¨Ubungen zu ” Modellierung verteilter Systeme“

• Direkte Definition über Ein-/Ausgabe: Die Funktion wird rekursiv über das Muster der Eingabebelegungen
definiert.
• Definition unter Verwendung lokaler Zustände: Die Funktion wird rekursiv über das Muster von Eingabebelegungen
in Abhängigkeit einer weiteren Hilfsfunktion definiert. Die Hilfsfunktion repräsentiert eine
Art Datenzustand und wird verwendet um den Kontostand der Kunden zu kapseln.
Im Folgenden werden wir die stromverarbeitende Funktion für die Komponente Bargeldbezug als Ein-/Ausgabe
Funktion definieren. Das Schnittstellenverhalten f b : −→ I b → −→ O b ist dabei wie folgt definiert, wobei das Symbol
ɛ für die leere Übertragung steht und i, i ′ , i ′′ sowie o, o ′ , o ′′ Kanalbelegungen darstellen und rest ∈ −→ I b und
x, id ∈ N:
f b (〈〉) = 〈〉 (1)
i(a) = hebeab(x, id) ∧ i(i1) = ɛ
⇒ f b (〈i〉) = 〈o〉 (2)
∧o(i2) = prüfe(x, id) ∧ o(b) = ɛ
i(a) = hebeab(x, id) ∧ i ′ (i1) = check(true, x, id) ∧ i(i1) = i ′ (a) = ɛ
⇒ f b (〈i〉) = 〈o〉 (3)
∧o(i2) = prüfe(x, id) ∧ o ′ (b) = geld(x, id) ∧ o(b) = o ′ (i2) = ɛ
i(a) = hebeab(x, id) ∧ (i ′ (i1) = check(false, x, id) ∧ i ′ (a) = ɛ ∨ i ′ (a) = abbruch ∧ i ′ (i1) = ɛ) ∧ i(i1) = ɛ
⇒ f b (〈i〉ˆ〈i ′ 〉ˆ〈rest〉) = 〈o〉ˆ〈o ′ 〉ˆf b (〈rest〉) (4)
∧o(i2) = prüfe(x, id) ∧ o(b) = o ′ (b) = o ′ (i2) = ɛ
i(a) = hebeab(x, id) ∧ i ′ (i1) = check(true, x, id) ∧ i(i1) = i ′ (a) = i ′′ (a) = i ′′ (i1) = ɛ
⇒ f b (〈i〉ˆ〈i ′ 〉ˆ〈i ′′ 〉ˆ〈rest〉) = 〈o〉ˆ〈o ′ 〉ˆ〈o ′′ 〉ˆf b (〈rest〉) (5)
∧o(i2) = prüfe(x, id) ∧ o ′ (b) = geld(x, id) ∧ o(b) = o ′ (i2) = o ′′ (b) = o ′′ (i2) = ɛ
Beachten Sie dass f b Präfix-monoton ist, also i 1 ⊑ i 2 ⇒ f b (i 1 ) ⊑ f b (i 2 ) gilt. Dies ist notwendig um sicherzustellen
dass die Funktion auch realisierbar ist. Des weiteren ist zu beachten dass die Funktion partiell ist, dass
also nicht jede Eingabehistorie eine Ausgabehistorie liefert.
Um sicherzustellen dass die so definierte Funktion in der Tat eine Abstraktion der Zustandsmaschinen aus
Teilaufgabe a ist, also f b = Abs((∆ b , Σ b0 )) gilt, muss die Abstraktion folgender Bedingung (siehe Foliensatz
6, Folie 25) genügen, wobei Abläufe eine Funktion ist welche alle möglichen Abläufe einer Zustandsmaschine
liefert:
Vermutung. f b (i) = o ⇔ ∃σ n ∈ Abläufe((∆ b , Σ b0 )). σ 0 ∈ Σ b0 ∧ ∀n ∈ N.(σ n+1 , o(n + 1)) = ∆(σ n , i(n + 1))
Ohne Beweis.
Analog dazu können wir die stromverarbeitende Funktion der Komponente Kontoverwaltung definieren. Hier
werden wir die stromverarbeitende Funktion aber als Funktion mit lokalen Zuständen definieren. Der Zustand
ist in diesem Fall das Guthaben eines jeden Kunden. Wir können das Schnittstellenverhalten der Komponente