¨Ubungen zu ” Modellierung verteilter Systeme“

Parallele Komposition der Funktionen: Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten die Komposition
der beiden stromverarbeitenden Funktionen zu definieren. Da wir die Komposition in Teilaufgabe b schon
anhand der Zustandsmaschinen vorgenommen haben und wir wissen dass die Abstraktion durch Komposition
distribuiert, also Abs((∆1, Σ1) ‖ (∆2, Σ2)) = Abs(∆1, Σ1) ⊗ Abs(∆2, Σ2) gilt (siehe Foliensatz 7, Folie 27),
könnten wir einfach eine Funktion für die Zustandsmaschine aus Abbildung 6 angeben, genau so wie wir das
schon zuvor für Bargeldbezug und Kontoverwaltung gemacht haben.
Wir werden im Folgenden jedoch eine alternative Definition anbieten. Wir werden die Komposition der
beiden Funktionen als kleinsten Fixpunkt des folgenden Gleichungssystems definieren. Zunächst definieren wir
aber die Ein-/Ausgabekanäle des zusammengesetzten Systems: I = (I b ∪ I k ) \ (O b ∪ O k ) = {a, i1} ∪ {c, i2} \
{b, i2} ∪ {d, i1} = {a, c} und O = (O b ∪ O k ) \ (I b ∪ I k ) = {b, i2} ∪ {d, i1} \ {a, i1} ∪ {c, i2} = {b, d}. Die
Menge L = (I b ∪ I k ) ∩ (O b ∪ O k ) = ({a, i1} ∪ {c, i2}) ∩ ({b, i2} ∪ {d, i1}) = {i1, i2} sind dabei die Menge
der internen Kanäle des Systems. Die Schnittstelle des zusammengesetzten Systems ist somit durch (I ◮ O)
gegeben. Wir definieren nun eine Funktion f bank : −→ I → −→ O wobei f bank = f b ⊗ f k als kleinster Fixpunkt des
folgenden Gleichungssystems definiert ist. Im Folgenden bezeichnet z | C ′ die Restriktion der Belegung z auf
die Teilmenge C ′ ⊆ C.
• f bank (z) | O b = f b (z | I b )
• f bank (z) | O k = f k (z | I k )
Da f b und f k Präfix-monoton sind und die Menge der stromverarbeitenden Funktionen zusammen mit der
Präfix-ordnung eine ketten vollständige Ordnung bilden, kann man nun zeigen dass der kleinste Fixpunkt
dieses Systems auch wirklich existiert und eindeutig ist (Satz von Kleene). Dadurch ist also die Funktion f bank
wohldefiniert und wir können sie als Definition verwenden.
Die Komposition sollte übrigens wiederum folgender Eigenschaft genügen:
Vermutung. f bank (i) = o ⇔ ∃σ n ∈ Abläufe((∆ bank , Σ bank0 )).σ 0 ∈ Σ bank0 ∧ ∀n ∈ N.(σ n+1 , o(n + 1)) =
∆(σ n , i(n + 1))
Ohne Beweis.
Teilaufgabe d)
Für beide Eigenschaften definieren wir nun eine Hilfsfunktion
fct sum = (s : Stream) N : returnFirstPar(first(s)) + sum(rest(s))
sum(〈〉) = 0
wobei returnFirstPar(String) den ersten Parameterwert eines Terms zurück gibt. So kann die Eigenschaft (1)
wie folgt spezifiziert werden:
Selbiges für die Eigenschaft (2):
sum({zahleEin( , id)} ⊗ x, id) ≥ sum({geld( , id)} ⊗ y, id) (7)
sum({zahleEin( , id)} ⊗ x, id) ≤ sum({geld( , id)} ⊗ y, id) (8)
M ⊗ x filtert aus dem Strom x alle Nachrichten heraus, die nicht in der Nachrichtenmenge M sind.
TODO: Prüfung anhand von Abbildung 6.
Aufgabe 2 Stromverarbeitende Funktionen
• Syntaktische und semantische Korrektheit von Strömen
Sei M = {⊥, 0, 1, 2, . . .}. Seien x, y ∈ M \ {⊥} Elemente aus einem Strom und seien s, t ∈ M ω
Ströme über M mit der Trägermenge M ω = (M \ {⊥}) ∗ ∪ (M \ {⊥}) ∞ und s ≠ 〈 〉. Geben Sie für
die folgenden Terme an, ob diese syntaktisch und ggf. semantisch korrekt, also wahr oder falsch,
sind: