baumdatenstrukturen in strömungsmechanischen simulationen

VISUALISIERUNG VON ERGEBNISSEN
NUMERISCHER SIMULATIONEN IN DER
STRÖMUNGSMECHANIK UNTER VERWENDUNG
HIERARCHISCHER DATENSTRUKTUREN
Siegfried Kühner, Bernd Crouse
Lehrstuhl für Bauinformatik, TU München
Kurzfassung: Numerische Simulationen im Bereich der Strömungsmechanik erfordern
bei spezifischen Problemen des Bauwesens (Windströmungen um komplexe Geometrien,
hochturbulente Strömungen) hohe Anforderungen an Rechenzeit und Speicherbedarf.
Klassische Raumaufteilungen genannter Simulationen sind blockstrukturierte Gitter
oder Netze. Baumdatenstrukturen wurden bereits Mitte der siebziger Jahre vorgestellt
und fanden Anwendung im Bereich der Computergraphik sowie der Bildbearbeitung.
Neuere Entwicklungen auf dem Gebiet der numerischen Simulation schlagen hierarchische
Datenstrukturen als Grundlage einer adaptiven Diskretisierung vor. Spacetrees
(Quadtree in 2D, Octree in 3D) als Vertreter hierarchischer Datenstrukturen erleichtern
eine Durchgängigkeit von Gittergenerierung, Simulation und Visualisierung.
Dieser Artikel beschreibt nach einer kurzen Zusammenfassung der Spacetree-
Datenstrukturen die Implementierung klassischer Visualisierungstechniken der Strömungsmechanik
wie Isoflächen, Schnittebenen und Partikelverfolgung auf der Basis
von Baumdatenstrukturen. Weiterhin wird auf die Bedeutung von sogenannten Probe-
Objekten im Kontext einer Integration der vorgestellten Algorithmen in eine echtzeitfähige
Virtual Reality Umgebung eingegangen. Abschließend werden Vor- und Nachteile
der Visualisierung mittels Baumdatenstrukturen gegenübergestellt.
1 Einleitung
Ingenieurrelevante Strömungssimulationen erfordern aufgrund ihrer turbulenten Natur
sehr feine Diskretisierungen der zugrunde liegenden Differentialgleichungen und stellen
damit starke Anforderungen an Speicherbedarf und Rechenzeit. Spezifische Probleme
im Bauingenieurwesen verschärfen diese Situation, da die typischen komplexen Geometrien
den effizienten Einsatz von blockstrukturierten Gittern erschweren.

Um diese riesigen Datenmengen in der Berechnungsphase, sowie in der
Datenaufbereitung bzw. Visualisierung effizient zu behandeln, ist es also zwingend
notwendig, numerische Simulationen von Windströmungen in und um Bauwerke mit
lokal adaptiven Gittern durchzuführen.
Baumdatenstrukturen werden diesen Anforderungen gerecht und erleichtern eine Integration
der Teilprozesse Gittergenerierung, Simulation und Visualisierung durch die in
ihnen innewohnenden Organisationsprinzipien Hierarchie, Adaptivität, Strukturiertheit,
Rekursion und Modularität [1].
Klassische Visualisierungsalgorithmen wurden daher auf Baumdatenstrukturen implementiert.
Durch diese enge Kopplung zur Berechnungsphase werden zusätzliche Interpolationen
beim Austausch der Ergebnisdaten vermieden. Zusätzlich ist eine Grundlage
geschaffen, um die dazu traditionell verwendete Dateischnittstelle z.B. durch Integration
der Routinen in ein echtzeitfähiges zweidimensionales Simulationsprogramm wie
TeachFlow [2] zu umgehen oder die Berechnungsphase durch Interprozess-
Kommunikation mit einem Virtual Reality System zu verbinden.
2 Baumdatenstrukturen
2.1 Definition und Begriffe
Ein Spacetree ist eine raumpartitionierende, hierarchische Datenstruktur, wobei jedes
Element (im Kontext dieses Artikels wird ein Element mit Zelle bezeichnet) einen Vorgänger
(Elternzelle) und 2 d Nachfolger (Kindzellen) hat, wobei d der Anzahl der Raumdimensionen
entspricht (siehe Abb.1). Für d=2 spricht man von einem Quadtree, für
d=3 von einem Octree. Die Verhältnis der Kantenlänge einer Kindzelle zur Elternzelle
ist dabei stets 1:2. Die Wurzelzelle ist die oberste Zelle in der Hierarchie des Baumes
und hat kein Elternelement. Sie hat die Baumtiefe 0. Traversiert man nun von Kindzelle
zu Kindzelle nach unten, kommt man über die einzelnen Ebenen (Level) zu den Blättern
des Baumes (Leave-Zellen), welche per Definition keine Kindzellen besitzen. Die Menge
aller Leave-Zellen bildet meist das Berechnungsgitter. Betrachtet man nun eine Zelle
(jedoch keine Leave-Zelle) an einer beliebigen Position im Baum isoliert mit ihrer kompletten
nachfolgenden Struktur, so erhält man wieder einen Spacetree. Diese Eigenschaft
erlaubt zur Generierung und Modifikation desselben die Verwendung rekursiver
Algorithmen. Im Kontext numerischer Simulationen kommen fast ausschließlich balancierte
(geglättete) Bäume zum Einsatz, bei denen eine maximale Differenz der Level
benachbarter Zellen vorgeschrieben ist. Meistens gilt:
level(Zelle i ) - level(Zelle i+1 ) < 2. (1)

Abb. 1: Baumdatenstrukturen – hierarchischer Aufbau
Die Speicherung der Baumstruktur kann entweder durch Indizierung der Kindzellen aus
einem Feld mit allen Zellen erfolgen, oder durch die von uns gewählte Verzeigerung der
Kinder, welche bzgl. dynamischer Modifikationen wesentlich flexibler ist.
2 = 010
Y
3 = 110
6 = 011
0 = 000
7 = 111
1 = 100
X
4 = 001
5 = 101
Z
Abb. 2: Nummerierung der Eckpunkte bzw. der Kindzellen
Abb. 2 zeigt die Nummerierung der Eckpunkte der Zellen, welche mit der Nummerierung
der Kindzellen identisch ist. Diese Bit-Codierung der Indizes erlaubt eine effizientere
Gestaltung vieler Algorithmen, indem man teure if-Abfragen durch Bit-Shifting
und/oder bitweises ODER ( | ) ersetzt. Als Beispiel sei die Suche des Index der Kindzelle
aufgeführt, die den Punkt P(xp,yp,zp) enthält. Ist der Mittelpunkt der Elternzelle mit
Pc(xc,yc,zc) gegeben, lässt sich der Algorithmus in einer Zeile wie folgt schreiben:
int childIndex = (xc

Weiterhin wird für jede Zelle ein Attribut gehalten, mit dem festgestellt werden kann, ob
die Zelle im Bereich des Fluidgebietes liegt oder einer Randbedingung unterliegt. Zusätzlich
gibt es in den Zellen einen Zeiger auf zellassoziierte Daten, die nur bei Bedarf
allokiert werden, da sie nur von bestimmten Algorithmen verwendet werden. Dazu gehören
neben den Zellen zugeordneten Berechnungsergebnissen die Minima, Maxima
und Durchschnittswerte aller Knotendaten höherer Level.
2.3 Baumaufbau im Postprocessing
Der Datenaustausch zwischen Berechnung und Visualisierung erfolgt zur Zeit noch
über eine klassische Dateischnittstelle in der nur die Leave-Zellen ohne die Baumstruktur
übergeben werden.
Daher wurde eine Baumaufbau-Routine implementiert, mit der man grundsätzlich auch
Ergebnisse anderer Berechnungskernel einlesen kann, solange deren Diskretisierung
auf uniformen Gittern oder Spacetrees basiert. Der Algorithmus ist schematisch in Abb.
3 dargestellt und lässt sich mit folgendem Pseudocode beschreiben:
Einlesen der Datei.
Listen der Knoten und Blätter füllen.
Alle Koordinaten auf Integer skalieren und dabei Maximum und Minimum der
Ausdehnung des Berechnungsgebietes speichern.
Wurzelzelle aus der Ausdehnung des Berechnungsgebietes erstellen.
Für alle Leave-Zellen
{
Setze Wurzelzelle als CurrentCell.
While-Schleife (*)
{
Ermittle die Kindzelle TempChild von CurrentCell, in der die aktuelle
Leave-Zelle CurrentLeave liegt.
Falls TempChild noch nicht existiert:
{
Entspricht TempChild der Zelle CurrentLeave.
Füge CurrentLeave an der Stelle von TempChild ein und
verlasse While-Schleife (*).
sonst: allokiere TempChild, setze CurrentCell auf TempChild.
}
Sonst setze CurrentCell auf TempChild.
}
}
Suche rekursiv von der Wurzel alle Zellen, die nur einen Teil der Kindzellen erzeugt
haben. Hier wird davon ausgegangen, dass an den fehlenden Kindern ein
Hindernis vorliegt, weshalb dort als Körper markierte Leaves erzeugt werden.
Ggf. wird der Baum noch geglättet und die Nachbarschaftsbeziehungen gesetzt.

Zelle in Ergebnis-
Datei
Abb. 3: Baumaufbau aus Datei mit Leave-Zellen
3 Algorithmen
3.1. Abstraktion Zelle
Eine Zelle kann unabhängig vom Gittertyp als Grundbaustein einer Diskretisierung des
Raumes betrachtet werden. Die in Abb. 4 skizzierten Raumaufteilungen unterscheiden
sich also nur in der Anordnung der Zellen zueinander. Die im folgenden beschriebenen
Visualisierungsverfahren arbeiten alle auf der Basis von Zellen. Der Zugriff auf individuelle
Zellen (bei Baumdatenstrukturen durch rekursives Suchen oder durch verzeigerte
Nachbarn) sowie die Interpolation der Daten ist also abhängig von der gewählten
Raumpartitionierung. Dieser Gedanke spiegelt sich in dem in Abschnitt 5. beschriebenen
objektorientiertem Softwarekonzept wider.
Uniformes Gitter:
Indexzugriff
Baumdatenstruktur:
Zugriff über
a) Verzeigerte Nachbarn
b) Rekursive Zellsuche
Topologisch und geometrisch
unstrukturiertes Netz:
Spezielle Suchalgorithmen
Abb. 4: Begriff Zelle bei verschiedenen Raumaufteilungen
Der Zugriff auf eine Zelle in einer Baumdatenstruktur ist zwar nicht so effizient wie der
Indexzugriff bei den Matrixdatenstrukturen uniformer Gitter, jedoch schneller als bei Finite
Element Netzen, da deren Zellsuchalgorithmen bestenfalls mit einer im Hintergrund
operierenden Baumdatenstruktur arbeiten. Für die Interpolation der Daten an den Punkten
genügt für Visualisierungszwecke eine bilineare (in 2D) bzw. trilineare (in 3D) Interpolation
aus den Daten der Eckpunkte der Zellen.
3.2. Generierung von Isoflächen
Der in [3] vorgestellte Algorithmus Marching Cubes generiert Isoflächen als eine Menge
von Dreiecken. Es existieren dann 256 (8 bit) mögliche Schnittfiguren einer Isofläche
mit einer Hexaederzelle, wobei eine Schnittfigur aus maximal 4 Dreiecken besteht. Diese
Schnittfiguren werden in einer Lookup Tabelle mit vordefinierten Indizes gespeichert,
so dass dieser mit schnellen Bit-Operationen ermittelt werden kann. Im Falle von Isoli-

nien gibt es 16 (4 bit) mögliche Konfigurationen mit maximal 2 Linien pro Zelle. Die Errechnung
des zugehörigen Index erfolgt durch Vergleich des gesuchten Isolevels mit
den Knotendaten an den vier Eckpunkten der Zelle (respektive 8 Eckpunkten in 3D),
wobei man das erste Bit des Index durch Vergleich mit dem Datenwert am Knoten 0
erhält, die weiteren Bits entsprechend. Die in Abb. 5 dargestellte Konfiguration führt also
auf den Index 13. An der Stelle 13 im Feld isolines2D erkennt man, dass die Isolinie
die Kanten 0 und 3 schneidet. Der Wert -1 zeigt, dass in dieser Konfiguration keine weitere
Linie folgt.
2
2
3
3
1
0 0
1
data_0 > isolevel => 1
data_1 < isolevel => 0
data_2 > isolevel => 1
data_3 > isolevel => 1
=> Index = 13 (1011)
Eintrag in der Lookup-Tabelle:
int isolines2D[16][4] =
{ ... , {3,0,-1,-1 }, ...}
Abb. 5: Ermittlung des Index der Beschreibung der Schnittfigur von Zelle und Isolinie
Der Marching Cubes Algorithmus lässt sich somit als Pseudocode skizzieren:
Für alle Leave-Zellen
{
Ermittle für gegebenes Isolevel den 8 Bit-Index
Schaue in einer Lookup-Table die Verschneidung der Isofläche mit der Zelle
nach (Tabelle enthält die Indizes der geschnittenen Kanten)
Errechne an diesen Kanten den Schnittpunkt x s der Kanten mit der Isofläche
durch lineare Interpolation:
x s = x i + (data(x i+1 ) - data(x i )) / (x i+1 - x i )
Schreibe die Punkte in die Koordinatenliste
Schreibe die Indizes der Dreiecke in die Indexliste
}
Mit den in Abschnitt 2.2. erläuterten zellassoziierten Daten kann dieser Algorithmus für
Spacetrees beschleunigt werden. Jede Zelle speichert die Minima und Maxima der Knotendaten
aller tiefer liegenden Kindzellen. In einer rekursiv auszuführenden Vorauswahl,
werden alle Zweige des Baums gefiltert, für die gilt: Das untersuchte Isolevel ist größer
als das Maximum aller tiefer liegenden Knotendaten des Zweiges bzw. kleiner als das
Minimum der tiefer liegenden Knotendaten.
3.3. Partikelverfolgung
Bei der Partikelverfolgung ist zwischen Bahnlinien (Weg eines masselosen Partikels
durch ein zeitabhängiges Strömungsfeld) sowie Stromlinien (Kurve, deren Tangenten
dem Geschwindigkeitsvektor zu einem gegebenen Zeitpunkt entsprechen, bzw. der
Weg eines masselosen Partikels durch ein stationäres Strömungsfeld) zu unterscheiden.
Hier wurde nur die Berechnung von Stromlinien implementiert. Stromlinien werden

im einfachsten Fall mathematisch durch die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung
(3) beschrieben.
r
ti
dx
r r
= v( x,
t)
(3)
dt
∫ + 1
r r r r
⇒ xi
+ 1
= xi
+ v(
x,
t)
dt
Die Lösung von (3) erfolgt mit Runge-Kutta-Verfahren höherer Ordnung und adaptiver
Zeitschrittweitensteuerung, wie sie z.B. in [4] beschrieben sind. Bei Baumdatenstrukturen
ist besonders darauf zu achten, dass nicht durch zu große Schrittweiten Zellen
übersprungen werden. Bei balancierten Bäumen ist die minimale Kantenlänge einer
benachbarten Zelle die Hälfte der Kantenlänge der aktuell betrachteten Zelle. Dieser
Wert wird dann als maximal zulässiger Weg eines Partikels pro Zeitschritt festgelegt.
3.4. Erzeugung von Schnittebenen
Orthogonale Schnittebenen von Octrees lassen sich schnell erstellen, indem beim Traversieren
des Baumes zunächst eine Liste mit allen geschnittenen Leave-Zellen gefüllt
wird. Der Test, welche Kindzelle von der gesuchten Schnittebene durchdrungen wird,
erfolgt sehr effizient mit Hilfe der in 2.1 beschriebenen Bit-Operationen. Diese Liste wird
anschließend durchlaufen, um die Knoten des so entstandenen Zellsatzes zu erzeugen
und die zugehörigen Knotendaten zu interpolieren.
Beliebig orientierte Schnittebenen sind nicht implementiert, weil dafür die im nächsten
Abschnitt beschriebenen Slice-Probes hinsichtlich Rechenzeit effizienter sind.
ti
4 Abbildung der Daten auf Probe-Objekten
Probes sind eine Menge geordneter Punkte in Form von Linien, Ebenen oder Hexaeder,
an denen Daten abgebildet werden. Probes können aber auch komplexerere Geometrien
wie die Oberfläche eines Möbelstücks beschreiben. Meist werden Vektorglyphen
an den Probes abgebildet. Beliebig orientierte Schnittebenen lassen sich effizienter in
Form von Slice-Probes implementieren, da im Gegensatz zur herkömmlichen Schnittebenenbildung
die rechenintensive Ermittlung der Verschneidung der Ebene mit den
Kanten der Zellen entfällt (siehe Abb. 6).
Nur Interpolation
an den Probes
Zusätzliche
Berechnung der
Verschneidung
mit den Kanten
Abb. 6: Ermittlung von Schnitten auf Probe Objekten im Vergleich zur
herkömmlichen Schnittebenenerzeugung

Probes lassen sich gewinnbringend in echtzeitfähigen Virtual Reality Systemen einbringen,
indem man die geometrische Ausdehnung der Probes auf das Blickfeld des Betrachters
reduziert, womit auch wesentlich besser lokale Effekte im Strömungsfeld erkennbar
werden, wie z.B. der Hufeisenwirbel in Abb. 7.
Abb. 7: Probes als Saatpunkte einer Partikelverfolgung
5 Aspekte zur Implementierung
Bei der objektorientierten Implementierung wurde soweit wie möglich Wert auf eine
Kapselung der Aufbereitungsalgorithmen und der Baumdatenstrukturen gelegt.
Die Klassen vfv_quadtree (alle Klassen tragen in diesem Kontext den Präfix vfv_ für
VirtualFluidsVis, eine Visualisierungsbibliothek, für den am Lehrstuhl entwickelten
Strömungssimulator VirtualFluids) bzw. vfv_octree stossen die Visualisierungsalgorithmen
an, geben diesen den Zugriff auf ihre Zellen und führen die erforderlichen Dateninterpolationen
aus.
Sämtliche Visualisierungsalgorithmen sind von der Basisklasse vfv_module abgeleitet
und beinhalten die spezifischen Funktionen des jeweiligen Aufbereitungsalgorithmus
(z. B. sind Runge-Kutta-Operatoren in vfv_streamline implementiert). Die Klasse verwaltet
die Speicherbereiche für die Ergebnisse der Aufbereitungsfunktionen (Arrays von
Knoten und Knotendaten sowie Indexlisten zur Beschreibung von Linien bzw. Dreiecken,
Vierecken, etc.) und liefert Interfacefunktionen zu diversen Rendering Programmen.
Die beschriebenen Algorithmen wurden auf diese Weise in das Framework von
AVS/Express [5] integriert, womit die dort vorhandenen Werkzeuge zur visuellen Programmierung
und die Modulbibliothek (inklusive leistungsfähiger OpenGL basierter

Viewer) eine schnelle Programmentwicklung (Rapid Application Development) ermöglichen.
6 Zusammenfassung und Ausblick
Durch die Verwendung von hierarchischen Datenstrukturen wird eine Verringerung der
Gitterzellen der zugrunde liegenden Diskretisierung erreicht, die auch bei den Algorithmen
zur Aufbereitung der Daten in der Visualisierung genutzt werden kann. Baumdatenstrukturen
bilden zwar die Grundlage für eine Reihe von Optimierungen dieser Verfahren
(siehe Isoflächen), jedoch ist zu beachten, dass diese Vorteile i.d.R. mit einem
sehr hohen Speicheraufwand erkauft werden müssen.
Weitere Algorithmen wie z.B. die Faltungsintegraltechnik [6] werden bald implementiert.
Weiterhin ist die Integration der beschriebenen Algorithmen in das System VirtualFluidsVis
[7] geplant, in dem Berechnungsergebnisse und CAD-Daten kombiniert visualisiert
werden können.
Literatur
[1] A. Frank: Organisationsprinzipien zur Integration von geometrischer Modellierung,
numerischer Simulation und Visualisierung, Dissertationsschrift, Institut für
Informatik, TU München (2000)
[2] M. Krafczyk: Gitter-Boltzmann Methoden: Von der Theorie zur Anwendung, Habilitationsschrift,
Lehrstuhl für Bauinformatik, TU München (2001)
[3] W. Lorensen and H. Cline: Marching Cubes: A High Resolution Surface Reconstruction
Algorithm, Computer Graphics, 21 (4), S.163-169 (1987)
[4] P. Deuflhard, F. Bornemann:, Numerische Mathematik II, Integration gewöhnlicher
Differentialgleichungen, Walter de Gruyter Lehrbuch (1994)
[5] Advanced Visual Systems Inc.: Using AVS/Express, Benutzerdokumentation zu
AVS/Express, (1998)
[6] D. Stalling, H.C. Hege: Fast and Resolution Independent Line Integral Convolution,
SIGGRAPH, Computer Graphics Proceedings, S.249-256 (1995)
[7] S. Kühner, M. Krafczyk: VirtualFluids - An environment for integral visualization
and analysis of CAD and simulation data, Vision, Modeling, and Visualization
2000, Proceedings, Saarbrücken (2000)