Kapitel 11 - Grundlagen der Programmiersprachen - DdI

11-23
=
E[f(x-1)]u, sonst.
Hierbei ist
(**) E[f(x-1)]u=E[ if x=0 then c else f(x-1)]
(D[ fun f x= if x=0 then c else f(x-1); val x=E[x-1]u]υ(u(f)))=
E[f(x-1)]u=E[ if x=0 then c else f(x-1)]
(D[ fun f x= if x=0 then c else f(x-1); val x=E[x-1]u]{c=1})=
E[ if x=0 then c else f(x-1)]{x=α-1, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-
1),{c=1})}.
Nun betrachte man die Zeilen (*) und (**), die zu folgender Gleichung führen:
(***) =
E[ if x=0 then c else f(x-1)]u=
1, falls u(x)=0,
E[ if x=0 then c else f(x-1)] {x=α-1, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}, sonst.
Setzt man nun zur Abkürzung
F:= E[ if x=0 then c else f(x-1)],
G:= D[ val x=x-1],
u:= {x=α, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})} (wie oben),
so erhält man aus (***) folgende Funktionalgleichung
1, falls u(x)=0,
F(u)=
F(G(u)), sonst.
Gesucht ist in dieser Gleichung die Funktion F, welche die Semantik des Programmstücks
if x=0 then c else f(x-1)
beschreibt; G und u sind bekannt. Die semantische Analyse des Programms P' hat
also nicht – wie in Beispiel 1 – zu einer expliziten Angabe der berechneten Funktion
von P' geführt. Vielmehr haben wir nun eine Funktionsgleichung vorliegen, die erst
aufzulösen ist.
Da es sich bei der obigen Gleichung für F um eine implizite Gleichung handelt, kann
man sich fragen, ob es überhaupt Funktionen F gibt, die diese Gleichung erfüllen.
Dies ist gleichbedeutend mit der Frage, ob man dem analysierten Programm in dem
entwickelten Kalkül der semantischen Funktionen tatsächlich eine Bedeutung zuordnen
kann.