Arbeitsblatt 5: Das Geburtstagsparadoxon â Herleitung ... - idmthemen
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<strong>Arbeitsblatt</strong> 5: <strong>Das</strong> <strong>Geburtstagsparadoxon</strong> – <strong>Herleitung</strong> einer<br />
Berechnungsformel<br />
Da<br />
gilt, müssen wir zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit des<br />
Ereignisses berechnen.<br />
Ereignis: Mindestens zwei von Personen haben den gleichen<br />
Geburtstag<br />
Gegenereignis: Alle n Personen haben an unterschiedlichen Tagen<br />
Geburtstag<br />
Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit:<br />
Angenommen wir haben eine Urne, in der Kugeln mit den Nummern von 1 bis 365<br />
liegen.<br />
Dabei steht jede Zahl für einen bestimmten Tag. 1 steht für den 1.Jänner, 2 für den<br />
2.Jänner, …, und 365 steht für den 31.Dezember. n Personen ziehen nun der Reihe<br />
nach eine Kugel (eine Zahl) und legen diese dann wieder zurück.<br />
Wir wollen uns nun die Wahrscheinlichkeit überlegen, dass bei n Personen alle<br />
Personen eine unterschiedliche Zahl gezogen haben (das entspricht der<br />
Gegenwahrscheinlichkeit vom Geburtstagsproblem). Die folgende Grafik zeigt ein<br />
Baumdiagramm für Personen:<br />
Überlege dir die folgenden Berechnungen und versuche anschließend eine<br />
allgemeine Rechenvorschrift für n Personen anzuschreiben.<br />
Wahrscheinlichkeit von 4 unterschiedlichen Zahlen:<br />
Wahrscheinlichkeit von 5 unterschiedlichen Zahlen:<br />
Wahrscheinlichkeit von 6 unterschiedlichen Zahlen:
Wie lautet die Rechenvorschrift der Gegenwahrscheinlichkeit bei n Personen<br />
Kannst du die Rechenvorschrift auch mit dem Produktsymbol<br />
anschreiben<br />
Hinweis:<br />
Es gilt<br />
und somit für :<br />
Wahrscheinlichkeit, dass bei n Personen jede/r eine Zahl (von 1 bis 365) zieht, die<br />
zuvor noch nicht vorgekommen ist:<br />
Die Formel für die Wahrscheinlichkeit<br />
lautet also: