6) Aufgaben Streuungsmaße 24.05.2012 - Zml.uni-flensburg.de

Zentrum für Methodenlehre
Torben Fröhlich
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Statistik I/Empirie I
In Anschluss an eine Vorlesung wurde eine Klausur geschrieben. Die Ergebnisse (in
Zensuren) verteilen sich wie folgt:
Zensur
Anzahl
1 15
2 38
3 55
4 10
5 2
Berechnen Sie den Quartilsabstand.
Lösung:
Zensur Anzahl der Studenten Absolut kumuliert(x)
1 15 15
2 38 53
3 55 108
4 10 118
5 2 120
Die zu den Positionen von Q 1 und Q 3 gehörenden Ausprägungen (hier: Noten) lassen sich mit
der kumulierten Häufigkeitsverteilung leicht ablesen.
Q
Q
Q
Q
Q
Q
A
3
3
1
1
A
Q3
− Q
=
2
Pos :
1
3n
+ 1 (3*120) + 1
= =
= 90,25 → Q
4 4
Pos :
3 + n 120 + 3
= = = 30,75 → Q
4 4
3 − 2
= = 0,5
2
1
= 2
3
= 3
Die mittleren 50% der Studierenden liegen zwischen den Noten 2 und 3.

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Statistik I/Empirie I
In der PISA-Studie wurden von 300 Schulkindern für die Lesekompetenz y (um 500 skaliert)
und die täglich vor dem Fernseher verbrachte Zeit x (in h) berechnet:
= 2,56
= 9779
= −37,31
Wie stark hangen die beiden Merkmale zusammen Interpretieren Sie das Ergebnis!
Lösung:
Zunächst brauchen wir die Standardabweichung von y, angegeben ist die Varianz
= = 98,89
= −37
=
2,56 ∗ 98,89 = −0,1462
Es besteht ein schwacher inverser Zusammenhang (je mehr Fernsehen, desto schlechtere
Ergebnisse).

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Statistik I/Empirie I
Wohnen in der Stadt Flensburg ist unterschiedlich günstig. Der Mietspiegel von November
2011 (siehe Tabelle) zeigt die durchschnittliche Kaltmiete pro Quadratmeter für
Mietwohnungen (40-80m 2 ) in den 12 Stadtteilen Flensburgs. Es wird vermutet, dass die
Kaltmietpreise pro Quadratmeter Wohnfläche in Abhängigkeit von der Lage zum
touristischen Zentrum Flensburg – der Hafenspitze – variieren. Das hieße also, dass die
günstigeren Quadratmeterpreise in Neustadt im Vergleich zum Stadtteil Jürgensby in der
weiteren Distanz zur Hafenspitze begründet lägen.
Tabelle: Mietspiegel und durchschnittliche Entfernung zur Hafenspitze
Stadtteil
X: Durchschnittliche km
Entfernung von Fördespitze
Altstadt 1,5 6,88
Sandberg 2 5,51
Jürgensby 2,25 5,73
Neustadt 2,75 4,83
Friesischer
Berg
2,75 5,52
Wstl. Höhe 3 5,4
Fruerlund 3,625 5
Nordstadt 4,125 7,12
Südstadt 4,5 4,98
Mürwik 6,5 3,2
Engelsby 6,5 3
FL-Weiche 8 5
Folgende weitere Werte wurden bereits ermittelt:
Y:
Durchschnittliche
Miete € pro m 2
12
x = 3.96; ∑ x
i=
1
2
i
= 234.34; SAQ
y
12
= 16.13; ∑(
x
i=
1
i
− x)(
y
i
−
y)
= −16.99
a. Berechnen Sie bitte den Korrelationskoeffizient.
b. Stimmt die oben genannte Annahme Bitte begründen Sie Ihre Antwort

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Statistik I/Empirie I
Lösung:
a.
s
S
S
r
2
x
2
y
xy
xy
12
12
1
2 1 ⎛ 2
= ∑(
xi
− x)
= ⎜∑
xi
−12
⋅ x
n −1
i=
1 n −1⎝
i=
1
SAQy
16.13
= = = 1.47; S
y
= 1.21
n −1
11
SAQxy −16.99
= = = −1.54
n −1
11
S
xy
= = −0.62
S S
x
y
2
⎞
⎟
⎠
=
1
11
2
( 234.34 −12
⋅3,96
)
= 4,21;
s
x
= 2.05
b. Die Hypothese stimmt wirklich. Je mehr Entfernung desto billiger ist die Miete! Das
Vorzeichen der Korrelation besagt, dass die Miete geringer wird, je mehr die Entfernung zum
Hafen ansteigt. Die Beziehung ist relativ stark.

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Statistik I/Empirie I
Bei der Erhebung des statistischen Zusammenhangs zwischen den Rängen einer Gruppe von 8
Personen (A-H) in zwei unterschiedlichen sportlichen Wettbewerben ergab sich folgendes
Bild.
Person A B C D E F G H
Bewerb X 4 8 1 7 6 2 5 3
Bewerb Y 6 4 3 7 5 1 8 2
Gegeben seien folgende Werte:
S 2 y = 6
S xy = 3,43
SAQ
8
∑
x
i=
1
( x
i
− x)
= 42
a) Zeichnen Sie das Streudiagramm.
b) Ermitteln Sie die Korrelation zwischen beiden Variablen und interpretieren Sie das
Ergebnis.
Lösung:
a)
Wettbewerb Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10
Wettbewerb X
b)
für r benötigen wir noch:
S , S , S
2
x
x
y

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Statistik I/Empirie I
SAQ
S
S
S
S
S
S
2
x
2
x
X
X
Y
Y
SAQx
42
= 1* =
n −1
(8 −1)
= 6
=
= 42
2
x
= 2,45
=
x
S
S
2
x
= 2,45
S
XY
r =
S * S
X
r = 0,57
=
=
Y
3,43
r =
2,45* 2,45
6
6
Es besteht ein positiver gleichgerichteter Zusammenhang zwischen Wettbewerb X und
Wettbewerb Y.