Kapitel 11 - Grundlagen der Programmiersprachen - DdI

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B[P](α)=E[(y*(z+x))]((D[ val x=1; val y=3]∅)+{z=α}).
Hierbei ist
D[ val x=1; val y=3]=D[ val y=3] ° D[ val x=1].
Im einzelnen:
D[ val x=1]∅=∅+{x=E[1]∅}={x=1},
D[ val y=3]{x=1}={x=1}+{y=3}={x=1,y=3}.
Folglich gilt:
B[P](α)=E[(y*(z+x))] {x=1,y=3,z=α}.
Setzen wir u={x=1,y=3,z=α}, so folgt:
E[(y*(z+x))]u=(E[y]u*E[(z+x)]u)=(E[y]u*(E[z]u+E[x]u))
=(u(y)*(u(z)+u(x)))=(3*(α+1)).
Damit ist bewiesen, daß die Semantik des Programms P, dargestellt durch die
berechnete Funktion, lautet:
B[P](α)=3*(α+1).
2) Wir bestimmen die Semantik von P':
val c=1;
fun f x = if x=0 then c else f(x-1);
(read(x);f(x)).
Für einen beliebigen Eingabewert α:int gilt:
B[P'](α)=E[f(x)]((D[ val c=1; fun f x= if x=0 then c else f(x-1)]∅)+{x=α}).
Hierbei ist
D[ val c=1; fun f x= if x=0 then c else f(x-1)]=
D[ fun f(x)= if x=0 then c else f(x-1)] ° D[ val c=1].
Im einzelnen:
D[ val c=1]∅=∅+{c=E[1]∅}={c=1},
D[ fun f x= if x=0 then c else f(x-1)]{c=1}=
{c=1}+{f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}=
{c=1,f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}.
Folglich gilt:
B[P'](α)=E[f(x)] {x=α, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}.
Setzen wir u={x=α, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}, so folgt
E[f(x)]u=E[ if x=0 then c else f(x-1)]
(D[ fun f x= if x=0 then c else f(x-1); val x=E[x]u]υ(u(f)))=
E[ if x=0 then c else f(x-1)]
(D[ fun f x= if x=0 then c else f(x-1); val x=E[x]u]{c=1})=
(*) E[ if x=0 then c else f(x-1)]{x=α, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}=
E[c]u=u(c)=1, falls E[x=0]u=wahr, d.h., falls u(x)=0,