stetig.
Aufgabe 18 Sei (X, A) ein Messraum und (Y, d) ein metrischer Raum. Weiter sei f : X → Y eine Abbildung.
Wenn eine Folge (f j ) j∈J messbarer Funktionen in M(X, Y ) existiert, die punktweise
gegen f konvergiert, dann ist f messbar.
☒ richtig falsch
Siehe §4 Satz 6.
Aufgabe 19 Für jedes k ∈ N sei C k ⊆ R n eine kompakte Menge. Dann ist die Vereinigung ⋃
eine Borelmenge.
☒ richtig falsch
k∈N
C k ⊆ R n
Sei C k für k ∈ N beliebig. Dann ist C k abgeschlossen, also eine Borelmenge. Jede abzählbare
Vereinigung von Borelmengen ist wieder eine Borelmenge, also ist ⋃ C k ⊆ R n eine
Borelmenge.
Aufgabe 20 Sei (X, A) ein Messraum und µ : A → [0, ∞] eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
i) µ(∅) = c ∈ [0, ∞)
ii) Sei I eine abzählbare Indexmenge und A n ∈ A für n ∈ I messbar, A k ∩ A l = ∅ für
k ≠ l, so gilt µ( ⋃ A n ) = ∑ µ(A n ).
n∈I n∈I
Dann ist (X, A, µ) ein Maßraum.
☒ richtig falsch
Wir müssen zeigen, dass µ(∅) = 0 ist. Nach ii) gilt: µ(∅∪∅) = µ(∅)+µ(∅), dies ist äquivalent
zu c = c + c, also ist c = 0.
Aufgabe 21 Sei X ein Maßraum und A ⊆ X eine Nullmenge. Weiter sei B ⊆ A messbar. Dann ist B
eine Nullmenge.
☒ richtig falsch
Es gilt A = (A \ B) ∪ B und 0 = µ(A) = µ(A \ B) + µ(B). Damit folgt µ(B) = 0.
Aufgabe 22 Sei X ein Messraum und f, g, h : X → R mit f(x) = g(x) + h(x) für alle x ∈ X. Falls f
nicht messbar ist, so ist mindestens eine der Funktionen g, h nicht messbar.
☒ richtig falsch
Angenommen g und h sind messbar. Der Raum M(X, R) ist ein reeller Vektorraum (siehe
Seite 57 oben), also ist dann auch f messbar.
Aufgabe 23 Sei X ein Maßraum und f ∈ Step(X, R) mit ‖f‖ 1 = 0. Dann ist f die Nullfunktion.
richtig ☒ falsch
Sei (X, A) ein beliebiger nichtleerer Messraum und µ : A → [0, ∞] das Nullmaß, also µ(A) =
0 für alle A ∈ A. Die konstante Funktion f : X → R , x ↦→ 1 ist eine Stufenfunktion mit
‖f‖ 1 = 0, aber f ist nicht die Nullfunktion.
Daher ist i.a. ‖·‖ 1 nur eine Halbnorm, vgl. auch §4 Definition 15.
k∈N
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