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Lösung der Aufgabe 2 Syntaktische und semantische Korrektheit von Strömen Diskussion: Syntax vs. Semantik (a) first(〈1, 2, 3〉) = 1 Richtig (b) rest(〈1, 2, ⊥, 3, 4〉) = rest(〈1, 2〉) Richtig, da 1&2& ⊥ &3&4 = 〈1, 2〉 ⊥ schneidet den Strom ab. Man sieht das, wenn man den Strom auf Normalform (1&2& . . .) bringt, dann kann man Axiome der Vorlesung anwenden. (c) sˆt = tˆs Syntaktisch richtig, aber semantisch falsch. Konkatenation ist nicht kommutativ. (d) first(sˆt) = first(s) Richtig, da s nicht leer ist. (e) (xˆs)ˆt = xˆ(sˆt) Syntaktisch falsch, da x eine Nachricht ist und ˆ ist daher nicht anwendbar. Richtig wären: (x & s)ˆt = x & (sˆt) und (〈x〉ˆs)ˆt = 〈x〉ˆ(sˆt) (f) first(rest(first(〈1, 2, 3〉))) = ⊥ Syntaktisch falsch, da first eine Nachricht zurück gibt. rest ist dafür nicht definiert. Zusätzliche Diskussion ob es überhaupt Fälle geben kann, in denen es sinnvoll ist ⊥ in Axiomen zu verwenden. Ja, z.B. in rest(〈〉) =⊥. (g) rest(rest(rest(x&(y&s)))) = rest(s) Richtig Stromverarbeitende Funktionen • Aufgabe a) fct merge : Stream Nat, Stream Nat → Stream Nat sorted(a) ∧ sorted(b) ∧ c = merge(a, b) =⇒ sorted(c) ∧ ∀i, j : a i ≤ b j ⇒ ∃k : c k = a i ∧ ∀i, j : a i ≥ b j ⇒ ∃k : c k = b j ∧ ∀k : ∃i: c k = a i ∨ c k = b i sorted(〈〉) sorted(〈x〉) sorted(x&y&s) ⇐⇒ (x ≤ y ∧ sorted(y&s))
• Aufgabe b) fct merge = (a: Stream Nat, b: Stream Nat)Stream Nat: if a = 〈〉 then b else if b = 〈〉 then a else if first(a) ≤ first(b) then first(a)ˆmerge(rest(a), b) else first(b)ˆmerge(a, rest(b)) • Aufgabe c) fct smult(s1, s2 : StreamNat)StreamNat : (first(s1) ∗ first(s2))&smult(rest(s1), rest(s2)) Axiomatische Spezifikation stromverarbeitender Funktionen Zunächst können wir uns überlegen, wie eine stromverarbeitende Funktion für die Warteschlange aussehen könnte. Seien nun I = Data ∪ {▽} die Menge der Eingabesymbole und O = Data ∪ { } die Menge der Ausgabesymbole. Seien außerdem d ∈ Data, ds ∈ Stream Data, s ∈ Stream I. Wir charakterisieren die stromverarbeitende Funktion q durch: q(〈〉) = 〈〉 q(〈d〉 ∧ ds ∧ 〈▽〉 ∧ s)) = 〈〉 ∧ q(ds) ∧ 〈d〉 ∧ q(s) q(d&ds) = &q(ds) An der zweiten Gleichung sehen wir, dass immer wenn ein ▽ im Eingabestrom vorkommt, das erste Element auf den Ausgabestrom geschrieben wird. Die Anzahl der Datenelemente im Ausgabestrom ist also stets gleich der ▽ Elemente im Eingabestrom. Genauso ist die Anzahl der -Elemente im Ausgabestrom gleich der Anzahl der Datenelemente im Eingabestrom. Wir müssen außerdem noch sicherstellen, dass die richtigen Datenelemente in der richtigen Reihenfolge auf den Strom geschrieben werden. Wir formulieren die Schnittellenzusicherung über den Eingabekanal i ∈ Stream I und den Ausgabekanal o ∈ Stream O. Seien außerdem x ∈ Stream I und y ∈ Stream O und n ∈ N. ∀x, y : x ⊑ i ∧ y ⊑ o∧ ‖ x ‖=‖ y ‖⇒ Data#y = {▽}#x ∧ { }#y = Data#x Nun sollten wir diese Zusicherungen noch auf Eingaben einschränken, die wohlgeformt sind, also nie mehr ▽ erhalten als Daten. Dazu definieren wir: valid(i) :⇔ ∀z : z ⊑ i ⇒ Data#z ≥ {▽}#z
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