Kapitel 11 - Grundlagen der Programmiersprachen - DdI

11-27
1, falls u(x)=0
F(u)=
F(G(u)), sonst.
Setzt man
1, falls u(x)=0
τ(F)(u)=
F(G(u)), sonst,
so kann man den Fixpunktsatz von Kleene verwenden und rechnen:
1, falls u(x)=0 1, falls α=0
τ(⊥)(u)= =
⊥(G(u)), sonst ⊥, sonst.
1, falls u(x)=0 1, falls α=0 1, falls α=0
τ 2 (⊥)(u)= = 1, falls G(u)(x)=0 = 1, falls α-1=0
τ(⊥)(G(u)), sonst ⊥(G(G(u))), sonst ⊥, sonst.
Hierbei ist
G(u)=D[ val x=x-1]u=u+{x=E[x-1]u}=u+{x=E[x-1]u-1}=u+{x=α-1}
={x=α-1, c=1, f=(x, if x=0 then c else f(x-1),{c=1})}
und folglich
G(u)(x)=α-1.
Also gilt:
1, falls α=0
τ 2 (⊥)(u)= 1, falls α=1
⊥, sonst.
1, falls u(x)=0 1, falls α=0 1, falls α=0
τ 3 (⊥)(u)= = 1, falls G(u)(x)=0 = 1, falls α-1=0
τ 2 (⊥)(G(u)), sonst 1, falls G 2 (u)(x)=0 1, falls α-2=0
⊥, sonst ⊥, sonst.
Hierbei gilt – wie oben – G 2 (u)(x)=α-2. Also insgesamt
1, falls α=0
τ 3 (⊥)(u)= 1, falls α=1
1, falls α=2
⊥, sonst.
Dann gilt offenbar allgemein:
1, falls 0≤α≤n-1,
τ n (⊥)(u)=