3. Teil - OCULUS

Videokeratometrie
E. Bürki, Thun (Schweiz)
Neue Möglichkeiten der Hornhautdiagnostik
mit Hilfe der Videokeratometrie (3. Teil)
Zernike-Polynome
Grundsätzliches
Jede beliebige dreidimensionale
Fläche, die kreisförmig begrenzt ist,
kann durch eine Summe von nach
dem holländischen Physiker Frits Zernike
(1888–1966) benannten Polynomen
dargestellt werden. Im Gegensatz
zur Fourier-Darstellung wird die
Fläche dabei aber nicht zwei-, sondern
dreidimensional beschrieben.
Zernike-Polynome werden meist verwendet,
um die Abbildungseigenschaften
von Linsensystemen zu analysieren:
die ideale Linse verformt eine
ebene Lichtwellenfront zu konzentrischen
Kugelschalen, deren Mittelpunkt
der Brennpunkt ist. Jede Abweichung
von der idealen Kugelwelle bewirkt
einen bestimmten Fehler in der
Abbildung. Zernike-Polynome beschreiben
und klassifizieren nun die
Abweichungen der tatsächlichen Wellenfronten
von der idealen Kugelwelle.
Sie tragen gleichzeitig den Namen des
Abbildungsfehlers, den sie wiedergeben
(z. B. Astigmatismus, Koma oder
sphärische Aberration).
In den letzten Jahren sind Zernike-Polynome
auch eingesetzt worden um
die Gestalt und die optischen Eigenschaften
der Corneaoberfläche zu beschreiben
[13, 17–19, 29–31]. Dabei
ergaben sich eine Fülle neuer Erkenntnisse
und eine wesentliche Erweiterung
der diagnostischen Möglichkeiten
zur Quantifizierung eines
Keratokonus mit dem Videokeratographen
[14, 28].
Mathematisch sind die einzelnen Zernike-Polynome
charakterisiert durch
eine Potenzreihe in radiärer Richtung
R und eine fourierähnliche Reihe in
Richtung des Winkels U. In der allgemeinen
Form Z n,±m gibt n die Ordnungszahl
des Polynoms in radiärer
Richtung an und m entspricht der Frequenz
des Winkels U pro 360°. Polynome
mit geradzahligem n und m = 0
sind stets rotationssymmetrisch, alle
übrigen winkelabhängig. Ein positives
m stellt die Veränderung in x-Richtung,
ein negatives m eine solche in y-
Richtung dar.
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Die ersten Polynome tragen folgende Bezeichnungen:
Ordnungs- Z 8,0 Z 8, ±2 Z 8, ±4 Z 8, ±6 Z 8, ±8 ...usw.
Zahl n Z 7, ±1 Z 7, ±3 Z 7, ±5 Z 7, ±7
Z 6,0 Z 6, ±2 Z 6, ±4 Z 6, ±6
Z 5, ±1 Z 5, ±3 Z 5, ±5
Z 4,0 Z 4, ±2 Z 4, ±4
Z 3,±1 Z 3,±3
Z 2,0 Z 2,±2
Z 1,±1
Z 0,0
Die dazu gehörigen Abbildungsfehler
bis zur 6. Ordnung sind:
Z 0,0 Höhenkonstante, mittlere
Höhe der Fläche
Z 1,±1 Verkippung (+1 in x-Richtung,
–1 in y-Richtung)
Z 2, 0 Focus, resp. Oberfläche in
Form eines Kegelschnitts
Z 2,±2 Astigmatismus
Z 3,±1 Koma
Z 3,±3 Dreiwelligkeit (Dreiblattfehler,
trefoil)
Z 4,0 sphärische Aberration
Z 4, ±2 Astigmatismus höherer (4.)
Ordnung
Z 4, ±4 Vierwelligkeit (Vierblattfehler)
Z 5, ±1 Koma höherer (5.) Ordnung
Z 5, ±3 Dreiwelligkeit höherer (5.)
Ordnung
Z 5, ±5 Fünfwelligkeit (Fünfblattfehler)
Z 6, 0 sphärische Aberration höherer
(6.) Ordnung
Z 6, ±2 Astigmatismus höherer (6.)
Ordnung
Z 6, ±4 Vierwelligkeit höherer (6.)
Ordnung
Z 6, ±6 Sechswelligkeit (Sechsblattfehler)
etc.
Je größer die Gesamtaberration des
optischen Systems ist, umso mehr Polynome
werden zur exakten Darstellung
erforderlich. Im Prinzip können
dies unendlich viele sein; zur Annäherung
einer normalen Cornea reichen
aber meist 4–6 Ordnungen. Zur Charakterisierung
einer Keratokonusoberfläche
sind jedoch mindestens 8–12
Ordnungen erforderlich.
Das Menü „Zernike-Analyse“
Winkelfrequenz m
In Abb. 21 finden sich oben, rechts der
Mitte, die Zernike Fit Parameter. Hier
kann gewählt werden, ob die Höhendaten
komplett in Zernike Polynome
umzuwandeln sind oder ob hierfür nur
die Differenz der Hornhaut zu einem
Referenzkörper (ähnlich der Höhendarstellung)
zu verwenden ist. Ohne
Referenzkörper übertrifft das Polynom
Z 2,0 alle übrigen um einen Faktor
100. Es muss deshalb bei der Analyse
der Höhendaten ausgeschaltet werden,
wodurch aber seine Veränderungen
nicht mehr ausgewertet werden
können. Bei Verwendung eines Referenzkörpers
werden die rotationssymmetrischen
Anteile wie Aberrationsfehler
behandelt und in die Berechnung
einbezogen, da sie größenmäßig
nicht mehr so stark überwiegen. Der
Exzentrizitätswert von 0,751 entspricht
dem idealen Corneaellipsoid, das eine
theoretisch einwandfreie Abbildung
erlaubt [19].
Mit dem Schalter „Ändern“ können die
Fit Parameter verändert werden, anschließend
wird neu gerechnet. Die
gewählten Einstellungen können auch
gespeichert werden („Einst. speichern“),
um sie beim nächsten Start
automatisch zu verwenden.
Oben rechts in Abb. 21 wird das Feld
Zernike Koeffizienten angezeigt. Hier
kann in der Darstellungsart zwischen
„Z Einzelwerte“ und „|Z| Betragswerte“
gewechselt werden. „Einzelwerte“
zeigt alle einzelnen Koeffizienten, es
existiert also z. B. ein Koeffizient Z 1,–1
und Z 1,+1. „Betragswerte“ fasst die
zusammengehörigen Koeffizienten zu
NOJ 12/2001

Abb. 21: Das Menü „Zernike-Analyse“
einem Wert zusammen, also |Z|1,1. Zusammengehörig
sind jeweils die Terme,
die bis auf SIN bzw. COS gleich
sind. Diese beschreiben immer gemeinsam
eine Komponente. Mit Hilfe
der Schalter „Alle Aus“ und „Alle An“
können alle Z-Koeffizienten ein- bzw.
ausgeschaltet werden.
Rechts sind alle berechneten Zernike
Koeffizienten in einer mit dem Rollbalken
verschiebbaren Liste aufgeführt.
Sie können einzeln ein- und ausgeschaltet
werden; die 3D-Darstellung
(unten links) aktualisiert sich daraufhin
automatisch. Falls ein Referenzkörper
verwendet wurde kann dieser
ebenfalls ein-/ausgeschaltet werden.
Ebenso kann in diesem Feld die Darstellung
der Differenz aller Zernike Polynome
zur Messung ein oder ausgeschaltet
werden. Im Feld „Diff. =“ wird
der quadratische Mittelwert sämtlicher
Differenzen (topographische Höhendaten
zu Zernike Daten) angezeigt.
Dieser Wert ist ein Maß für die Qualität
des Zernike-Fits und liegt normalerweise
unter 0,0001.
Die 3D-Darstellung kann manuell in
Richtung der optischen Achse vergrößert
werden, um die Effekte besser
sichtbar zu machen. Hierfür wird der
Schieberegler „Überhöhung“ verwendet.
Mit Hilfe des Schalters „Skalieren“
wird eine Einstellung der Überhöhung
berechnet, mit welcher die 3D-Darstellung
gut sichtbar wird. Außerdem
wird beim Skalieren noch die optimale
Farbskala ermittelt und verwendet. Die
farbige Codierung der 3D-Darstellung
zeigt die Höhenwerte. Nach der Zernike
Analyse wird automatisch skaliert.
Wenn die Z-Komponenten jedoch einzeln
an-/ausgeschaltet werden, wird
nicht automatisch skaliert, um die Darstellung
vorher/nachher besser vergleichen
zu können. „Skalieren“ kann
dann manuell ausgeführt werden,
wenn die 3D-Darstellung nicht mehr
optimal sichtbar ist.
Der Schalter „Drehen“ versetzt die 3D-
Darstellung in Rotation, wodurch geringe
Veränderungen oft besser auffallen.
Die Betrachtungsposition der
Graphik kann auch in Einzelschritten
manuell verändert werden. Der Schalter
„O“ stellt den Originalzustand wieder
her.
Graphische Darstellung der einzelnen
Zernike-Polynome
Die graphische Darstellung der einzelnen
Zernike-Polynome liefert interessante
und auch ästhetisch ansprechende
Gebilde. Dies soll am Beispiel
einer Corneaoberfläche bei Keratokonus
im Vergleich zu einem Normalauge
gezeigt werden (Abb. 22 bis 27).
Vorteile der Zernike-Darstellung:
• Die einzelnen Polynomkomponenten
können direkt bestimmten cornealen
Aberrationen (z. B. Koma)
zugeordnet und quantifiziert werden.
Klinisch kann dies bei der Suche
nach den Ursachen einer optisch
nicht mehr voll korrigierbaren Visusreduktion
hilfreich sein.
• Pathologische Anteile des Höhenprofils
können extrahiert und in dieser
Form besser dargestellt werden.
Klinisch lässt sich so ein Keratokonus
mit Hilfe der Videokeratoskopie
nicht nur besser diagnostizieren,
sondern auch in punkto Höhe, Ausdehnung,
Volumen und genauer Position
des Apex exakter bestimmen.
Videokeratometrie
• Die Auswirkungen einer laserchirurgischen
Behandlung oder einer
radiären Keratotomie auf die Corneaoberfläche
lassen sich so detaillierter
sichtbar machen. Subjektive
Visusstörungen beim Sehen mit
weiter Pupille in der Nacht lassen
sich quantifizieren und finden eine
plausible Erklärung.
• Fixationsartefakte (sichtbar in Z
1,±1) lassen sich gezielt ausschalten.
Klinisch ist dies bei der Abgrenzung
eines echten von einem Pseudokeratokonus
von Bedeutung.
• Astigmatismus lässt sich in punkto
Stärke und Achsenlage genauer erfassen
und stimmt besser mit der
subjektiven Refraktion überein als
dies mit den bisherigen Darstellungsarten
der Fall ist. Nicht senkrecht
aufeinander stehende Achsenlagen
bei der Messung mit dem
Ophthalmometer finden eine Erklärung
(z. B. erhöhter Dreiblattfehler).
• Unregelmäßigkeiten der Hornhautoberfläche
können nach Differenzbildung
zur gewünschten Form gezielt
mit dem Excimer-Laser korrigiert
werden.
• Erste Kontaktlinsen, deren Rückfläche
aufgrund von Zernike-Polynomen
auf CNC-Maschinen gefertigt
wurden, existieren bereits. Möglicherweise
werden in nicht allzu ferner
Zukunft die Corneaparameter
dem Linsenhersteller direkt online
übermittelt und zur Fertigung „maßgeschneiderter“
Kontaktlinsen verwendet.
Nachteile:
• Die für den Neuling ungewohnte
Darstellungsart bedarf einer gewissen
Einarbeitung in die Materie.
• Zur Berechnung ist ein großer mathematischer
Aufwand erforderlich.
• Zur Zeit ist nur ein einziges Gerät
kommerziell erhältlich, das eine
Auswertung mit Hilfe der Zernike-
Polynome gestattet.
NOJ 12/2001 53

Videokeratometrie
Abb. 22: Normalauge 0.-8. Ordnung Abb. 23: Keratokonus 0.-8. Ordnung
Abb. 24: Z 1,±1 Normalauge Abb. 25: Z 1,±1 Keratokonus
Abb. 26: Z 2, 0 Normalauge Abb. 27: Z 2, 0 Keratokonus
Abb. 28: Z 2,±2 Abb. 29: Z 3, +1 Abb. 30: Z 3,±3
54
Abb. 22 zeigt die aus sämtlichen Polynomen
bis zur 8. Ordnung zusammengesetzte
Oberfläche einer normalen
Cornea (zur besseren Darstellung
der Unterschiede vertikal leicht überhöht).
Abb. 23 zeigt dasselbe für einen
Keratokonus 3. Grades. Man beachte
die spitzere Form und die Verkippung
der Basis, wie sie für einen Keratokonus
typisch ist.
Abb. 24 und 25 enthalten nur die Verkippungskomponente
(Z 1,±1) des
normalen bzw. des Keratokonusauges.
Man beachte die unterschiedliche
Skalierung: der Verkippungseffekt
ist beim Keratokonus etwa 20mal
ausgeprägter!
Abb. 26 und 27 stellen die alleinige
Focus-(Paraboloid-)Komponente für
das Normal- bzw. Keratokonusauge
dar. Die für einen Keratokonus typische
höhere Exzentrizität ist offensichtlich.
Abb. 28 zeigt den isolierten regulären
Astigmatismus (Z 2,±2), Abb. 29 die
Koma in horizontaler Richtung (Z
3,+1) und Abb. 30 die Dreiwelligkeit (Z
3,±3). Im Vergleich zur Focus-Komponente
sind diese Anteile nur sehr klein
und liegen im Bereich von einigen
Prozenten.
Abb. 31–36 illustrieren weitere Komponenten.
Sie stammen allesamt von
Keratokonusaugen, da ihre Amplitude
bei einer gesunden Cornea wesentlich
geringer ist.
Bei jeder höheren Ordnung kommt
gegenüber der Basis- bzw. der vorhergehenden
Ordnung eine zusätzliche
Wellenbewegung in entgegengesetzter
Richtung dazu. Im Vergleich
zur Focus-Komponente werden diese
Anteile mit zunehmender Ordnungszahl
immer kleiner, erreichen aber
beim Keratokonus immer noch einige
wenige Prozente der Gesamtaberration.
NOJ 12/2001

Abb. 31: Z 4,0 sphär. Aberration Abb. 32: Z 4, ±2 Astigmatismus höherer Ordnung Abb. 33: Z 4, ±4 Vierwelligkeit
Abb. 34: Z 5, ±1 Koma höherer Ordnung Abb. 35: Z 5, ±3 Dreiwelligkeit höherer Ordnung Abb. 36: Z 5, ±5 Fünfwelligkeit
Praktischer Nutzen in der Diagnose
von Keratokoni
Zernike-Polynome bieten neue und
bisher kaum genutzte diagnostische
Möglichkeiten zur Erkennung und
Quantifizierung von Keratokoni [13, 14,
30]. Vier Beispiele sollen das illustrieren:
Abb. 37a zeigt sämtliche Polynome
2.–8. Ordnung (abzüglich Astigmatismus
Z 2,±2) einer normalen Cornea.
Abb. 37b enthält dieselben Daten für
einen Keratokonus 1. Grades (beachte
die andere Skalierung gegenüber
Abb. 37a!). Auch für einen Laien ist die
Vorwölbung der Cornea im unteren
Bereich schon beim gering ausge-
prägten Keratokonus offensichtlich.
Bei der konventionellen 3D-Darstellung
ist das weniger deutlich (Abb.
37c).
Abb. 38a zeigt die Sagittalradien-Darstellung
eines Keratokonus mit starker
astigmatischer Komponente. Oder
handelt es sich am Ende doch „nur“
um einen Astigmatismus? Wenn es
sich aber um einen Keratokonus handelt,
wo liegt dann sein Apex?
Abb. 38b zeigt nach Zernike-Analyse
(2.–8. Ordnung) klar einen Keratokonus
mit Apex unterhalb der Hornhautmitte,
was in Abb. 38c (Ansicht der
Abb. 38b von oben) noch deutlicher
zum Ausdruck kommt.
Videokeratometrie
Abb. 37a: Normale Cornea Abb. 37b: Keratokonus 1° Zernike-Darstellung Abb. 37c: Keratokonus 1° Konventionelle 3D-Darstellung
Hier gestattet die Zernike Analyse im
Gegensatz zur konventionellen Darstellung
eine klare Aussage, dass es
sich erstens wirklich um einen Keratokonus
handelt und zweitens, wo sein
Apex liegt.
Die übliche Darstellung der Hornhautoberfläche
mittels Sagittal- oder Tangentialradien
zeigt nicht selten bei der
Lokalisation des Konusapex Diskrepanzen
zum Fluobild und zur Betrachtung
der Cornea im regredienten Licht.
Die Analyse mittels Zernike-Polynomen
stimmt in diesen Fällen mit der
Klinik praktisch immer überein.
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Videokeratometrie
Abb. 38a Abb. 38b Abb. 38c
Abb. 39a Abb. 39b
Abb. 39c Abb. 39d
56
Die Sagittalradien-Darstellung eines
rechten Keratokonusauges zeigt in
Abb. 39a eine fast zentrale Vorwölbung.
Nach Zernike-Analyse wird aber
ersichtlich, dass der Apex deutlich
nach temporal unten dezentriert ist
(Abb. 39b und 39c), was auch das
Fluobild (Abb. 39d) bestätigt.
Auch die Abbildungen 40a–40c illustrieren,
wie die herkömmliche Sagittalradien-Darstellung
den Apex eines
Keratokonus falsch wiedergeben
kann.
Als Konsequenz aus der Zernike-Analyse
ergibt sich, dass die bisher übliche
Klassierung der einzelnen Keratokonus-Typen
anhand der Sagittalradiendarstellung
neu überdacht werden
muss. Die aktuellen Möglichkeiten
zur Keratokonus-Visualisierung zeigen
zusammen mit den klinischen Befunden
eindeutig, dass hier früher vielfach
falsch interpretiert wurde.
Literatur
Abb. 40a Abb. 40b Abb. 40c
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Danksagung:
Der Autor dankt dem Entwickler der
Software, Herrn A. Steinmüller von der
Firma Oculus, für den anregenden
Gedankenaustausch und für seine
unermüdliche Mithilfe bei der Realisierung
eines praxisgerechten Programms.
Meinem Sohn Christian verdanke ich
die Erstellung der Fourier-Graphik.
Dr. med. Ernst Bürki
Bahnhofstrasse 12
CH-3600 Thun/Schweiz
NOJ 12/2001 57