Einführung in die Didaktik der Mathematik - idmthemen - PBworks

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Didaktik der Mathematik

1

Einführung in die

Didaktik der Mathematik

Markus Hohenwarter, JKU Linz


Didaktik der Mathematik

Einführung in die

Didaktik der Mathematik

2

Inhalte

1. Was ist / soll

Mathematikdidaktik

2. Warum Mathematikunterricht

3. Lernziele im

Mathematikunterricht

4. Lehrpläne in Österreich

5. Beispiel: Satzgruppe des

Pythagoras

6. Wie funktioniert Lernen

7. Didaktische Prinzipien

8. Begriffe erarbeiten

9. Sachverhalte erarbeiten

10. Algorithmen erarbeiten

11. Anwenden und Modellieren

12. Problemlösen

13. Rahmenbedingungen des MU

14. Unterrichtsplanung

15. Computereinsatz

am Beispiel DGS

16. Werkzeuge & Materialien


Didaktik der Mathematik

3

Organisatorisches

Prüfung

Schriftliche Prüfung über die Inhalte der Vorlesung

Besten Dank an

Prof. Jürgen Roth (Universität Koblenz-Landau) für seine

Vorlesungsunterlagen „Fachdidaktische Grundlagen“, die als

Grundlage für diese Folien dienten

Prof. Karl Fuchs (Universität Salzburg) und Prof. Wolfgang

Schlöglmann (JKU Linz) für ihre Vorlesungsunterlagen

„Einführung in die Didaktik der Mathematik

Sigbjorn Hals (Norwegen) für seine Beispiele zum Thema

„Problem Solving“


Didaktik der Mathematik

4

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Was ist / soll Mathematikdidaktik


Didaktik der Mathematik

5

Was ist Didaktik

Didaktik

gr. didaktikós „lehrhaft“, gr. didáskein „lehren“

„Lehre vom Lehren und Lernen“

Im engeren Sinn: Theorie des Unterrichts

Im weiteren Sinn: Theorie und Praxis des Lehrens und Lernens

Mathematik-Didaktik

Fachdidaktik für Mathematik

Lehre vom Lehren und Lernen mathematischer Inhalte

Für uns: bezogen auf das Unterrichtsfach Mathematik

in der Unter- und Oberstufe (5. – 12. Schulstufe)


Didaktik der Mathematik

Erwartungen an die

Mathematikdidaktik

6

Unterricht strukturieren

Sinnvolle Vermittlung von

Inhalten

Zeitmanagement

Welche Inhalte wie lange

Medieneinsatz

Literaturverarbeitung

Wahl der Sozialform

(Gruppenarbeit, …)

Unterrichtsmethoden

Inhaltsspezifische

Schülerschwierigkeiten

Altersgerechte Methoden

Praktische Beispiele

Umgang mit individueller

Begabung

Interessante

Unterrichtsgestaltung (Mathe

soll nicht langweilig sein!)


Didaktik der Mathematik

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Was ist Mathematikdidaktik

Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1981 6 , S. 2

Mathematik

Pädagogik

Mathematikdidaktik

ist die

Bezugswissenschaft

für Mathematiklehrkräfte

Psychologie

Unterrichtspraxis

Schulwirklichkeit


Didaktik der Mathematik

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Bezugswissenschaften

Pädagogik

gr. paideia ”Erziehung”, gr. pais “Kind”, gr. agein “führen”

Bildungswissenschaft und Erziehungswissenschaft

Theorie und Praxis von Bildung und Erziehung

Psychologie

gr. psyche „Seele“, „Gemüt“

empirische Wissenschaft, beschreibt und erklärt:

Erleben, Empfinden und Verhalten des Menschen,

seine Entwicklung im Laufe des Lebens und

dafür maßgebliche innere und äußere Ursachen und Bedingungen.

(Wikipedia: Psychologie)


Didaktik der Mathematik

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Deskriptiv & Normativ

Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft

von der Entwicklung praktikabler Kurse

für das Lernen im Bereich Mathematik sowie

der praktischen Durchführung und

der empirischen Überprüfung der Kurse.

Mathematikdidaktik ist deskriptiv und normativ

Deskriptiv: sie untersucht und beschreibt den

Mathematikunterricht

Normativ: sie trifft aber auch Aussagen darüber, wie der

Mathematikunterricht gestaltet werden soll


Didaktik der Mathematik

10

Fragen der Didaktik

Führer: Pädagogik des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1997, S. 14

Didaktik ist der Versuch, folgende Frage im Hinblick

auf Lehren, Lernen und Unterricht zu beantworten:

Wer

soll was

mit wem

wie lange,

wie intensiv

und mit welcher Hilfe

zu welchem Zweck

und warum

tun


Didaktik der Mathematik

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Stoffdidaktik – Was

Was ist der Stoff, wie lässt er sich behandeln

Elementarmathematik

Beispiel: Welche Beweise gibt es für den Satz des Pythagoras

Analyse von Lernvoraussetzungen

Beispiel: Welche stofflichen Voraussetzungen gibt es für die

Behandlung des Gleichsetzungsverfahrens für lineare

Gleichungssysteme

Unterrichtsplanung: In welcher Reihenfolge baut man die Dinge

auf, was ist unerlässlich, was optional

Beispiel: Braucht man die binomischen Formeln

Entwicklung von Materialien

Arbeitsblätter, Tests, Schulbücher, Lernsoftware


Didaktik der Mathematik

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Methodik – Wie

Wie kann man ein mathematisches Thema unterrichten

Wahl von Einstiegen, Sozialformen, Lernformen

Stellung von Arbeitsaufträgen, Erklärungen

Ergebnissicherung, Übungsformen

Computereinsatz

Formen der Diagnose und Leistungsbeurteilung

SE Methodik des Mathematikunterrichts

Barzel, Büchter, Leuders (2007):

Mathematik Methodik - Handbuch

für die Sekundarstufe I und II.

Cornelsen Verlag, Berlin


Didaktik der Mathematik

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Lehr- und Lernforschung

Was weiß man aus (empirischen) Untersuchungen zum Lernen

von Mathematik

Bedingungsfaktoren für hohe Lernfortschritte

Leistungsstudien (PISA, TIMMS,…)

Schülervorstellungen, Lernschwierigkeiten

Motivationslage, Geschlechterdifferenz


Didaktik der Mathematik

14

Theorie und Praxis

Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1981, S. 7

Sag Freund,

was ist denn

Theorie

Wenn‘s stimmen soll

und stimmt doch nie!

Und was

ist Praxis

Frag nicht dumm!

Wenn‘s stimmt und

keiner weiß warum.


Didaktik der Mathematik

15

Mathematikdidaktische

Forschung

Schoenfeld: Purposes and Methods of Research in Mathematics Education, 2000

Research in Mathematics education has two main purposes,

one pure and one applied.

Pure (Basic Science)

To understand the nature of mathematical thinking, teaching,

and learning;

Applied (Engineering):

To use such understandings to improve mathematics

instruction.


Didaktik der Mathematik

16

Mathematik und Didaktik

Mathematik

Bertrand Russell has defined mathematics as the science in which

we never know what we are talking about or whether what we are

saying is true. Mathematics has been shown to apply widely in

many other scientific fields. Hence, most other scientists do not

know what they are talking about or whether what they are saying

is true.

Joel Cohen, “On the nature of mathematical proofs”

Mathematik-Didaktik

There are no proofs in mathematics education.

Henry Pollak


Didaktik der Mathematik

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What Works

Schoenfeld: Purposes and Methods of Research in Mathematics Education, 2000

Vorsicht bei "What Works" Fragen und Antworten

Suppose one wants to address the question “Do students learn as

much mathematics in large classes as in small classes”

One must immediately ask, “What counts as mathematics How

much weight will be placed (say) on problem solving, on

modeling, or on the ability to communicate mathematically”

Judgments concerning the effectiveness of one form of instruction

over another will depend on the answers to these questions.

To put things bluntly, a researcher has to know what to look for

and what to take as evidence of it before being able to determine

whether it is there.


Didaktik der Mathematik

18

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Warum Mathematikunterricht


Didaktik der Mathematik

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Beitrag zur Allgemeinbildung

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Aufgaben allgemeinbildender Schulen

Lebensvorbereitung

Stiftung kultureller Kohärenz

Aufbau eines Weltbildes

Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch

Förderung von Phantasie und Kreativität

Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft

Stärkung des Schüler-Ichs


Didaktik der Mathematik

20

Lebensvorbereitung

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Arithmetik

sicheres Beherrschen

der Grundrechenarten

Umgang mit Größen

(und Größenordnungen)

Beherrschen der Dezimalbrüche

Prozentrechnung /

Zinsrechnung

ein wenig Schlussrechnung /

„Gefühl“ für Zahlen

Einführung in den Gebrauch

des Taschenrechners

Geometrie

elem. Formen- und Körperlehre

visuellen Darstellung von

Größen und -verhältnissen

(Schaubilder, Diagramme)

Elementare Stochastik

Daten erfassen, darstellen und

interpretieren

Aussagen über Wahrscheinlichkeiten

treffen und verstehen

Umgang

des Lehrers mit Schülern

der Schüler untereinander

mit der Mathematik


Didaktik der Mathematik

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Stiftung kultureller Kohärenz

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Volksschule und Unterstufe (Sekundarstufe I)

Durchschnittliche Eltern müssen verstehen oder sich

mit ihren Kindern darüber verständigen können, was

diese im Fach Mathematik lernen.

Negativbeispiel

Überstürzte Einführung der “Neuen Mathematik

(Stichwort: Mengenlehre)


Didaktik der Mathematik

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Aufbau eines Weltbildes

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Umwelterschließung

Mathematik als Strukturierungsmittel zum

besseren und tieferen Verstehen der Umwelt.

Anwendungsorientierung

Mathematik als Mittel zum Problemlösen.

Ausgang vom Problem

Prozess der Mathematisierung und Modellierung

„Der zentrale Beitrag des Mathematikunterrichts zum Aufbau eines

Weltbildes liegt in der Ermöglichung von Erfahrungen, wie

Mathematik als Strukturierungsmittel zur Deutung, zum besseren

Verständnis und zur Beherrschung primär nicht-mathematischer

Phänomene herangezogen werden kann.“


Didaktik der Mathematik

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Anleitung zum kritischen

Vernunftgebrauch

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

„Verstehen lehren“ (Wagenschein)

„sokratische Gespräche“

Reflexion

„Sprechen über Mathematik

Was wäre wenn …

Verstehen des

Verstehbaren ist ein

Menschenrecht.

Propädeutik des mathematischen Modellierens

Mathematik ist eine von Menschen gedanklich konstruierte

„Wirklichkeit“, die trotzdem keinen willkürlichen Charakter hat,

sondern von Notwendigkeiten geprägt ist und „Entdeckungen“

zulässt.

Es gibt eine Übereinstimmung zwischen unserem mathematischen

Denken und unseren Alltagserfahrungen.

Nicht alles, was wichtig ist in der Welt, lässt sich mathematisch

modellieren.


Didaktik der Mathematik

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Spielerischer Umgang mit Mathematik

Konkretes Arbeiten mit Material

„Be-greifen“

Problemlösen

Beschäftigung mit Problemaufgaben

(allein, mit Partner, in der Gruppe)

Phantasie und

Kreativität fördern

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

„Im günstigsten Falle werden Phantasie und Kreativität,

vergleichbar ihrer Rolle in künstlerisch-schöpferischen Prozessen,

als schweifend-kontrolliertes Erkunden von Möglichkeiten im

Rahmen selbstgesetzter (strenger) Voraussetzungen ausgeübt.“


Didaktik der Mathematik

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Entfaltung von Verantwortung

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Verantwortung für andere

gegenseitige Hilfe

Beratung und Lösungskontrolle

bei Partner- und Gruppenarbeit

Übernahme von Funktionen eines Tutors

beim binnendifferenzierten Unterricht

Verantwortung für den eigenen Lernprozess

Muss sich im Laufe eines

Schullebens sukzessive steigern.


Didaktik der Mathematik

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Stärkung des Schüler-Ichs

Heymann: Allgemeinbildender Mathematikunterricht. Mathematik lehren 33, 1989, S. 4ff

Vertrauen in die Kraft des eigenen Denkens entwickeln

Dies schließt die Fähigkeit zur Selbstkritik ein!

Wichtig

Erst durch eine Ausbalancierung der genannten schulischen

Aufgaben wird Allgemeinbildung möglich.

Neben den genannten Aufgaben hat die Schule weitere

Funktionen:

Lebensraum, Testfeld für die Heranwachsenden

„Aufbewahrende“ Funktion

Funktion der „Auslese“


Didaktik der Mathematik

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Grunderfahrungen (Winter)

Winter : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der DMV, Nr. 2 (1996), S. 35-41

Im Internet: http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/db/46/muundallgemeinbildung.pdf

Mathematikunterricht sollte drei Grunderfahrungen ermöglichen:

Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder

angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer

spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,

mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in

Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige

Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art

kennen zu lernen und zu begreifen,

in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten,

die über die Mathematik hinaus gehen, (heuristische Fähigkeiten)

zu erwerben.


Didaktik der Mathematik

28

Mathematik als …

Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sek. Spektrum, 2001, S. 10ff

allgemeinbildendes Fach

Entfaltung der Persönlichkeit

Umwelterschließung

Teilhabe an der Gesellschaft

Vermittlung von Normen und

Werten

qualifizierendes Fach

Berufsreife

Hochschulreife

authentisches Fach

Was ist Mathematik

Wie entsteht Mathematik

Was kann man mit Mathematik

anfangen


Didaktik der Mathematik

29

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Lernziele im Mathematikunterricht


Didaktik der Mathematik

30

Allgemeine Ziele

Bigalke In: Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg, 1981, S. 2

Allgemeine Ziele des Mathematikunterrichts

Förderung des wissenschaftlichen Denkens und Arbeitens

Förderung des logischen Denkens

Förderung der Bereitschaft und Fähigkeit zum Argumentieren,

Kritisieren und Urteilen

Förderung geistiger Initiative, Phantasie und Kreativität

Förderung des Anschauungsvermögens

Förderung des sprachlichen Ausdrucksvermögens

Förderung der Fähigkeit, Mathematik anwenden zu können.


Didaktik der Mathematik

31

Lernzielhierarchie

Lehrpläne

Standards

Lernziele

Unterrichtsfach

Mathematik

Inhalte des

Mathematikunterrichts

Allg. Ziele

Grobziele

Feinziele

Lehrerin

Lehrer


Didaktik der Mathematik

32

Taxonomie der Lernziele

nach Bloom

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998, S. 66ff

kognitive Lernziele

kognitiv (lat.)

die Erkenntnis betreffend

affektive Lernziele

affektiv (lat.)

das Gefühl betreffend

psychomotorische Lernziele

psychomotorisch (lat.)

vom Gehirn gesteuerte

Bewegungen betreffend

Taxonomie [griechisch táxis „(An)ordnung“ und nómos „Gesetz“]


Didaktik der Mathematik

33

Kognitive Lernziele Bloom

K

O

M

P

L

E

X

I

T

Ä

T

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998, S. 66ff

Wissen

Kenntnis von Fakten oder Verfahren

Verstehen

Informationen aufnehmen, übertragen,

interpretieren und verallgemeinern

Anwenden

allgemeine Regeln und Verfahren

in speziellen Situationen anwenden

Analyse

Informationen so in Teile zerlegen, dass

Beziehungen und Strukturen deutlich werden

Synthese

Teile zu einem neuen Ganzen zusammensetzen

Bewertung

Materialien und Methoden beurteilen


Didaktik der Mathematik

Operationalisierung

von Lernzielen (Mager)

34

Kriterien

Eindeutige Beschreibung des angestrebten Verhaltens

Angabe der Voraussetzungen und Bedingungen

unter denen das Verhalten gezeigt werden muss

Angabe eines Beurteilungsmaßstabes

für die Güte des Endverhaltens

(Insbesondere Angabe, eines noch akzeptablen Verhaltens.)

Anliegen

Lernerfolg objektiv überprüfbar machen

Lernenden offen legen, was sie nach

dem Unterricht können sollen


Didaktik der Mathematik

Operationalisierung

von Lernzielen (Mager)

35

Vorteile

Wirkt dem Missverständnis

von Lernenden entgegen,

dass Inhalte mehr oder weniger

auswendig gelernt werden

sollen.

Schüler lernen effektiver,

wenn sie wissen, was sie

lernen sollen.

Der Lehrer kann besser

zwischen leistungsstärkeren

und leistungsschwächeren

Schülern differenzieren.

Gerade wichtige Lernziele

sollten genau spezifiziert

werden.

Nachteile

Präzisierte (vorgegebene)

Lernziele schränken die

Lehrfreiheit des Unterrichtenden

erheblich ein.

Energisch zielbestimmter

Unterricht nimmt den Lernenden

die Mitbestimmungsmöglichkeit.

Das leicht prüfbare ist oft auch

das weniger wichtige Wissen

und Können.

Beobachtbares wird zu stark

betont Gefahr andere nicht

beobachtbare Ziele aus den

Augen zu verlieren.


Didaktik der Mathematik

36

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Lehrpläne in Österreich


Didaktik der Mathematik

37

Lehrplanstruktur

Allgemeinbildende (AHS) und berufsbildende (BHS) höhere Schulen

AHS: Gymnasium, Realgymnasium, Oberstufenrealgym. (ORG)

BHS: Berufsbildende Oberstufenschulen wie HAK, HTL, etc.

Struktur der Lehrpläne

1. Allgemeines Bildungsziel (vgl. „Warum Mathematikunterricht“)

2. Allgemeine didaktische Grundsätze

3. Schul- und Unterrichtsplanung

4. Stundentafel

5. Lehrpläne der einzelnen Unterrichtsgegenstände

Quellen

Unterrichtsministerium: www.bmukk.gv.at

Bildung und Schulen, Unterricht und Schule, Lehrpläne

AHS und HS: www.gemeinsamlernen.at


Didaktik der Mathematik

38

Teil 1: Allgemeines Bildungsziel

HTL Elektrotechnik

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/


Didaktik der Mathematik

39

Teil 2: Didaktische Grundsätze

http://www.gemeinsamlernen.at/

Der Lehrplan gibt Ziele vor. Im Sinne ihrer eigenständigen und

verantwortlichen Unterrichts- und Erziehungsarbeit haben die

Lehrerinnen und Lehrer ...

die Auswahl der Unterrichtsinhalte und Unterrichtsverfahren zur

Erreichung dieser Ziele vorzunehmen,

im Unterricht Lernsituationen zu gestalten und Lernprozesse

einzuleiten und zu unterstützen,

vielfältige Zugänge zum Wissen zu eröffnen und auch selbst

Informationen anzubieten,

Gelegenheiten zu schaffen, Können zu entwickeln und

anzuwenden sowie Erfahrungen und Eindrücke zu gewinnen.


Didaktik der Mathematik

40

Didaktische Grundsätze

http://www.gemeinsamlernen.at/

Bei der Planung und Durchführung des Unterrichts sind

insbesondere folgende Grundsätze zu beachten ...

Anknüpfen an die Vorkenntnisse und Vorerfahrungen der

Schülerinnen und Schüler

Interkulturelles Lernen

Integration

Förderung durch Differenzierung und Individualisierung

Förderunterricht

Stärken von Selbsttätigkeit und Eigenverantwortung

Herstellen von Bezügen zur Lebenswelt

Bewusste Koedukation und Geschlechtssensible Pädagogik

Sicherung des Unterrichtsertrages und Rückmeldungen;

Leistungsbeurteilung


Didaktik der Mathematik

Individualisierung

Förderunterricht

41

Förderung durch Differenzierung und Individualisierung

Differenzierte Lernangebote und Zugänge

Individuelle Arbeitszeit

Unterschiedlicher Betreuungsbedarf

Stärken und Schwächen bewusst machen

Sozialformen: Einzel-, Partner-, Gruppenarbeit

Offenes Lernen, Wahlmöglichkeiten

Förderunterricht

Zusätzliches Lernangebot für schwache Schüler

Wiederholung und Einübung des Stoffes

Keine Erweiterung, Ergänzung oder Vertiefung!


Didaktik der Mathematik

Selbsttätigkeit

Lebenswelt

42

Stärken von Selbsttätigkeit und Eigenverantwortung

Projektartige und offene Lernformen

Selbstständige Formen des Lernens

Kritisches und eigenverantwortliches Denken

Schüler sollen sich selbst einschätzen lernen

Vermittlung von Lerntechniken

Herstellen von Bezügen zur Lebenswelt

Zeit- und lebensnahe Themen

Begegnungen mit Fachleuten, außerschulische Lernorte


Didaktik der Mathematik

Sicherung des

Unterrichtsertrages

43

Sicherung des Unterrichtsertrages und Rückmeldungen

Außerschulische „Nachhilfe“ sollte nicht notwendig sein

Zusammenhang zwischen Neuem und bereits Gelerntem

Hausübungen

Detaillierte Rückmeldung über erreichte Leistung

Leistungsbeurteilung

Gesamtkonzept der Rückmeldung und Leistungsfeststellung muss

Schülern und Erziehungsberechtigten bekannt gegeben werden

Mehr zur Leistungsfeststellung im Rahmen der Übungsphase des

2. Studienabschnitts in den Lehrveranstaltungen

„PS Unterrichten und Beurteilen“ (Pädagogik) und

„SE Schulpraktisches Seminar II“ (Mathematik Didaktik)


Didaktik der Mathematik

Teil 3: Schul- und

Unterrichtsplanung

44

Schul- und Unterrichtsplanung

Unterrichtsplanung der Lehrerinnen und Lehrer

Kern- und Erweiterungsbereich

Schulautonome Lehrplanbestimmungen

Leistungsfeststellung

Fächerverbindender und fächerübergreifender Unterricht

Gestaltung der Nahtstellen

Öffnung der Schule

Betreuungsplan für ganztägige Schulformen


Didaktik der Mathematik

Fächerübergreifender Unterricht

Nahtstellen

45

Fächerübergreifender Unterricht

Erwünscht aber in Praxis oft schwierig

Zeit: zwei Lehrpersonen notwendig

Richtige Kollegin für Zusammenarbeit

Ausnahme: Personalunion

Team Teaching

z.B. bei Kooperation Oberstufenschule - neue Mittelschule

Gestaltung der Nahtstellen

Übergang von Volksschule ins Gymnasium (Klassenvorstand)

Leistungsfeststellung erst nach Eingewöhnungsphase

Übertritt von 4. Klasse Gymnasium in BORG, HTL, HAK, usw.


Didaktik der Mathematik

46

Unterrichtsplanung

Unterrichtsplanung der Lehrerinnen und Lehrer

Aufgrund des Lehrplans und schulautonomer

Lehrplanbestimmungen

Kernbereich und allgemeines Bildungsziel verbindlich

Erweiterungsbereich auch fächerübergreifend

Unterrichtsplanung umfasst

Lang-, mittel- und kurzfristige Planung

Gewichtung der Ziele und Inhalte

Methoden

Lehrmittel und Medien

Mehr dazu im Kapitel „Unterrichtsplanung“


Didaktik der Mathematik

47

Kern- und Erweiterungsbereich

Kern- und Erweiterungsbereich

in der AHS Unterstufe, also 5.-8. Schulstufe

Kernbereich

2/3 der Unterrichtszeit für Kernbereich

Inhalte festgelegt im Abschnitt „Lehrstoff“ des AHS Lehrplans

Kernbereich und allgemeines Bildungsziel verbindlich

Erweiterungsbereich

1/3 der Unterrichtszeit für Erweiterungsbereich

Schwerpunkte der Schule und/oder der Lehrkraft

Erweiterungsbereich auch fächerübergreifend


Didaktik der Mathematik

Teil 4: Stundentafel

Gymnasium Unterstufe

48

Gymnasium Unterstufe

Schulautonome

Lehrplanbestimmungen

13-18 Wochenstunden

Min. 13 Stunden

4, 3, 3, 3

Keine Schulautonomie:

14 Stunden

4, 4, 3, 3

Max. 18 Stunden

5, 5, 4, 4


Didaktik der Mathematik

Stundentafel

Realgymnasium Unterstufe

49

Realgymnasium

Schulautonome

Lehrplanbestimmungen

Gesamtstundenrahmen

14-20 Wochenstunden

Min. 14 Stunden

4, 4, 3, 3

Max. 20 Stunden

5, 5, 5, 5

Wirtschaftskundliches

Realgymnasium

13-18 Wochenstunden

wie AHS Unterstufe


Didaktik der Mathematik

Stundentafel

AHS Oberstufe

50

AHS Oberstufe

Mind. 2 Wochenstunden

pro Klasse

Gymnasium Oberstufe

Mind. 11 Stunden

Klassisch 12: 3, 3, 3, 3

Gymansium Oberstufe

Realgymnasium Oberstufe

Mind. 13 Stunden

Klassisch 14: 4, 4, 3, 3

ORG Oberstufe

Mind. 12-13 Stunden


Didaktik der Mathematik

51

Stundentafel

HTL Elektrotechnik

http://www.htl.at/de/home/lehrplaene.html


Didaktik der Mathematik

52

Stundentafel HAK

Handelsakademie

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/


Didaktik der Mathematik

53

Stundentafel BAKIP

Kindergartenpädagogik

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/


Didaktik der Mathematik

54

Stundentafeln

Unterstufe: 5.-8. Schulstufe

Gesamtstunden Mathematik

Gymnasium Unterstufe 13 – 18

Realgymnasium Unterstufe 14 – 20

Oberstufe: 9.-13. Schulstufe

Gesamtstunden Mathematik

Gymnasium Oberstufe Mind. 11

Realgymnasium Oberstufe Mind. 13

HTL Elektrotechnik 16

HAK 10

BAKIP 8


Didaktik der Mathematik

55

AHS Unterstufe

Fachlehrplan Mathematik

AHS Unterstufenlehrplan Mathematik 2000, http://www.bmukk.gv.at/

Struktur

Bildungs- und Lehraufgabe

Didaktische Grundsätze

Lehrstoff

Lehrstoffeinteilung für alle Klassen der AHS Unterstufe

Arbeiten mit Zahlen und Maßen

Arbeiten mit Variablen

Arbeiten mit Figuren und Körpern

Arbeiten mit Modellen, Statistik


Didaktik der Mathematik

56

Mathematische Grundtätigkeiten

AHS Unterstufe

Bildungs- und Lehraufgabe

Produktives Arbeiten: Analysieren, Verallgemeinern, Anwenden

Argumentieren: Definieren, Beweisen

Kritisches Denken: Überprüfen von Vermutungen

Darstellen und Interpretieren

AHS Unterstufenlehrplan Mathematik 2000, http://www.bmukk.gv.at/

Beitrag zu den Aufgabenbereichen der Schule

Erscheinungen der Welt um uns in fachbezogener Art

wahrzunehmen und zu verstehen

Problemlösefähigkeiten zu erwerben, die über die Mathematik

hinausgehen


Didaktik der Mathematik

57

AHS Unterstufe

Didaktische Grundsätze

Didaktische Grundsätze für Mathematik in der AHS Unterstufe

Situationsbezogenes und verständnisvolles Lernen

Unterrichtsformen

Motivation

Unterrichten in Phasen, Vernetzung, Querverbindungen

Individualisierung und Differenzierung

Lesen mathematischer Texte, Fachsprache

Aufgabenstellungen

Arbeiten mit dem Taschenrechner und dem Computer

Historische Betrachtungen

AHS Unterstufenlehrplan Mathematik 2000, http://www.bmukk.gv.at/


Didaktik der Mathematik

58

Spiralprinzip

Spiralprinzip als

Leitprinzip des AHS

Unterstufenlehrplans

Heymann: Allgemeinbildung und Mathematik, Beltz, 1996, S. 173-182

Prinzip

des vorwegnehmenden Lernens

der Fortsetzbarkeit

Zentrale Ideen des MU

Zahl

Messen

funktionaler

Zusammenhang

räumliches

Strukturieren

Daten und Zufall

Algorithmus

mathematisches

Modellieren


Didaktik der Mathematik

59

AHS Unterstufe Lehrstoff

Kernbereich

AHS Unterstufenlehrplan Mathematik 2000, http://www.bmukk.gv.at/

Zahlen & Maße Variablen Figuren & Körper Modelle & Statistik

1

• Natürliche Zahlen

• Brüche & Dezimalzahlen

• Umwandeln von Maßen

• Einfache lineare Gleichungen

und Formeln

• Rechteck (Fläche, Umfang)

• Quader (Netz, Volumen,

Oberfläche)

• Kreis, Winkel zeichnen

• Direkte Proportionalität

(Zeit-Weg)

• Tabellen für Daten

2

• Teilbarkeitsregeln

• Bruchrechnen

• Prozentrechnen

• Lineare Gleichung mit einer

Variablen lösen

• Dreiecke, Vierecke und

regelmäßige Vielecke

konstruieren

• Kongruente Figuren

• Strecken- und

Winkelsymmetrale

• Indirekte Proportionalität

• Relative Häufigkeiten

• Graphische Darstellungen

3

• Negative Zahlen,

Zahlengerade

• Koordinatensystem

• Potenzschreibweise

• Lineare Gleichungen mit einer

Variablen

• Graphische Darstellungen

• Ähnliche Figuren

• Fläche von Dreiecken,

Vierecken

• Prisma, Pyramide

(Volumen, Oberfläche)

• Pythagoras in Ebene

• Lineares Wachstum

• Diagramme

4

• Irrationale Zahlen

• Genauigkeit

• Lineare Gleichungssysteme

mit zwei Variablen

• Funktionale Abhängigkeiten

und Intuitiver Funktionsbegriff

• Pythagoras im Raum

• Kreis: Umfang und Fläche

• Kreisbogen

• Zylinder, Kegel, Kugel

• Mittelwert, Median, Quartil

• Streudiagramm


Didaktik der Mathematik

AHS Oberstufe

Bildungs- und Lehraufgabe

60

AHS Oberstufenlehrplan Mathematik 2004, http://www.bmukk.gv.at/

Mathematische Kompetenzen

äußern sich im Ausführen von mathematischen Aktivitäten:

Darstellend – interpretierendes Arbeiten

Übersetzung zwischen Alltagssprache und Sprache der Mathematik

Innermathematischer Wechsel von Darstellungsformen

Formal – operatives Arbeiten

Algorithmen, Rechenmethoden

Experimentell – heuristisches Arbeiten

Suchen nach Gesetzmäßigkeiten, Variation von Parametern

Aufstellen von induktiv gewonnenen Vermutungen

Kritisch – argumentatives Arbeiten

Argumentieren, Begründen

Beweisen


Didaktik der Mathematik

AHS Oberstufe

Didaktische Grundsätze

61

AHS Oberstufenlehrplan Mathematik 2004, http://www.bmukk.gv.at/

Didaktische Grundsätze für Mathematik in der AHS Oberstufe

Lernen in anwendungsorientierten Kontexten

Lernen in Phasen

Heuristische Phase: anschaulich, intuitiv

Exaktifizierende Phase: vertiefend, verallgemeinernd

Lernen im sozialen Umfeld

Lernen unter vielfältigen Aspekten

Lernen mit instruktionaler Unterstützung

Lernen mit medialer Unterstützung

Bücher, Zeitschriften, elektronische Medien, Internet

Lernen mit technologischer Unterstützung

Computeralgebra-Systeme

Dynamische Geometrie-Software

Tabellenkalkulation


Didaktik der Mathematik

62

Lehrstoff verbindlich

AHS Oberstufe

Lehrstoff

Kursive Inhalte nur bei 4 (oder mehr) Pflichtstunden Mathematik

Stundentafeln Mathematik

AHS Oberstufenlehrplan Mathematik 2004, http://www.bmukk.gv.at/

Gymnasium: mind. 11 Stunden, klassisch: 3, 3, 3, 3

Realgymnasium: mind. 13 Stunden, klassisch: 4, 4, 3, 3

5. Klasse 6. Klasse 7. Klasse 8. Klasse

• Zahlen und

Rechengesetze

• Gleichungen und

Gleichungssysteme (2)

• Funktionen

• Trigonometrie

• Vektoren und

analytische Geometrie

der Ebene

• Potenzen, Wurzeln,

Logarithmen

• Folgen

• Gleichungen,

Ungleichungen,

Gleichungssysteme (3)

• Reelle Funktionen

• Analytische Geometrie des

Raumes

• Stochastik (W-keiten)

• Algebraische

Gleichungen und

komplexe Zahlen

• Differentialrechnung

• Nichtlineare analytische

Geometrie

(Kegelschnitte)

• Stochastik (Verteilungen)

• Integralrechnung

• Dynamische Prozesse

• Stochastik (Hypothesen)


Didaktik der Mathematik

63

Struktur

Bildungs- und Lehraufgabe

I. und II. Jahrgang für alle HTL gleich

HTL

Angewandte Mathematik

III. – V. Jahrgang speziell für jeweilige Fachrichtung

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/

I. Jahrgang II. Jahrgang

Algebra: Terme, Vektoren, lineare

Gleichungen, Ungleichungen

Numerisches Rechnen:

Zahlendarstellung, Abschätzen von

Ergebnissen

Funktionen: Interpolation,

direkte/indirekte Proportionalität

Geometrie: Planimetrie, Stereometrie,

Trigonometrie

Algebra und Geometrie: Vektoren, quadratische

Gleichungen, Exponentialgleichungen, Komplexe

Zahlen, Trigonometrie

Funktionen: quadratische Funktionen, Potenz- und

Wurzelfunktionen, Exponential- und logarithmische

Funktionen, trigon. Summensätze

Wirtschaftsmathematik: Zinseszinsrechnung,

lineare Optimierung

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik:

Häufigkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeit


Didaktik der Mathematik

64

Stundentafel Angewandte Mathematik

HTL Elektrotechnik: 16 Stunden, klassisch: 4, 4, 3, 3, 2

HTL Elektrotechnik

Lehrstoff

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/

III. Jahrgang IV. Jahrgang V. Jahrgang

Analysis: Folgen,

Grenzwert, Stetigkeit,

Differentialrechnung,

Integralrechnung,

Funktionen in zwei

Variablen

Numerische Mathematik:

Fehlerabschätzung,

numerische Methoden zum

Gleichungslösen,

Interpolation

Analysis: Potenzreihen,

Fourierreihen,

Differentialgleichungen

Lineare Algebra und

analytische Geometrie:

Matrizen, Determinanten,

Geraden und Ebenen,

Kegelschnitte, Algebraische

Strukturen

Wahrscheinlichkeitsrechnung

und Statistik: Verteilungen,

Statistik, Korrelation,

Regression,

Qualitätsmanagement

Aktuelle Themen der

angewandten Mathematik mit

besonderer Berücksichtigung

der Fachrichtung


Didaktik der Mathematik

65

HAK

Mathematik

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/

II. Jahrgang III. Jahrgang IV. Jahrgang V. Jahrgang

Basis

(Pflicht)

Zahlensysteme, Terme,

Potenzen

Funktionen

Gleichungen,

Ungleichungen

Matrizen

Statistik, Trendlinie

Trigonometrie

Wachstumsprozesse

Rekursive Folgen

Differenzengleichungen

Zinseszinsrechnung,

Rentenrechnung

Differenzialrechnung

Kosten- und

Preistheorie

Integralbegriff

Rentabilitätsrechnung

Investitionsrechnung

Statistik

Wahrscheinlichkeitsr

echnung

Erweiterung

Ungleichungssysteme

Vektoren

Dynamische Systeme

Kryptografie

Codierungstheorie

Integralrechnung

Aktienanalyse

Kombinatorik

Wirtschaftliche

Modelle

Lineare Optimierung

Firmenkonnex

Finanzmathematik

Investitionsrechnung

Expliziter IT Bezug; Stundentafel: 10 Stunden: 0, 3, 2, 3, 2


Didaktik der Mathematik

66

BAKIP

Mathematik

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/

1. Klasse 2. Klasse 3. Klasse 4. Klasse

Mengenlehre:

Zahlenmengen,

Exponenten,

Termumformungen

Gleichungen und

Ungleichungen: lineare

Gleichungen,

Bruchgleichungen,

quadratische

Gleichungen,

Koordinatensystem

Figuren in der Ebene:

Flächenberechnungen,

Pythagoras, Ähnlichkeit

Körper im Raum:

Oberfläche und Volumen

Vektoren

Potenzen: mit Exponenten

aus Q, Rechnen mit

Wurzeln

Funktionen: lineare

Funktionen,

Potenzfunktionen,

Wurzelfunktionen

Systeme von linearen

Gleichungen:

zwei Gleichungen mit zwei

Variablen, drei

Gleichungen mit drei

Variablen

Folgen: monotone und

beschränkte, Konvergenz

und Divergenz

Reihen

Winkelfunktionen:

Graphen, Auflösung von

rechtwinkeligen und

schiefwinkeligen

Dreiecken

Exponential-und

Logarithmusfunktion:

einfache Exponentialund

logarithmische

Gleichungen

Differentialrechnung:

Differentialquotient,

Differentiationsregeln

Kurvendiskussionen,

Extremwertaufgaben

Integralrechnung

Statistik

Datenpräsentation,

Mittelwerte,

Streuungsmaße,

Normalverteilung,

Korrelation

Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Baumdiagramm,

Binominalverteilung

Stundentafel: 8 Stunden: 2, 2, 2, 2, 0


Didaktik der Mathematik

67

Beispiel: Spiegelbild

Fragestellung

Wie verhält sich der Abstand

zwischen den beiden Linien zur

Höhe Ihres Kopfs

Wie verändert sich dieser Abstand

mit unterschiedlicher Entfernung

zum Spiegel

Wie groß muss der Spiegel sein,

damit Sie sich ganz im Spiegel

sehen können

Lehrplanbezug

Finden Sie einen geeigneten

Lehrplanbezug für dieses Beispiel

Spiegelbild

Punkt im Spiegel

Spiegelbild


Didaktik der Mathematik

68

Punkt im Spiegel


Didaktik der Mathematik

69

Spiegelbild


Didaktik der Mathematik

70

Ziele der standardisierten Reifeprüfung

Standardisierte Reifeprüfung

„Zentralmatura“

höchstmögliche Transparenz und Vergleichbarkeit der

Prüfungsanforderungen,

Objektivität, Vergleichbarkeit und somit Fairness der

Beurteilungsverfahren,

die nachhaltige Absicherung von Kompetenzen,

zuverlässige Aussagen über tatsächlich erworbenes Wissen und

Können,

erhöhte Studierfähigkeit,

die europaweite Vergleichbarkeit von Abschlüssen,

die Vereinfachung und Vereinheitlichung von Bestimmungen.

https://www.bifie.at/srdp


Didaktik der Mathematik

Standardisierte Reifeprüfung

Mathematik AHS ab 2013/14

71

https://www.bifie.at/node/1442

Grundkompetenzen zu vier Inhaltsbereichen

Algebra und Geometrie

Funktionale Abhängigkeiten

Analysis

Wahrscheinlichkeit und Statistik

Struktur der schriftlichen Reifeprüfung AHS Mathematik

Teil-1-Aufgaben (18-24 Aufgaben, 120 min)

Kurze Aufgaben zu Grundkompetenzen

keine Hilfsmittel erlaubt

Teil-2-Aufgaben (5-7 Aufgaben, 150 min)

Umfangreichere kontextbezogene und innermathematische Aufgaben

Formelsammlung & Technologie erlaubt

Ab 2018: Mindestanforderungen an Technologie: dynamische

Geometrie (DGS), Tabellenkalkulation (TK), Computeralgebra (CAS)


Didaktik der Mathematik

Standardisierte Reifeprüfung

Mathematik BHS ab 2014/15

72

https://www.bifie.at/node/81

Grundkompetenzen zu Inhaltsbereichen

Zahlen und Maße

Algebra und Geometrie

Funktionale Zusammenhänge

Analysis

Stochastik

Struktur der schriftlichen Reifeprüfung BHS Mathematik

Teil A: schulformübergreifend

mind. 4 Aufgaben mit je 2-4 Teilaufgaben

Schwerpunkt auf Interpretieren, Dokumentieren, Anspruchsvolles

Operieren und Technologieeinsatz

Teil B: schulform- bzw. clusterspezifisch

2 bis 3 komplexe Aufgaben

Schwerpunkt auf Modellieren, Transferieren und Argumentieren


Didaktik der Mathematik

73

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Beispiel – Satzgruppe

des Pythagoras


Didaktik der Mathematik

74

Satz des Pythagoras entdecken

Heuristik

altgr. heurísko „ich finde“; heuriskein, „(auf-)finden“, „entdecken“

Die Kunst, mit begrenztem Wissen und wenig Zeit zu guten

Lösungen zu kommen (Wikipedia)

Satz des Pythagoras

Bewege den Punkt C!

Berechne die Summe der

Flächeninhalte der beiden

grünen Quadrate und

notiere dein

Rechenergebnis!

Wiederhole diese Vorgänge 5-mal!


Didaktik der Mathematik

75

Satzgruppe des Pythagoras

Satzgruppe des Pythagoras

C

Bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke.

Zu ihr gehören:

Satz des Pythagoras

b

q

h

p

a

Höhensatz

Kathetensatz

A

D

c

B

Satz des Pythagoras

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist die

Summe der Flächeninhalte der Quadrate

über den Katheten gleich dem Flächeninhalt

des Quadrates über der Hypotenuse.


A

b

C

c

a


B

a 2 + b 2 = c 2


Einige Beweise später


Didaktik der Mathematik

76

Höhensatz und Kathetensatz

Höhensatz

C

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat das

Höhenquadrat denselben Flächeninhalt wie

das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

h 2 = p q

A


q

h

D

p

pq

B

Kathetensatz

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat ein

Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt

wie das Rechteck aus der Hypotenuse und

dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.



a 2 = c p und b 2 = c q

cq

cp


Didaktik der Mathematik

Höhen- und Kathetensatz

Beweise

77

Beweis mittels Ähnlichkeit


Höhensatz

q : h = h : p ⇒ h 2 = p q

Kathetensatz

q : b = b : c ⇒ b 2 = c q

p : a = a : c ⇒ a 2 = c p


Logische Struktur der

Satzgruppe

http://www.dmuw.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/

Logische Abhängigkeit der Sätze

Satz des Pythagoras ⇔ Kathetensatz

Satz des Pythagoras ⇒ Höhensatz

Kathetensatz ⇒ Höhensatz

Höhensatz Satz des Thales ⇒ Satz des Pythagoras

Höhensatz Satz des Thales ⇒ Kathetensatz

A


b

C

a

c



B



cq

cp




A


q

C

h

D

p

pq

B


A

C

M

B

Begriffe notwendig / hinreichend

Didaktik der Mathematik

A ⇒ B bedeutet “A ist hinreichend für B“

bzw. „B ist notwendig für A“ (d.h. ¬B ⇒ ¬A)

78


Didaktik der Mathematik

79

Kathetensatz ⇒ Pythagoras

Kathetensatz ⇒ Pythagoras

Gegeben: a 2 = c p und b 2 = c q

C

Zu zeigen: a 2 + b 2 = c 2

A

b

q

D

h

c

p

a

B


Didaktik der Mathematik

80

Pythagoras ⇒ Kathetensatz

Pythagoras ⇒ Kathetensatz

Gegeben: a 2 + b 2 = c 2

C

Zu zeigen: a 2 = c p und b 2 = c q

A

b

q

D

h

c

p

a

B


Didaktik der Mathematik

81

Pythagoras ⇒ Höhensatz

Pythagoras ⇒ Höhensatz

Gegeben: a 2 + b 2 = c 2

C

Zu zeigen: h 2 = p q

A

b

q

D

h

c

p

a

B


Didaktik der Mathematik

Höhensatz Thales

⇒ Pythagoras

82

Höhensatz Thales ⇒ Pythagoras

Gegeben: h 2 = p q, Satz von Thales

Zu zeigen: a 2 + b 2 = c 2


Didaktik der Mathematik

83

Kathetensatz ⇒ Höhensatz

Kathetensatz ⇒ Höhensatz

Gegeben: a 2 = c p und b 2 = c q

Zu zeigen: h 2 = p q

Mehrfache Anwendung des

Kathetensatzes auf (Teil-)Dreiecke


Didaktik der Mathematik

Höhensatz Thales

⇒ Kathetensatz

84

Höhensatz Thales ⇒ Kathetensatz

Gegeben: h 2 = p q, Thales

Zu zeigen: b 2 = c q

(a 2 = c p analog)


Didaktik der Mathematik

85

Umkehrsatz des Pythagoras

Umkehrung des Satzes von Pythagoras

Ägyptische Seilspanner (Harpedonapten)

a 2 + b 2 = c 2 ⇒ a, b und c bilden ein rechtwinkliges Dreieck

Pythagoräische Tripel

Umkehrsatz nicht immer wahr!

Wenn Sonntag ist, dann ist schulfrei.

a, b ungerade ⇒ a + b gerade


Didaktik der Mathematik

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

86

Lehrplan 4. Klasse AHS: Arbeiten mit Figuren und Körpern

den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen in ebenen

Figuren und in Körpern nutzen können

eine Begründung des Lehrsatzes des Pythagoras verstehen

Einige Beweismethoden für die Satzgruppe des Pythagoras

1. Kongruenzbeweis

2. Abbildungsbeweis

3. Prinzip der Zerlegungsgleichheit

4. Prinzip der Ergänzungsgleichheit

5. Arithmetischer Beweis

6. Ähnlichkeitsbeweis

7. Methoden der analytischen Geometrie


Didaktik der Mathematik

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

87

(1) Kongruenzbeweis

Euklid:

Die Elemente

H

C

G

F

( I ) AC BF A = CBF

A

ABF

( II ) CL 1 BE A

L 1

=

EB

A

CEB

(III) Zu zeigen : ABF @ CEB

(1) |AB| =

|EB|

(Hypotenuse c)

(2) |FBA| = |CBE| (90 + b )

(3) |BF| = |BC| (Kathete a)

J

A

L1

B

( I ),(

II ),(

III )

SWS



ABF

A

@

ABF =

A =

CBF

A

L

a 2 c

1 BE

= |L

1

B|

Analog ergibt sich :

2 = c |AL |

b

1

CEB

A

CEB

( Kathetensatz 1. Teil)

( Kathetensatz 2. Teil)

D

L2

E

a 2 + b 2 = c |L 1 B| + c |AL 1 |

= c (|L 1 B| + |AL 1 |) = c c = c 2


Didaktik der Mathematik

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

88

(2) Abbildungsbeweis

Scherung


Didaktik der Mathematik

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

89

(3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit

Stuhl der Braut

Zerlegung des Hypotenusenquadrats


Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

(3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit

Didaktik der Mathematik

Zerlegung des Hypotenusenquadrats

90


Didaktik der Mathematik

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

91

(3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit

Zerlegung eines Kathetenquadrats


Didaktik der Mathematik

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

92

(4) Prinzip der Ergänzungsgleichheit

Altindischer Ergänzungsbeweis

IV

III

IV

III

I

I


II

II



Didaktik der Mathematik

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

93

(5) Arithmetischer Beweis

Ein Beweis wird hier „arithmetisch“ genannt, wenn

(evtl. anhand einer vorliegenden Figur) rein algebraische

Umformungen durchgeführt werden.

Kathetensatz ⇒ Satz des Pythagoras

a


2 2

= =

a

c p

2

+

b

2

=

=

b

c

c p + c q

( )

c p + q

q



= c c = c 2

cq cp


Didaktik der Mathematik

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

94

(5) Arithmetischer Beweis Beweis von J.A. Garfield (1881 Präsident der U.S.A.)

Fläche A Tr des Trapezes:

(1)

A

Trapez

=

=

A

D

1

2

I

+

A

D

II

+

1

ab + ab +

2

A

D

1

2

III

c

2

a

I

c

III

c

II

b

= ab +

1

2 c

a + b

(2) A = +

Trapez 2

2

( a b )

b

a

( 1 ), ( 2 )

1 2

ab +

2

c =

2

a +

1 ( ) 2

b


=

1

2

( a + b ) 2

( a b ) 2

2

2 ab + c = +


2 2

2 ab + c = a + 2 ab +

b

2


2 2

c = a +

b

2


Didaktik der Mathematik

Beweismöglichkeiten

Satzgruppe des Pythagoras

95

(6) Ähnlichkeitsbeweis

D ABC

~

D ACD

~

D BCD

(ww)

h

p

q

= h


h 2

= q p

Höhensatz


b

q

a

p

c

= b

c

= a



b 2

a 2

= c q

= c p

Kathetensatz

(7) Methoden der analytischen Geometrie


Didaktik der Mathematik

Auswahlkriterien für

Beweismethoden

96

Eigentätigkeit

Großteil der Schüler soll in der

Lage sein, durch Eigentätigkeit,

den Beweis oder die

entscheidende Beweisidee

selbst zu entdecken bzw. einen

wesentlichen Beitrag dazu zu

leisten

Vielfalt

Schüler sollen unterschiedliche

Beweismethoden kennen lernen

Anschauen und Begreifen

Beweis lässt sich gut

visualisieren oder enaktiv

erarbeiten.

Verständnis fördern

Beweis ist leicht durchschaubar

Beweis erleichtert eine wichtige

Erkenntnis

Beispiel:

Satzgruppe des

Pythagoras: Aussagen

über Flächeninhalte

Sollte beim Beweis

direkt erkennbar sein


Didaktik der Mathematik

Anwendungen

Satzgruppe des Pythagoras

97

Ebene Geometrie

Berechnungen

Diagonale des Rechtecks

Höhe & Flächeninhalt eines

gleichseitigen Dreiecks

Abstand zweier Punkte

(im Koordinatensystem)

Kreistangenten und Sehnen

Reguläre n-Ecke

Kosinussatz

Konstruktionen

Flächenverwandlung

Strecken der Länge

n

Raumgeometrie

Berechnungen

Raumdiagonalen

Längen im Raum


Didaktik der Mathematik

Anwendungen

Satzgruppe des Pythagoras

98

Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat

Kathetensatz

Man geht von der Figur

zum Kathetensatz aus.

Kann man das Quadrat der

Figur konstruieren, wenn man

das Rechteck hat

Konstruktion der entsprechenden Kathete.

Welche Schritte sind notwendig


Didaktik der Mathematik

Anwendungen

Satzgruppe des Pythagoras

99

Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat

Kathetensatz


q

0 l = 3,1 10

0 b = 5,4 10





l


Höhensatz



c



b


Didaktik der Mathematik

Lernpfade zum

Satz des Pythagoras

100

Medienvielfalt im Mathematikunterricht

Pythagoras-Lernpfade auf

http://www.austromath.at/medienvielfalt/

3. Klasse: ebene Figuren, 4. Klasse: Raumgeometrie

Siehe insbesondere Didaktische Kommentare, z.B.

Stationenbetrieb zu Pythagoras im Raum

Expertengruppen zu Höhen- und Kathetensatz


Didaktik der Mathematik

101

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Wie funktioniert Lernen


Didaktik der Mathematik

102

Was ist Lernen

Nach Zimbardo: Psychologie. Springer-Verlag, 1995

Lernen …

ist ein Prozess, der zu relativ stabilen Veränderungen

im Verhalten oder Verhaltenspotential führt.

baut auf Erfahrung auf.

ist nicht direkt zu beobachten.

muss aus den Veränderungen des beobachtbaren Verhaltens

erschlossen werden.

Wissen

deklaratives Wissen

(Wissen über Sachverhalte)

prozedurales Wissen

(Wissen über Fertigkeiten)


Didaktik der Mathematik

103

Lernparadigmen

Kategorie Behaviourismus Kognitivismus Konstruktivismus

Hirn ist ein

passiver Behälter

Informationsverarbeitendes

"Gerät"

informationell

geschlossenes

System

Wissen wird abgelagert verarbeitet konstruiert

Wissen ist

Lernziele

eine korrekte Input-

Output-Relation

richtige Antworten

ein adäquater

interner Verarbeitungsprozess

richtige Methoden

zur

Antwortfindung

mit einer Situation

operieren zu können

komplexe Situationen

bewältigen

Paradigma Stimulus-Response Problemlösung Konstruktion

Strategie

lehren

beobachten

und helfen

kooperieren

Lehrer ist Autorität Tutor Coach, Trainer


Didaktik der Mathematik

104

Überblick über Lerntheorien

Behaviouristische Lerntheorien

Klassisches / operantes Konditionieren (Pawlow, Watson, Skinner)

Lernen durch Versuch und Irrtum (Thorndike)

Kognitivistische Lerntheorien

Modelllernen (Bandura)

Äquilibrationsmodell (Piaget)

Stufenmodell der kognitiven Entwicklung

Sinnvolle-rezeptives Lernen (Ausubel)

Entdeckendes Lernen (Bruner)

Konstruktivistische Lerntheorien

Radikaler Konstruktivismus (von Glasersfeld)

Gemäßigter Konstruktivismus (Piaget, Bruner, Mandl)


Didaktik der Mathematik

105

Klassisches Kontitionieren

(Pawlow)

Pawlowscher Hund

1. Futter Speichel fließt

2. Glocke kein Speichel

3. Futter + Glocke Speichel

(mehrmals wiederholt)

4. Glocke Speichel

Ergebnis

Immer wenn die Glocke klingelt, läuft dem Hund das „Wasser im

Mund“ zusammen. Er wurde auf die Glocke konditioniert.

Dieses Prinzip findet z.B. in der Werbung Anwendung

Attraktive Frau + Auto Aufmerksamkeit


Didaktik der Mathematik

106

Operantes Konditionieren

(Skinner)

Erwartete Konsequenzen bestimmen das Verhalten

Tiere und Menschen können sehr gut zwischen Belohnung und

Bestrafung unterscheiden

Arten von Verstärkern

Materielle Verstärker (Geld)

Soziale Verstärker (Lob, Anerkennung)

Aktivitätsverstärker (Tun, was Spaß macht)

Arten der Verhaltenskontrolle / -manipulation

Etwas Gutes erhalten (positive Verstärkung)

Etwas Negatives bleibt erspart (negative Verstärkung)

Etwas Negatives erhalten (Bestrafung durch aversive Reize)

Etwas Gutes wird entzogen (Bestrafung durch Verstärkerentzug)


Didaktik der Mathematik

107

Operantes Konditionieren

(Skinner)

Skinnerbox

Ziel: Ratte soll lernen, einen Hebel zu betätigen

Ratte erhält Stromschläge, bis sie den Hebel betätigt

Stromfluss endet (negative Verstärkung)

Ratte betätigt den Hebel

Erhält Futter (positive Verstärkung)


Didaktik der Mathematik

108

Modelllernen

(Bandura)

„Rocky-Experiment“ (Bandura, Walters 1965)

Vierjährige Kinder sehen in einem Film, wie ein Erwachsener

(„Rocky“) mit einem Baseballschläger auf eine Plastikpuppe

einschlägt.

Kurz darauf werden die Kinder in ein anderes Zimmer geführt, in

dem auch diese Puppe und ein Baseballschläger liegen.

Unterschied Aneignung – Ausführung: Vorbild-Verhalten wird

gleichermaßen erlernt, aber je nach Folgen unterschiedlich

reproduziert (siehe Wikipedia für Details)


Didaktik der Mathematik

109

Modelllernen

(Bandura)

Definition

Modell- oder Beobachtungslernen

ist Beeinflussung von

Verhaltensweisen durch

Beobachtung eines Modells

(Vorbilds), das real (z. B. als

Person) oder symbolisch (z. B.

als Text) gegeben sein kann.

Anwendung

bei komplexen

Verhaltensweisen im Bereich

des sprachlichen und sozialen

Verhaltens

Mögliche Effekte

Aneignung neuer kognitiver

Fähigkeiten & Verhaltensmuster

Hemmung bzw. Enthemmung von

gelernten Verhaltensweisen

Abhängig von den am Modell

beobachteten Konsequenzen

Reaktionserleichterung

Verhalten des Modells dient als

Auslöser für die Ausführung des

gleichen Verhaltens.

Veränderung des emotionalen

Erregungsniveaus

durch Beobachtung emotionaler

Inhalte beim Modell

Stimulusintensivierung

Modell lenkt die Aufmerksamkeit des

Beobachters auf spezifische Stimuli,

die vom Beobachter in Zukunft

häufiger verwendet bzw. beachtet

werden.


Didaktik der Mathematik

110

Modelllernen

(Bandura)

Regelfall

Modellverhalten wird weitgehend

in der dargebotenen

Art übernommen.

Sonderfälle

abstrakte Modellierung

Übernahme von Regeln oder

Prinzipien, die dem Modellverhalten

zugrunde liegen

Erkennen von Merkmalen

einer Situation

Abstraktion der

Gemeinsamkeiten

in Form von Regeln

Anwendung der Regeln in

neuen situativen Feldern

Kreative Modellierung

Einflüsse mehrerer Modelle

werden zu neuen Kombinationen

zusammengeführt.


Didaktik der Mathematik

111

Modelllernen

(Bandura)

Prozesse beim Modelllernen

Aneignung (Akquisition)

Aufmerksamkeitsprozesse

Gedächtnis- /

Behaltensprozesse

Ausführung (Performanz)

motorische

Reproduktionsprozesse

Verstärkungs- /

Motivationsprozesse

Modelle im Unterricht

Lehrer

Mitschüler

Eltern

Modelllernen

schnelle und effiziente

Art der Übernahme von

Verhaltensweisen

insbesondere bei

komplexen Verhaltensnormen

Rolle im / für den MU

Rationales Argumentieren

Problemlösen

Mathematisieren / Modellieren

Einstellung zur Mathematik


Äquilibrationsmodell

(Piaget)

Kognitive Entwicklung

durch Anpassung (Adaption)

Assimilation

Akkomodation

Bei der Assimilation wird die

Information, die das Individuum

aufnimmt, so verändert, dass sie

sich in vorhandene kognitive

Schemata einfügt.

Äquilibrationsprinzip

Bedürfnis, Gleichgewicht zwischen der wahrgenommenen Umwelt und

den eigenen kognitiven Strukturen herzustellen bzw. zu erhalten.

Erfahrung eines „Ungleichgewichtes“ (fehlschlagende Assimilationsversuche,

Widersprüche zwischen versch. Assimilationsversuchen, kognitive

Konflikte) führt zum Aufbau immer komplexerer Strukturen.

Didaktik der Mathematik

Bei der Akkomodation werden die

Schemata verändert, um der Information

angemessen zu sein oder um

nicht im Widerspruch zu anderen

Schemata bzw. der Gesamtstruktur

zu stehen.

112


Didaktik der Mathematik

Stufen der kognitiven

Entwicklung (Piaget)

113

Sensomotorisches Stadium (0 – ca. 2 Jahre)

Reiz und (motorische) Reaktion bilden eine Einheit

Präoperationales Stadium (ca. 2 – ca. 7 Jahre)

Zentrierung: Nur ein Merkmal kann gleichzeitig

berücksichtigt werden.

Egozentrismus: Schwierigkeit sich etwas aus der

Sicht eines anderen vorzustellen.


Didaktik der Mathematik

Stufen der kognitiven

Entwicklung (Piaget)

114

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)

Überwindung des Egozentrismus

Dezentrierung: Verschiedene Aspekte eines Sachverhaltes

können gleichzeitig berücksichtigt werden.

Verständnis für Erhaltung bei Transformationen

Masse

Volumen

Flächeninhalt

Anzahl


Didaktik der Mathematik

Stufen der kognitiven

Entwicklung (Piaget)

115

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)

Reversibilität: Beobachtete Abläufe bzw. ausgeführte

Handlungen können gedanklich umgekehrt werden.

Schlussfolgerndes Denken bei konkreten Problemen

Fähigkeit zur Abstraktion fehlt (zum Großteil)

Denken ist noch stark an konkrete Vorstellungen gebunden

(unmittelbare Anschauung oder Erfahrungen)

Denkhandlungen sind bereits „Operationen“, also

kompositionsfähig (zusammensetzbar) und

reversibel (umkehrbar)


Didaktik der Mathematik

Stufen der kognitiven

Entwicklung (Piaget)

116

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)

Hans ist größer als Heinz, Hans ist kleiner als Horst. Wer ist der kleinste

Wer ist der kleinste


Didaktik der Mathematik

Stufen der kognitiven

Entwicklung (Piaget)

117

Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre)

Denken wird abstrakter

(nicht mehr an konkrete Vorstellungen gebunden)

Fähigkeit zum hypothetisch-deduktiven

Schließen („Wenn … und … gilt, dann gilt …“)

Variablenkontrolle: Bei der Kausalanalyse von Ereignissen können

verschiedene Faktoren systematisch variiert werden.

Logische Verknüpfungen zwischen verschiedenen

Aussagen werden hergestellt (Aussagenlogik, formales

Schließen). Im Beispiel: Wenn a < b und b < c, dann a < c.

Reversibles Denken ist möglich.

Inversion (Umkehrung einer Operation)

Reziprozität (Kompensation einer Operation)

15 Cent 1 Cent


Didaktik der Mathematik

Stufen der kognitiven

Entwicklung

118

Bei einem Kartenspiel wurde jeder Karte auf einer Seite eine Zahl

und auf der anderen Seite ein Buchstabe aufgedruckt.

Es gilt folgende Regel:

Wenn der Buchstabe auf einer Karte ein Vokal ist, dann ist die Zahl

auf der anderen Seite der Karte eine gerade Zahl.

Welche der folgenden Karten müssen umgedreht werden um zu

überprüfen ob die Regel eingehalten wurde

E K 4 7


Didaktik der Mathematik

Piagets empirische

Hauptresultate

119

Die kindliche Entwicklung verläuft

etappenweise, d. h. in Stufen.

Sensomotorisches Stadium (0 – ca. 2 Jahre)

Präoperationales Stadium (ca. 2 – ca. 7 Jahre)

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)

Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre)

sequentiell, d. h. alle Kinder durchlaufen die Stadien

(Stufen) in gleicher Reihenfolge.

Übergang von einem Stadium zum nächsten bedeutet

weder das Aufgeben bereits erworbener Schemata,

noch bloßes Hinzufügen weiterer Schemata,

Reorganisation der verfügbaren Schemata bzgl.

neuer effektiverer Organisationsformen.

Wichtig: Es sind erhebliche zeitliche Verschiebungen möglich!


Didaktik der Mathematik

120

Sinnvoll-rezeptives Lernen

(Ausubel)

Die vier

Grundformen

des Lernens

nach Ausubel

rezeptiv

(fertig dargeboten)

entdeckend

(selbst erarbeitet)

mechanisch

(nicht inhaltlich)

Dargebotene

Informationen werden

wortwörtlich gelernt

und nicht mit

Vorwissen assimiliert.

Vom Lernenden

entdeckter Sachverhalt

wird wortwörtlich

gelernt und nicht mit

Vorwissen assimiliert.

sinnvoll

(inhaltlich, zufallsfrei)

Dargebotene

Informationen werden

inhaltlich gelernt und

mit Vorwissen

assimiliert.

Vom Lernenden

entdeckter Sachverhalt

wird inhaltlich gelernt

und mit Vorwissen

assimiliert.


Didaktik der Mathematik

121

Sinnvoll-rezeptives Lernen

(Ausubel)

Sinnvolles Lernen

inhaltlich (nicht wortwörtlich)

zufallsfreie Angliederung an das

Vorwissen (Assimilation)

untergeordnet (progressive

Wissensdifferenzierung)

übergeordnet

Mechanisches Lernen

Lernen verbaler Ketten

Auswendiglernen

Rezeptives Lernen

Lernmaterial wird fertig

dargeboten

Entdeckendes Lernen (EL)

Lernmaterial muss vom

Lernenden erarbeitet werden,

wird nicht fertig vorgegeben

Sinnvoll-rezeptives Lernen

inhaltliche Assimilation

(Orientierung an Vorwissen, zunächst

alltagssprachliche Formulierungen)

aktiver Prozess

Advance Organizer (!)

Post Organizer

besser als EL für den Erwerb

von Sachwissen und größeren

Stoffgebiete geeignet

(ökonomischer)


Didaktik der Mathematik

122

Sinnvoll-rezeptives Lernen

(Ausubel)

1. An vertraute Vorstellungen anschließen

Alltagsbegriffe

vertraute Grundbegriffe

2. „Verständniskerne“ bilden & formulieren

in Umgangssprache

3. Unterrichtsinhalte vorstrukturieren

kurze Vorschau auf Thema und Zielsetzung (advance organizer)

Vorbereitung eines „Verständniskerns“

4. Progressiv ausdifferenzieren

„roten Faden“ bewusst halten

5. Integrativ verbinden und abgrenzen

6. Beachten der Vergessenstendenz

anschauliche Zusammenfassungen (post organizer)

wiederholte Verständnisaufgaben

Sinnvolles

Lernen

Anknüpfen

an die kognitive

Struktur des

Lernenden


Didaktik der Mathematik

123

Entdeckendes Lernen

(Bruner)

„Das Ziel, das wir uns als Lehrer stellen, ist, dem Schüler nach besten Kräften ein

fundiertes Verständnis des Gegenstandes zu vermitteln und ihn so gut wir können

zu einem selbständigen und spontanen Denker zu machen, dass er am Ende der

Schulzeit allein weiterkommen wird.“ Bruner

Lernen ist aktive

Informationsaufnahme

Informationsverarbeitung

Informationsspeicherung

Prozesse des Lernvorgangs

Wissenserwerb

Wissenstransformation

Bewertung von Wissen

Intellektuelle

Entwicklung

Wissensrepräsentation

• enaktiv (handelnd)

• ikonisch (bildhaft)

• symbolisch

Lernprozess


Didaktik der Mathematik

124

Entdeckendes Lernen

(Bruner)

Entdeckendes Lernen

eigenständige, induktive

Organisation

sprachliche Assimilation

Ziele des Lernens

Verständnis

Problemlösefähigkeit erwerben

intuitives, selbständiges,

spontanes Denken

Transferförderung

spezieller Transfer

allgemeiner Transfer

general ideas

induktive & deduktive

Denkvorgänge

Problemlösefähigkeit

Problemlösestrategien

Problemlösetechniken

lernen wie man lernt

Intuitives Denken

spontan / sprunghaft

nonverbal

Intrinsische Motivation

„Kompetenzmotivation“

Prinzip der minimalen Hilfe

kaum ergebnisorientierte Hilfe

hauptsächlich motivations- und

prozessorientierte Hilfe


Didaktik der Mathematik

125

Entdeckendes Lernen

(Bruner)


Didaktik der Mathematik

126

Konstruktivismus

Steht in enger Verbindung zum kognitiven Ansatz

Jedes Individuum konstruiert ein individuelles

und subjektives Bild seiner Umwelt

Aufgrund verschiedenster Erfahrungen entsteht

eine individuelle kognitive Landkarte der Welt

Diese Wirklichkeitskonstruktionen beeinflussen

unwillkürlich

was das Individuum sieht,

wie es das Gesehene bewertet,

welche Verhaltenspläne es entwickelt und

wie es sich dann tatsächlich verhält.

Es gibt demnach nicht eine für alle gültige Wirklichkeit,

sondern viele subjektive und individuelle Wirklichkeiten


Didaktik der Mathematik

127

Aktive Wissenskonstruktion

Wissen …

wird nicht einfach rezeptiv übernommen

wird aktiv erworben,

abhängig von Vorwissen, Motivation und Einstellung des Einzelnen

ist Ergebnis sozialer Konstruktionsprozesse

bedeutungsvolles Handeln und Selbstständigkeit sind zentrale

Grundlagen allen Lernens

stellt keine bloße Reflexion einer außerhalb des

Menschen existierenden, objektiven "Realität" dar

ist ein subjektives "Konstrukt", das innerhalb des Individuums

durch Erkenntnisprozesse geschaffen wird


Didaktik der Mathematik

128

Lernen ist kein

Lernen aus

konstruktivistischer Sicht

rezeptiver Vorgang, bei dem eine objektiv bestimmbare und

begrenzte Menge an Fakten und Regeln aus dem Kopf des

Lehrenden in den des Lernenden "transportiert" wird

Lernen ist ein

aktiver,

selbstgesteuerter,

konstruktiver,

emotionaler,

sozialer und

situativer Prozess

Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30


Didaktik der Mathematik

129

Lernen ist ein

Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30

aktiver Prozess

Nur durch aktive Beteiligung

des Lernenden wird Lernen

möglich.

selbstgesteuerter Prozess

Der Lernende selbst übernimmt

im Rahmen des Lernprozesses

Steuerungs- und

Kontrollprozesse.

konstruktiver Prozess

Neues Wissen kann nur

erworben und genutzt werden,

wenn es in die vorhandenen

Wissensstrukturen eingebaut

und auf der Basis individueller

Erfahrungen interpretiert wird.

emotionaler Prozess

sowohl leistungsbezogene als

auch soziale Emotionen

beeinflussen das Lernen

für die Lernmotivation ist die

emotionale Komponente

besonders wesentlich

sozialer Prozess

Lernen ist fast immer ein

interaktives Geschehen

und wird durch soziale

Komponenten beeinflusst

situativer Prozess

Wissenserwerb erfolgt stets in

einem spezifischen Kontext und

ist mit diesem verbunden


Didaktik der Mathematik

130

Lernen aus

konstruktivistischer Sicht

Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30

Eine

pragmatische

Position zum

Lehren und

Lernen:


Didaktik der Mathematik

131

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Didaktische Prinzipien


Didaktik der Mathematik

132

Didaktische Prinzipien

(unvollständige Liste)

Prinzipien

Genetisches Prinzip

Sokratisches Prinzip

Exemplarisches Prinzip

Operatives Prinzip

Integrationsprinzip

Prinzip des

aktiven Lernens

(gelenkten) Entdeckenden

Lernens

Prinzip der

Realitätsnähe oder Lebensnähe

Beziehungshaltigkeit

integrierten Wiederholung

Isolation der Schwierigkeiten

Selbsttätigkeit

Variation

adäquaten Visualisierung

Variation der

Veranschaulichungsmittel


Didaktik der Mathematik

133

Prinzipien des

Lernens und Lehrens

Wittmann: Standard Number Representations in the Teaching of Arithmetic. In: JMD, 19 (1998) 2/3, S.149-178

Wissensentwicklung

Entwicklungsstufen

Repräsentationsformen

Zone der

proximalen

Entwicklung

(inter-)

aktives

ganzheitliches

Lernen organisieren

interaktiver

Zugang zu

Repräsentationen

grundlegende

Repräsentationen

auswählen

Operatives

Prinzip

natürliche

Differenzierung

(Epistemologie =

Erkenntnistheorie)

fundamentale

Ideen

Spiralprinzip

schrittweise

Schematisierung

Vorwissen

& natürliche

Neugier

nutzen


Didaktik der Mathematik

134

Operatives Prinzip

Piaget

Operationen sind verinnerlichte / gedachte Handlungen.

Denken vollzieht sich in Operationen.

Operationen sind flexibel und beweglich, also:

umkehrbar oder reversibel (Reversibilität),

zusammensetzbar oder kompositionsfähig (Kompositionsfähigkeit)

assoziativ (Assoziativität),

d. h. man kann auf verschiedenen Wegen zum Ziel kommen.


Didaktik der Mathematik

135

Operatives Prinzip

Bruner

Wissensrepräsentation

• enaktiv (handelnd)

• ikonisch (bildhaft)

• symbolisch

Piaget

Stufen der

kognitiven

Entwicklung

Aebli

Verinnerlichungsstufen

• konkrete Stufe

• figurale Stufe

• symbolische Stufe

Prinzipien

• Stufengemäßheit

(vgl. Piaget)

• Aufbauprinzip

• Verinnerlichung

• Reflexion

Operatives

Prinzip

Prinzip des

operativen

Durcharbeitens

Variation

• Darstellungsebene

• „Unwesentliches“

(Veranschaulichungsmittel,

mathematische

Variablen, Kontext, …)

• Ausgangssituation

(Was passiert mit … ,

wenn … )

• Lösungsweg

• gesuchte Größen


Didaktik der Mathematik

136

Operatives Prinzip

Wittmann: Objekte - Operationen - Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik. Mathematik lehren 11, 1985

Objekte erfassen bedeutet,

zu erforschen,

wie sie konstruiert sind

wie sie sich verhalten, wenn

auf sie Operationen ausgeübt

werden.

Im Erkenntnisprozess wird

systematisch untersucht,

welche Operationen ausführbar

und wie sie verknüpft sind,

welche Eigenschaften und

Beziehungen den Objekten

durch Konstruktion aufgeprägt

sind,

welche Wirkungen Operationen

auf Eigenschaften und

Beziehungen der Objekte

haben.


Didaktik der Mathematik

137

Spiralprinzip

(an Leitideen orientiert)

Heymann: Allgemeinbildung und Mathematik, Beltz, 1996, S. 173-182

Prinzip

des vorwegnehmenden Lernens

der Fortsetzbarkeit

Zentrale Ideen des MU

Zahl

Messen

räumliches

Strukturieren

funktionaler

Zusammenhang

Daten und Zufall

Algorithmus

mathematisches

Modellieren


Didaktik der Mathematik

138

Sokratisches Prinzip








Lehrprinzip der Mäeutik

Hebammenkunst

Ausgangspunkt

Menon-Sokrates-Dialog

Pädagogische Grundhaltung

Nicht belehren, sondern beim eigenen

Entdecken und Urteilen helfen.

Sokratisches Prinzip

Lehrer initiiert und steuert durch Fragen

den Problemlöseprozess der Schüler

Lehrer hilft den Schülern, sich Wissen

selbst anzueignen und ein Verständnis

zu entwickeln

Fragend-entwickelnder Unterricht


Menon-Sokrates-Dialog

Sokrates A A‘ = 2A

a = 2 Fuß a‘ =

Sklave a‘ = 2a = 4 Fuß

Sokrates a‘ = 2a A‘ =

Sklave A‘ = 2A

Sokrates 4 Ausgangsquadrate

Sklave A‘ = 4A

Sokrates a‘ = a = 2 Fuß A‘ = A < 2A

a‘ = 2a = 4 Fuß A‘ = 4A > 2A

Sklave a‘ = 3 Fuß

Sokrates a‘ = 3 Fuß A‘ =

Sklave A‘ = 9 Fuß² > 8 Fuß² = 2A

Sokrates Wie dann

Sklave

Sokrates …

Didaktik der Mathematik

Platon: Auszug aus dem „Menon – Sokrates – Dialog“

a A

a

139


Didaktik der Mathematik

140

Trichtermuster

Bauersfeld, H. Kommunikationsmuster im Mathematikunterricht.

In: Bauersfeld, Breidenbach (Hrsg.): Festschrift, Hannover, 1978, S. 158 – 170

Lehrerin:

Schülerin: (schweigt)

Lehrerin:

… da ist kein bestimmter Monat angegeben, dann nimmt man 30 Tage

und rechnet mit den 30 Tagen, und in a) ist ja die Wassermenge von

einem Tag schon angegeben. Und wie viel ist denn das für einen Monat

Na, du weißt, ein Monat hat 30 Tage.

Schülerin: (bejahend) … Hm …

Lehrerin:

Und nun

Schülerin: (schweigt)

Lehrerin:

Schülerin: (schweigt)

Lehrerin:

Schülerin: 30 Tage.

Lehrerin:

Eine Stunde, du brauchst ja jetzt noch gar nicht zu sagen, wie viel ein

Tag hat, das musst du ja erst ausrechnen, also ein Tag hat x Hektoliter.

Und dann kannst du x Hektoliter mal wie viel nehmen

Na, wie viel haben wir gesagt für einen Monat

Eine Heilquelle hat eine Ausschüttung

von 200 hl pro Stunde. Welche

Wassermenge liefert sie

a) täglich,

b) monatlich,

c) jährlich

Also x Hektoliter mal 30. Das wären die Hektoliter für einen Monat.


Didaktik der Mathematik

141

Genetisches Prinzip

Wagenschein: Verstehen lehren. Beltz Verlag, Weinheim und Basel, 1975 5

Zentrales Anliegen

Folge

Mathematik nicht als

Fertigprodukt lehren!

Schüler sollen einen Einblick in

den Prozess der Entstehung

von Mathematik erhalten.

(Genese = Entstehung, Entwicklung)

Unterricht nach genetischem

Prinzip ist problemlösender

Unterricht

Begriffe werden als Antworten

auf Fragen mit bzw. von den

Schülern entwickelt


Didaktik der Mathematik

142

Erdumfangsbestimmung

(Eratosthenes)

http://www.grenzstein.de/era/eratosthenes.html

Jedes Jahr am 21. Juni wirft der Obelisk auf dem

Marktplatz in Assuan (damals Syene) in Oberägypten

zur Mittagszeit keinen Schatten. Die Sonne steht also

zu dieser Zeit genau senkrecht über diesem Obelisk.

Zur gleichen Zeit wirft der Obelisk auf dem Marktplatz

im 5000 Stadien (ca. 1000 km) nördlich von Assuan

liegenden Alexandria einen deutlich erkennbaren

Schatten.

Eratosthenes hat den Winkel gemessen, den die Sonnenstrahlen mit dem

Obelisken in Alexandria einschlossen. Der Winkel betrug 1/50 des

Vollwinkels.

Wie konnte Eratosthenes damit den Erdumfang bestimmen

Welches Ergebnis erhielt er

Umfang

der Erde

Libyen

Alexandria

Ägypten

Assuan

(Syene)


Didaktik der Mathematik

143

Erdumfangsbestimmung

(Eratosthenes)

http://www.grenzstein.de/era/eratosthenes.html

Bogenlänge und Winkel

Verdoppelt man den Winkel α,

so verdoppelt sich auch die

Bogenlänge b

α : 360 = 1 : 50 = b : x

Syene - Alexandria:

b = 1000 km

Erdumfang

1 : 50 = 1000 : x

Erdumfang:

x = 50.000 km

Tatsächlicher Erdumfang:

ca. 40.000 km

Horologium


Didaktik der Mathematik

Prinzip der

Beziehungshaltigkeit

144

Grundlage

Wissen wird im Gedächtnis als

Netzwerk von Beziehungen

gespeichert.

Neues Wissen heißt eingliedern

in und erweitern von bereits

vorhandene(n) Begriffsnetze(n).

Stichworte

Ausgehen von den

Vorerfahrungen der Schüler

kumulatives Lernen

Kompetenzentwicklung

erfahrbar machen

Prinzip der Lebensnähe

fachübergreifendes Lernen


Didaktik der Mathematik

145

Prinzip des produktiven Übens

Produktives (sinnvolles) Üben

ist keine isolierte Tätigkeit,

ist mit Einsicht verbunden,

findet regelmäßig statt,

wird in die Erarbeitung

neuer Inhalte integriert,

geschieht in herausfordernden

und anregenden Kontexten,

orientiert sich an dem was

wirklich gebraucht wird.

Gegensatz: Stereotypes Üben

geht nicht auf Fehlerursachen ein,

bietet keine konstruktive Hilfe,

trägt zur Verfestigung von Denkfehlern

bei.


Didaktik der Mathematik

Offene Aufgabe:

Quader kippen

146

Ein Glasquader wird teilweise mit Wasser gefüllt,

auf einen Tisch gestellt und um eine seiner

Bodenkanten gekippt.

Die Grenzflächen des Wassers nehmen beim

Kippen verschiedene geometrische Formen an,

die sich auch in ihren Ausmaßen verändern.

Versuche, so viele unveränderliche

Beziehungen wie möglich bezüglich dieser

Formen und deren Ausmaße zu finden.

Notiere deine

Entdeckungen

und versuche sie

zu begründen.

b·c = const.

a + b = const.


Didaktik der Mathematik

147

Aufgabenvariation (Strategien)

Schupp: Variatio delectat! Der Mathematikunterricht, Jahrgang 49, Heft 4, 2003, S. 4-12 und 53


Didaktik der Mathematik

Aufgabenvariation:

Überlappende Quadrate

148

Überlappende Quadrate

Bestimme die Größe der Schnittfläche EMFD!

Was ist der größte (kleinste) Wert, den diese

Überlappungsfläche annehmen kann

Einige Variationsmöglichkeiten

Schlussfolgern: Was gilt für die Gesamtfläche

aus den beiden Quadraten

Begriff abändern: Umfang statt Fläche

Verallgemeinern:

Zweites Quadrat hat Kantenlänge b.

Der Drehpunkt ist nicht M.

Analogisieren: Kreise statt Quadrate

usw.

Vgl. Pythagoras

Beweis


Didaktik der Mathematik

149

Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 217-234

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Begriffe erarbeiten


Didaktik der Mathematik

150

Begriffe

Bausteine des Wissens

charakterisieren Objektklassen

verdichten Informationen

Grundlage sprachlicher Kommunikation

beeinflussen die Gedächtnisleistung

beeinflussen das Problemlösen


Didaktik der Mathematik

151

Begriffe und Problemlösen

Quelle von Problemstellungen

Mittel zum Präzisieren von

Problemstellungen

Lösungshilfen für Probleme

Lösungen von Problemen

Mittel zur Sicherung von

Problemlösungen


Didaktik der Mathematik

152

Rolle von Begriffen

Leitbegriff eines Themenstrangs

z. B. Symmetrie, Funktion, Wahrscheinlichkeit, Figur, …

Schlüsselbegriff einer Unterrichtssequenz

z. B. Bruch, Proportionalität, Symmetrische Vierecke, …

Zentraler Begriff einer Unterrichtseinheit

Begriff, der in der Unterrichtseinheit erarbeitet wird.

Arbeitsbegriff

Benennung, um über Sachverhalte überhaupt

ohne Umschreibung sprechen zu können.

Arbeitsbegriffe werden im Unterricht durch den Gebrauch vertraut.


Didaktik der Mathematik

Stufen des (Leit-)

Begriffsverständnisses

153

Vollrath: Methodik des Begriffslehrens im MU. Ernst Klett Verlag, 1984, S. 215-217

Intuitives Begriffsverständnis

Begriff als Phänomen

Beispiele kennen

Inhaltliches Begriffsverständnis

Begriff als Träger von Eigenschaften

Eigenschaften kennen

Diff‘barkeit

Integriertes Begriffsverständnis

Begriff als Teil eines Begriffsnetzes

Beziehungen von Eigenschaften untereinander

und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen

Strukturelles Begriffsverständnis

Begriff als strukturierbares Objekt

Begriffe als Objekte, die verknüpft werden können.

y

8

-3 -2 -1 1 2 3

-1

7

6

5

4

3

2

1

x

f · g


Didaktik der Mathematik

Modelle langfristigen

Begriffslernens

154

Lernen als Ersteigen von Stufen

Reflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens

führt zu Wissen höherer Qualität. Höhere Stufe

Lernen durch Erweiterung

Neue Objekte beseitigen Grenzen, auf die man beim

Operieren mit den bisherigen Objekten stößt.

Vertrautes wird nun in neuem Licht gesehen.

Z.B. Erweiterung von Zahlenmengen: rational, reell, komplex


Didaktik der Mathematik

155

Verstehen eines Begriffs

Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie

Bezeichnung des Begriffs kennen,

Beispiele angeben und jeweils begründen können,

warum es sich um ein Beispiel handelt,

begründen können, weshalb etwas

nicht unter einen Begriff fällt,

charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen,

Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen,

mit dem Begriff arbeiten können

(z. B. im Rahmen von Problemlösungen)


Erarbeiten eines Begriffs

Erfahrungen zum Begriff sammeln

Handlungen (enaktive Repräsentation)

Objekte darbieten

Beispiele für Begriffe (ikonische Repräsentation)

Merkmale entdecken

Prinzip der Variation

Prinzip des Kontrasts

Sprache (benennen, beschreiben)

Definition erarbeiten

Genetische Definition

Charakterisierende Definition

Oberbegriff angeben

Definierende Eigenschaft notwendige & hinreichende Bedingung

Kritisch Reflektieren

Definition durch möglichst „schwache“ Forderung

Bezeichnung: Herkunft / evtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache

Didaktik der Mathematik

156


Unterrichtsphasen

(bei zentralen Begriffen)

Einstieg

An einem geeigneten Problemkontext werden

erste Vorstellungen vom Begriff entwickelt.

Erarbeitung

Umfang & Inhalt des Begriffs herausarbeiten

Sicherung

Ergebnisse festhalten

mit Hilfe geeigneter Aufgaben überprüfen,

ob der Begriff erfasst ist und etwa gegen

andere Begriffe abgegrenzt werden kann

(z. B. Frage nach Beispielen und Gegenbeispielen)

Vertiefung (Transfer)

Querverbindungen zu anderen Begriffen herstellen

Spezialfälle (insbesondere Grenzfälle) betrachten

(z. B. auch Variation der definierenden Eigenschaften)

Anwendungen, …

Didaktik der Mathematik

Verankerung

in kognitiver

Struktur

157


Beispiel: Tangente

an einen Kreis

Einstieg

Wie viele Punkte können

ein Kreis und eine Gerade

gemeinsam haben

Erarbeitung

Tangente, 1 Berührpunkt,

Sekante, 2 Schnittpunkte,

Passante, keine gem. Punkte.

Sicherung: Tangente zeichnen!

Vertiefung:

Didaktik der Mathematik

Besitzt die Figur aus Kreis und

Tangente eine Symmetrieachse

Ja! Tangente steht senkrecht

zum Berührpunktradius.

Wie kann man die Tangente konstruieren

k

M

B

t

158


Didaktik der Mathematik

Beispiel: Tangente

an einen Kreis

159

Vertiefung:

Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P

Skizziere Sie!

Wie kann man die Tangenten konstruieren

M

P


Didaktik der Mathematik

160

Beispiel:

Dreiecksgrundformen

Roth: Dreiecksgrundformen. In: Praxis der Mathematik in der Schule, Heft 12, Dezember 2006, 48. Jg., S. 21-25

Grundverständnis der Begriffe

gleichschenkliges Dreieck

rechtwinkliges Dreieck

spitzwinkliges Dreieck

stumpfwinkliges Dreieck

A

C

B

Ziel: Erarbeitung einer Verständnisgrundlage

Begriffe als „bewegliche“ Strukturen aufbauen

Begriffe flexibler verfügbar machen

als mit statischen Prototypen


Didaktik der Mathematik

161

Gleichschenklige Dreiecke

1) Bewege den Punkt C so, dass Dreiecke entstehen, die

a) gleichschenklig mit |AC| = |BC| sind,

b) gleichschenklig mit |AC| = |AB| sind,

c) gleichschenklig mit |BC| = |AB| sind.

2) Angabe von Kurven

(Begründung)

3) Widerlegen bzw. vertrauensbildende

Maßnahme durch

Binden von C an die Kurven.

4) Beobachtung der Innenwinkel

Basiswinkelsatz

5) Gleichseitige Dreiecke

75°

3,6 cm


A

60°

C


5 cm

4,5 cm

b

B

45°


Didaktik der Mathematik

162

Dreiecksgrundformen

„Merkbild“

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/


Didaktik der Mathematik

163

Eckpunkt wandert auf einer

Kurve

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/


Didaktik der Mathematik

164

Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 234-246

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Sachverhalte erarbeiten


Didaktik der Mathematik

165

Sachverhalte!

Regeln für

den Umgang mit

mathematischen

Objekten

Eigenschaften

von Begriffen

Eigenschaften

mathematischer

Objekte

Sachverhalte

Beziehungen

zwischen

Begriffen

Begründbare Aussagen

Regeln

Gesetze

Sätze


Didaktik der Mathematik

166

Didaktische Aufgaben

Entdecken von Sachverhalten

Induktiv oder deduktiv Hypothesen widerlegen

Beispiel: „Quadrieren vergrößert.“

Formulieren der Sachverhalte

als mathematische Aussagen

Begründen der Aussagen

Logische Struktur (Voraussetzung,

Behauptung) herausarbeiten

Ziele des Begründens

Wahrheit einer Aussage sichern

Einsicht in den Sachverhalt vermitteln

2² = 4 > 2

3² = 9 > 3

4² = 16 > 4

a² > a

a R\[0;1]

Fallunterscheidung

Verstehen der Sachverhalte

Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, die zu

(neuen) mathematischen Erkenntnissen führen


Didaktik der Mathematik

Verschiedene

Begründungsweisen

167

Erfahren von

Handlungsspielräumen

und Sachzwängen

Probieren

Messen b + b +

31° 44,5° 115° 180,5°

51° 92° 35° 179°


Didaktik der Mathematik

Verschiedene

Begründungsweisen

168

Sonderfall

Beweis

Parallelwinkel (2. AHS)

Zwei Parallelwinkel sind

entweder gleich groß oder sie

ergänzen einander auf 180°.

180 ° =

+ b +


Didaktik der Mathematik

Skizze einer Unterrichtseinheit

Binomische Formel

169

Einstieg:

Erarbeitung:

Ergebnis:

Die Seitenlänge a eines Quadrates wird um b vergrößert.

Wie ändert sich der Flächeninhalt des Quadrates

( a + b )

2

( a + b )

2

=

2

( a + b ) =

2

a + 2ab

Binomische Formel

+ b

2

= ( a + b )·( a + b )

= a

2

+ ab + ab + b

2

2

= a + 2ab + b

2

2

a 2ab

Sicherung: (x + y) 2 , (x + 3) 2 , (5 + z) 2 , (a + 2b) 2 ,

(x 2 + y 3 ) 2 , c 2 + 2cd + d 2 , …

+

b

b

a

ab


a


ab

+ 2 Probleme:

(a+b)² = a²+b²

(2xy+3vw)²

b

Vertiefung:

Verwandle (a b)² in eine Summe.

Lässt sich diese Aussage geometrisch deuten …


Didaktik der Mathematik

170

Vertiefung:

Skizze einer Unterrichtseinheit

Binomische Formel

Verwandle (a b)² in eine Summe.

Lässt sich diese Aussage geometrisch deuten …

2

( a + b ) =

2

( a - b ) =

2

a - b

2 = ( b )· a - b

2

a + 2ab

2

a - 2ab

Wie lässt sich die 3. binomische

Formel geometrisch darstellen

a + ( )

+ b

2

+ b

2

http://www.realmath.de/Mathematik/Mathepage/Binomindexneu.html


Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 246-252

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Algorithmen erarbeiten

Didaktik der Mathematik

Algorithmus = (Lösungs-)Verfahren

171


Didaktik der Mathematik

172

Didaktische Aufgaben

Verfahren

Schrittfolgen, die abzuarbeiten sind.

Ziele: Die Schüler

Alle Schritte begründen.

(Beitrag zur Lösung verdeutlichen)

Das verstandene (!) Verfahren

durch Anwendung üben.

eignen sich das Verfahren an (Primat des Verstehens)

(d. h. sie verstehen es und können es anwenden)

können zwischen dem Ziel und dem Weg dahin unterscheiden

(Ziel: „+2 auf die andere Seite bringen“;

Weg: „Auf beiden Seiten 2 subtrahieren.“)

denken über Alternativen nach und versuchen,

den gefundenen Algorithmus zu verbessern,

notieren das Lösungsschema mit zunehmendem Alter

als Algorithmus, der von Computern ausführbar ist.


Didaktik der Mathematik

Benötigte Vorkenntnisse

und Fähigkeiten

173

Voraussetzungen für das Lernen eines Verfahrens

Beherrschung einer Regelhierarchie

Zur Sicherstellung sind Wiederholungen nötig

Beispiel für eine

Fähigkeitshierarchie

Schriftliche Multiplikation

mehrstelliger Zahlen

miteinander

Schriftliche Addition

mehrstelliger Zahlen

Schriftliche Multiplikation

mehrstelliger Zahlen mit

einer einstelligen Zahl

Einspluseins im Kopf

Kleines Einmaleins im Kopf


Didaktik der Mathematik

174

Euklidischer Algorithmus (ggT)

http://www.juergen-roth.de/excel/

72 = 1 51 + 21

51 = 2 21 + 9

21 = 2 9 + 3

51

9 = 3 3 + 0

72


Didaktik der Mathematik

175

Euklidischer Algorithmus (ggT)

Der größte gemeinsame Teiler

(ggT) zweier Zahlen lässt sich

über die Primfaktorzerlegung

oder den Euklidischen

Algorithmus bestimmen.

72

= 1 +

51

= 1 +

= 1 +

21 1 1

= 1 + = 1 +

51 51 9

2 +

21 21

1

1

= 1 +

1

2 + 2 +

2 +

2 +

1

21

9

1

1

2 +

1

9

3

= 1 +

2 +

3

9

1

1

2 +

1

3

72

ggT(72, 51) = 3

51


Didaktik der Mathematik

Heron-Verfahren

(Wurzelberechnung)

176

Berechnungsgrundlage für Straßenreinigungsgebühren

An die Straße grenzende Grundstückslänge

(Frontmetermaßstab).

Der Eigentümer von Grundstück B muss mehr bezahlen

als der von Grundstück A, obwohl Grundstück A größer ist.

Gemeinderat: Für ein größeres Grundstück mehr zahlen.

Lösung: Quadratwurzelmaßstab als Bemessungsgrundlage

Straßenreinigungsgebühren

werden aus der Seitenlänge

eines zum Grundstück

flächeninhaltsgleichen

Quadrats berechnet.

Frage: Wie findet man die

Seitenlänge dieses Quadrats

A

B


Didaktik der Mathematik

177

Heron-Verfahren

(Wurzelberechnung)

http://www.juergen-roth.de/excel/

Gesucht:

A

a 0

= 4

Anfangswert: a

0

a

b =

n

n + 1

=

A

a

a

n

n

+

2

b

n

b

A

a

= =

0

0

6

b

A

a

= =

1

1

A = 24

4 , 8

a

+ b

2

0 0

a = =

1

5


Didaktik der Mathematik

Schwierigkeiten und

Überraschungen

178


Didaktik der Mathematik

179

Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 255-263

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Anwenden und Modellieren


Didaktik der Mathematik

180

Anwenden!

Mathematik anwenden

innermathematische

Anwendung

außermathematische

Anwendung

Ziel: Querverbindungen

zwischen

mathematischen

Gebieten herstellen

Ziel: „Nutzen“

der Mathematik

verdeutlichen &

motivieren

1. Weg:

Einstieg in neues

Gebiet mit einem

„praktischen“

Problem

2. Weg:

Anwendungsbeispiele

nach

Erarbeitung

eines Gebietes


Didaktik der Mathematik

181

Geistige Abenteuerlust

Es geht nicht um

„frisierte“, also

mindestens bereinigte

oder eingekleidete

Sachaufgaben,

sondern um die

Auseinandersetzung

mit realen Problemen.

Die Schüler sollen

das Modellieren an

einfachen Beispielen

selbst erfahren und

darüber reflektieren

können.


Didaktik der Mathematik

182

Beispiel: Standzylinder

Kann man die Flüssigkeit

aus dem linken

Standzylinder in den

rechten Standzylinder

schütten, ohne dass er

überläuft

Modell: zwei kreisförmige

Zylinder mit R = 3r.

V = R 2 π h = (3r) 2 π h

= 9 r 2 π h

Antwort: Nein, dazu müsste der rechte

Zylinder mind. 9mal so hoch wie der

Flüssigkeitsstand im linken Zylinder sein.


Didaktik der Mathematik

183

Modellierungskreislauf

reales

Modell

Mathe-

matisieren

mathem.

Modell

Idealisieren

Strukturieren

Vereinfachen

Präzisieren

mathematische

Überlegungen

reale

Situation

Anwenden

Interpretieren

Validieren

mathem.

Resultate


Didaktik der Mathematik

184

Beispiel: Luft-Nummer

Viel heiße Luft bringt einen mit

Sicherheit nach oben. Niemand weiß

das besser als lan Ashpole. Der 43-

jährige stand in England auf der Spitze

eines Heißluftballons. Die Luftnummer

in 1500 Meter Höhe war noch der

ungefährlichste Teil der Aktion.

Kritischer war der Start: Nur durch ein

Seil gesichert, musste sich Ashpole auf

dem sich füllenden Ballon halten. Bei

der Landung strömte dann die heiße

Luft aus einem Ventil direkt neben

seinen Beinen vorbei. Doch außer

leichten Verbrennungen trug der

Ballonfahrer keine Verletzungen davon.

Wie viel Liter Luft sind wohl in

diesem Heißluftballon


Didaktik der Mathematik

185

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Problemlösen


Didaktik der Mathematik

186

Mathematik im Entstehen


Didaktik der Mathematik

187

Mathematik und Kochen


Didaktik der Mathematik

188

Was ist ein Problem

A problem is a situation in which a person wants to reach

a particular goal, is somehow blocked from reaching that

goal, but has the necessary motivation, knowledge and

other resources to make a serious effort (not necessarily

successful) at reaching the goal (Willoughby, 1990).


Didaktik der Mathematik

189

Strategien

Vorwärtsarbeiten

Was ist gegeben

Was weiß ich über das Gegebene

Was kann ich daraus ermitteln

Rückwärtsarbeiten

Invarianzprinzip

Was ist gesucht

Was weiß ich über das Gesuchte

Was benötige ich, um das Gesuchte zu ermitteln

Was ändert sich nicht

Was haben alle Objekte gemeinsam

Zerlegungsprinzip („divide et impera“)

Welche Teilfragen sind zu lösen

Spezialisieren, Analogisieren, Konkretisieren


Heuristische Hilfsmittel

x x² …

Tabelle

Ausprobieren!

Welche Werte sollen in die Tabelle

eingetragen werden

n+(n+1)+(n+2)

= 3n+3

= 3(n+1)

Didaktik der Mathematik

Informative Figur

Hilft beim Verständnis des Problems.

Beim Zeichnen wird deutlich, welche

Informationen zur Lösung benötigt werden.

Was benötige ich, um das Gesuchte zu

ermitteln

Gleichung / Term

Beziehungen der Informationen werden

verknüpft dargestellt.

Nicht immer notwendig!

190


Didaktik der Mathematik

191

Wie sucht man die Lösung

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995

Erstens

Du musst die Aufgabe verstehen.

Zweitens

Suche den Zusammenhang zwischen

den Daten und der Unbekannten.

Du musst vielleicht Hilfsaufgaben betrachten,

wenn ein unmittelbarer Zusammenhang

nicht gefunden werden kann.

Du musst schließlich einen Plan

der Lösung erhalten.

Drittens

Führe deinen Plan aus.

Viertens

Prüfe die erhaltene Lösung.


Didaktik der Mathematik

192

Wie sucht man die Lösung

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995


Didaktik der Mathematik

193

Wie sucht man die Lösung

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlaginnenseite


Didaktik der Mathematik

194

Wie sucht man die Lösung

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlaginnenseite


Didaktik der Mathematik

195

Wie sucht man die Lösung

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlaginnenseite


Didaktik der Mathematik

196

Einfache Einstiegsprobleme

Roth: Online-Spiele im Mathematikunterricht! In: Mathematik lehren, Heft 146, Februar 2008, S. 68-69

http://www.gamecraft.de/get_gruppe.phpgruppe=ma


Didaktik der Mathematik

197

Beispiel: Anzahl von Wegen

Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen,

wenn du nur nach Norden oder Osten gehen darfst


Didaktik der Mathematik

198

Beispiel: Anzahl von Wegen

Hals: Problem Solving, 2010

Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen,

wenn du nur nach Norden oder Osten gehen darfst

1

Einfachere

Teilprobleme

(Divide et impera)

1 4

1

3 6

1

2 3

4

1 1

1 1


Didaktik der Mathematik

199

Beispiel: Anzahl von Wegen

Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen,

wenn du nur nach Norden oder Osten gehen darfst

Aufgabenvariation: Was passiert bei...

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

...

a) 8 x 8 Blöcken

b) n x n Blöcken

c) n x m Blöcken

d) Drei Dimensionen


Didaktik der Mathematik

200

Beispiel: Dreiecksabstände

Hals: Problem Solving, 2010

Gleichseitiges Dreieck. Kannst du einen

Zusammenhang zwischen x, y, z und h finden

Beweise deine Vermutung.

Langweilig!


Didaktik der Mathematik

201

Was ist ein Problem

A problem is a situation in which a person wants to reach

a particular goal, is somehow blocked from reaching that

goal, but has the necessary motivation, knowledge and

other resources to make a serious effort (not necessarily

successful) at reaching the goal (Willoughby, 1990).


Didaktik der Mathematik

202

Beispiel: Surfer

Hals: Problem Solving, 2010

Ella und Judith sind exzellente Surfer. Sie möchten

eine Hütte auf ihrer dreieckigen Trauminsel bauen,

wo es an zumindest einem der drei genau gleich

langen Strände immer gute Surfbedingungen gibt.

Wo sollen sie ihre Hütte bauen,

damit die Summe der Abstände

zu den drei Stränden so klein

wie möglich ist

Kannst du beweisen, dass

du richtig liegst


Didaktik der Mathematik

203

Gleichseitiges Dreieck

Wir beweisen, dass x + y + z = h

Total area =

Total area =

s

h

2

s x s y s

+ +

z

2 2 2

s x s y s z s

+ + =

h

2 2 2 2

s x+ s y + s z = s h

x + y + z = h


Didaktik der Mathematik

204

Beispiel: Surfer

Unrealistisch, weil es keine dreieckigen Inseln gibt.

Stimmt nicht!

Sviðinsey, Island


Didaktik der Mathematik

205

Beispiel: Hubschrauber

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Verlag, Weinheim, Basel, 1998, S. 319

Zwei Orte A und B liegen 245 km voneinander entfernt. In Ort A

startet ein Auto in Richtung Ort B und legt durchschnittlich in einer

Stunde 60 km zurück. Gleichzeitig startet in Ort B ein Auto in

Richtung Ort A und legt in der Stunde durchschnittlich 80 km

zurück. Während die beiden Autos losfahren, startet gleichzeitig ein

Hubschrauber in Ort A. Der Hubschrauber fliegt mit einer

Durchschnittsgeschwindigkeit von 240 km/h in Richtung Ort B. In

dieser Richtung fliegt er so lange, bis er auf das Auto aus B trifft. Er

wendet ohne Zeitverlust und fliegt in Richtung Ort A, bis er auf das

Auto, das in Ort A gestartet ist, trifft. Auf diese Weise fliegt der

Hubschrauber immer zwischen den beiden Autos hin und her, bis

die Fahrzeuge sich treffen. Wie viele Kilometer legt der

Hubschrauber währenddessen zurück


Didaktik der Mathematik

206

Beispiel: Hubschrauber

240 km/h

2

2

60 km/h 80 km/h

245 km

245 km

km

140 h

=

1,75 h

km

240 1,75 h = 420 km

h


Didaktik der Mathematik

207

Beispiel: Hubschrauber


Didaktik der Mathematik

208

Beispiel: Hubschrauber


Didaktik der Mathematik

209

Beispiel: Hubschrauber


Didaktik der Mathematik

210

Beispiel: Hubschrauber


Didaktik der Mathematik

211

Beispiel: Hubschrauber


Didaktik der Mathematik

212

Beispiel: Hubschrauber


Didaktik der Mathematik

213

Hilfen beim Problemlösen

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz,1998, S. 315

So wenig wie möglich, aber so viel wie nötig.

Motivationshilfen

Rückmeldungshilfen

Allgemeinstrategische Hilfen

Inhaltsorientierte strategische Hilfen

Inhaltliche Hilfen


Didaktik der Mathematik

214

Hilfen beim Problemlösen

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz,1998, S. 319

Motivationshilfen

Rückmeldungshilfen

Allgemeinstrategische

Hilfen

Inhaltsorientierte

strategische

Hilfen

Inhaltliche

Hilfen

Die Aufgabe ist

nicht schwer.

Du bist auf

einem richtigen

Weg.

Lies die Aufgabe

genau durch.

Versuche deine

Kenntnisse zu …

anzuwenden.

Zeichne folgende

Hilfslinie ein.

Du kannst das

schaffen.

Du stehst kurz

vor der Lösung.

Notiere

gegebene Daten.

Versuche

graphisch zu

lösen.

Denk an den

Zusammenhang


Man braucht

nicht viel Zeit zur

Lösung.

Da musst du

noch einmal

nachrechnen

Erstelle eine

Skizze.

Überprüfe die

Größenordnung

der Ergebnisse.

Versuche aus

den gegebenen

Größen … die

fehlende zu

berechnen.

Man findet

schnell

Lösungsideen.

Mach weiter so.

Überprüfe deinen

Lösungsweg.

Überprüfe die

Ergebnisse am

Text.

Jetzt weißt

du …, also …!


Didaktik der Mathematik

Anforderungsniveau

von Problemen

215

Anschaulichkeit bzw.

Abstraktionsgrad

Formalisierungs- bzw.

Mathematisierungsgrad

Bekanntheit

Komplexität


Didaktik der Mathematik

216

Lernen von Heurismen

Bruder: Lernen geeignete Fragen zu stellen – Heuristik im MU. In: Mathematik lehren 115, Dezember 2002, S. 4-8

Schritte beim Lernen von heuristischen Strategien

Implizite Gewöhnung an heuristische Vorgehensweisen und

zugehörige typische Fragestellungen

Strategie an Hand von Musteraufgaben explizit vorstellen

Übungsphase mit Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeit,

in denen die neue Strategie bewusst angewandt werden soll.

Anstreben einer unterbewussten flexiblen Strategieanwendung

Reflexionsphase: Beschreibung mit heuristischer Fragetechnik


Didaktik der Mathematik

217

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Rahmenbedingungen des

Mathematikunterrichts


Didaktik der Mathematik

218

Anthropogene Bedingungen

Alter der Schüler (S) und

Lehrer (L)

Entwicklungsstand (S)

Geschlecht (S)

allgemeines Interesse (S/L)

Einstellung zur Mathematik

(S/L)

Begabung / Intelligenz (S)

Leistungsstand und

Lernvoraussetzungen (S)

Lerntempo (S)

Mitarbeit (S)

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 36

Disziplin (S)

fachliche und didaktische

Kompetenz (L)

Engagement für Schüler und

Unterricht (L)

Klassenatmosphäre

Gruppierungen

innerhalb der Klasse

Arbeitsstil der Klasse


Heftführung,

Gruppenarbeit,

Hausaufgaben …


Didaktik der Mathematik

219

Soziokulturelle Bedingungen

Schultyp

Stadt- oder Landschule

Größe der Schule

Größe der Klasse

Relation Jungen ↔ Mädchen

soziale Herkunft (S),

Berufe der Eltern

häusliches Milieu,

familiäre Situation

Vorgeschichte der Klasse

frühere L.

ausgefallener Unterricht …

Lehr- & Unterrichtspläne

Zech: Grundkurs Mathematikdidaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 36

innerschulische

Organisationsform

Vertiefender Zweig,

Wahlpflichtfach, ...

Besonderheiten personeller

oder materieller Ausstattung

Lehrbuch, Medien, Projektor, …

räumliche Gegebenheiten

Architektonische Gestaltung

Gruppenräume …

Sitzordnung

zeitlicher Rahmen

Stundenplan


Didaktik der Mathematik

220

Faktoren für den Lernerfolg

Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010

Faktoren für den Lernerfolg

Persönlichkeit, Kompetenz und Vertrauenswürdigkeit des

Lehrenden

Aufbereitung des Stoffes durch den Lehrenden

Persönlichkeitseigenschaften des Lernenden: Intelligenz,

Motivation und Fleiß

Aufmerksamkeit

Vorwissen und Anschlussfähigkeit des Stoffes

Wiederholung des Stoffes


Didaktik der Mathematik

221

Lehrerpersönlichkeit

Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010

Wissensvermittlung ist eine Sache des Vertrauens in den

Lehrenden

Soll ich mich darauf verlassen, dass das, was der Lehrende

erzählt, stimmt

Nur derjenige Lehrer, der vertrauenswürdig und kompetent wirkt,

ist ein guter Lehrer.

Persönlichkeitseigenschaften des Lehrenden

Fachliche Kompetenz

Selbstvertrauen

Gerechtigkeit

Glaubwürdigkeit

Feinfühligkeit


Didaktik der Mathematik

222

Vertrauenswürdigkeit

Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010

Die Vertrauenswürdigkeit eines Menschen hängt von wenigen,

automatisierten und mehrheitlich unbewusst wirkenden Faktoren

ab:

Blick und Länge des Blickkontakts

Augenstellung und Mundwinkelstellung

Gestik

Schulter-und Körperhaltung

Stimme, Sprachmelodie und Sprachführung


Didaktik der Mathematik

223

Schülerpersönlichkeit

Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010

Wichtige Persönlichkeitseigenschaften des Lernenden

Intelligenz

Motivation & Fleiß

Aufmerksamkeit

Intelligenz

„Intelligenz ist die Fähigkeit, sich in neuen Situationen aufgrund

von Einsicht zurechtzufinden, Aufgaben mithilfe des Denkens zu

lösen, wobei nicht auf eine bereits vorliegende Lösungen zugrückgegriffen

werden kann, sondern diese erst aus der Erfassung von

Beziehungen abgeleitet werden muss“. (Stern und Neubauer,

2007)

Kurz: Intelligenz ist kreatives Problemlösen unter Zeitdruck


Didaktik der Mathematik

224

Verteilung der Intelligenzleistung (IQ)

Normal intelligent: IQ 85-115 (68%)

Hochbegabt: IQ > 115 (14%)

Verteilung der

Intelligenzleistung (IQ)

Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010

Intelligenzentwicklung

Intelligenz in hohem Maße

(50-60%) angeboren

mit ca. 15 Jahren

weitgehend abgeschlossen

Man nimmt an, dass Umwelteinflüsse eine maximale Auswirkung im

Bereich von 20 IQ-Punkten haben

Beispiel: Ein „angeborener“ IQ von 100 kann sich unter guten

Bedingungen (Förderung) zu einem IQ von 110 entwickeln oder

unter negativen Bedingungen auf 90 zurück fallen.


Didaktik der Mathematik

225

Intelligenz, Schulerfolg

& Förderung

Zusammenhang zwischen Intelligenz und Leistung bzw. Erfolg

Der Intelligenzgrad ist der beste Prädiktor für schulischen Erfolg

(gemessen an den Schulnoten).

Schulnoten sind wiederum der beste Prädiktor für den Studienund

Berufserfolg.

Allerdings liegt der Einfluss des Intelligenzgrades auf den schulischen

Erfolg „nur“ bei 36-50% und sinkt bei höheren Ausbildungsstufen

auf 20-30%, hat aber immer noch die relativ beste

Vorhersagekraft.

Förderung

Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010

Positive frühkindliche Bindungserfahrung und frühe sensorische,

kognitive und kommunikative Erfahrungen.

Langjähriger Schulbesuch verbunden mit vielseitiger kognitiver,

musischer und körperlicher Anregung und nachhaltigem Üben.


Didaktik der Mathematik

226

Motivation & Fleiß

Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010

Neben Intelligenz sind Motivation und Fleiß die wichtigsten

Bedingungen für den Lernerfolg.

Motivation zum Lernen und Fleiß sind wie Intelligenz teils abhängig

von der Persönlichkeit (Gewissenhaftigkeit, Ausdauer,

Zielorientierung, Belohnungserwartung), teils sind sie umweltabhängig,

insbesondere von prägenden Faktoren in Kindheit und

früher Jugend wie einem lernbegünstigenden und intellektuell

offenem Familienklima, dem Vorbild der Eltern, Ermutigung und

frühen Lernerfolgen.

Dies erklärt, warum Motivation und Fleiß signifikant mit dem

Bildungsgrad der Eltern korrelieren.

Die Einstellung zum Fleiß ist in Deutschland (und Österreich)

deutlich geschlechts-spezifisch ausgeprägt: bei Mädchen wird

Fleiß „toleriert“, bei Buben gilt er als „uncool“. Dies drückt

signifikant die Schulleistung der Buben.


Didaktik der Mathematik

227

Episodisches Gedächtnis

Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010

Lernen geschieht primär

über das episodischkontextuelle

Gedächtnis, d.h. über

Inhalte, die mit mir und

meiner Umgebung zu

tun haben.

Abstraktes Wissen ist

kontextlos und deshalb

schwer direkt zu

vermitteln.

Abstraktes Wissen entsteht normalerweise über eine Filterung

episodischen Wissens durch zunehmenden Fortfall des Kontextes.

Daher ist es gut, Inhalte „lebensnah“ und kontextreich darzubieten.


Didaktik der Mathematik

228

„Hirngerechte“ Darbietung des Stoffes

„Hirngerechte“ Darbietung

des Stoffes

Kurze Einführung in den Inhalt und Überprüfen des Vorwissens.

Unterteilung des Stoffes in kurze, inhaltlich zusammenhängende

Abschnitte von maximal 5 Minuten. Dann eine „Denkpause“, in der

kurz geklärt wird, ob alles verstanden wurde. Dann erst weiter.

Zum Schluss Zusammenfassung des Vorgetragenen bzw.

gemeinsam Erarbeiteten

Wiederholung in kürzeren und längeren Abständen ist wichtig, z.B.

nach 6 Stunden, 24 Stunden, 2 Wochen und 6 Wochen.

Nichts wird mit einem Mal gelernt.

Gerhard Roth: Wie Lernen gelingt, Bremen 2010

(Vergleiche sinnvoll-rezeptives Lernen nach Ausubel)


Didaktik der Mathematik

229

Merkmale guten Unterrichts

Hilbert Meyer

Vorbereitete

Umgebung

Klare Strukturierung

Hoher Anteil

echter

Lernzeit

Leistungserwartung

transparent

Lernförderliches

Klima

Intelligentes

Üben

Inhaltliche

Klarheit

Methodenvielfalt

Individuelles

Fördern

Sinnstiftendes

Kommunizieren


Didaktik der Mathematik

230

Merkmale der

Unterrichtsqualität

Helmke

Passung:

Umgang

mit Heterogenität

Führung &

Zeitnutzung

effizient

Vielfältige

Motivierung

Strukturiert,

klar, verständlich

Lernförderliches

Klima

Konsolidieren,

sichern,

intelligent

üben

an Ziel,

Wirkung &

Kompetenz

orientiert

Aktives &

selbstständiges

Lernen

fördern

Sinnvolle

Variation v.

Methode &

Sozialform

Schülerorientierung

Unterstützung


Didaktik der Mathematik

231

Differenziert fördern

Höhmann: Differenziert fördern. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f


Didaktik der Mathematik

232

Differenziert fördern

Höhmann: Differenziert fördern. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f


Didaktik der Mathematik

233

Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 171-216

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Unterrichtsplanung


Didaktik der Mathematik

Unterrichtsplanung

Leistungsbeurteilung

234

Unterrichtsplanung – Fachpraktische Übung, 1. Abschnitt

PS Unterrichtsplanung (Pädagogik)

SE Schulpraktisches Seminar I (Mathematik Didaktik)

Leistungsbeurteilung – Übungsphase, 2. Abschnitt

PS Unterrichten und Beurteilen (Pädagogik)

SE Schulpraktisches Seminar II (Mathematik Didaktik): konkrete

Informationen über die geltenden Bestimmungen und

praktische Beispiele, z.B. gemeinsame Schularbeitskorrektur

Wichtigste Frage dabei: Wie lassen sich die gesetzlichen

Bestimmungen in der Praxis pädagogisch sinnvoll umsetzen

Unterrichtspraktikum – nach Studienabschluss

Spezieller Tag zur Leistungsbeurteilung im Fach Mathematik

Für Interessierte: Leistungsbeurteilungsverordnung (LBVO,

bm:ukk)


Didaktik der Mathematik

235

Jahresplanung

Jahresplanung nach jeweiligem Lehrplan

Siehe Kapitel „Lehrpläne in Österreich“

Zeitlicher Umfang der Behandlung von Themen

Gefahr: Man hält sich bei einzelnen Themen

(zu Beginn des Schuljahres) zu lange auf und hat

am Ende zu wenig Zeit für wesentliche Gebiete.

Bildung von Unterrichtssequenzen

Entwicklung, Vertiefung, Erarbeitung, Erfassen

von Zusammenhängen … benötigt mehrere

zusammenhängende Unterrichtseinheiten.

Anordnung der Unterrichtssequenzen

Sachlogik

Didaktische Prinzipien


Didaktik der Mathematik

236

Beispiel: Jahresstoffverteilung

2. Klasse Gymnasium

Sandra Reichenberger, Gymnasium Dachsberg, 2009/10

September I.Teilbarkeit natürlicher Zahlen 1. Teiler, Vielfache

2. Teilbarkeitsregeln

3. Primzahlen

4. ggT

5. kgV

Oktober II. Brüche und Bruchzahlen 1. Wiederholung (Erweitern und Kürzen)

2. Bruch als angezeigte Division

3. Bruchzahlen auf dem Zahlenstrahl

4. Vergleichen und Ordnen von Bruchzahlen

III. Das Koordinatensystem

1. Punkte und Geraden im Koordinatensys.

IV. Der Winkel

1. Bezeichnungen - Winkelmaße

2. Übertragen von Winkeln

3. Parallelwinkel und Normalwinkel

November V. Das Dreieck 1. Bezeichnungen und Winkelsumme

2. Dreiecke mit besonderen Eigenschaften

3. Dreieckskonstruktionen

4. Flächeninhalt rechtwinkeliger Dreiecke

5. Besondere Linien und Punkte

Dezember II. Brüche und Bruchzahlen 5. Addieren und Subtrahieren

6. Multiplzieren und Dividieren

Jänner

7. Verbindung der Grundrechnungsarten

VI. Symmetrie

1. Symmetrische Figuren

2. Streckensymmetrale

3. Winkelsymmetrale


Didaktik der Mathematik

237

Februar VII. Gleichungen und Formeln 1. Lösen von Gleichungen

2. Arbeiten mit Formeln

März

VIII. Vierecke und Vielecke

Beispiel: Jahresstoffverteilung

2. Klasse Gymnasium

Sandra Reichenberger, Gymnasium Dachsberg, 2009/10

1. Allgemeine Vierecke

2. Parallelogramm

3. Trapez

4. Deltoid

5. Vielecke

IX. Direkte und indirekte Proportionalität

1. Direkte Proportionalität

April

Mai

Juni

Juli

X. Prozentrechnung

XI. Regelmäßige Vielecke

XII. Das Prisma

XIII. Statistik

XV. Projekt

2. Indirekte Proportionalität

3. Vermischte Aufgaben

1. Grafische Darstellung

2. Rechnen mit Prozenten

1. Konstruktion

1. Eigenschaften und Formen

2. Netz und Oberfläche

3. Rauminhalt

1. Relative Häufigkeit

2. Datendarstellung und Manipulation


Didaktik der Mathematik

238

Unterrichtssequenz

Entscheidung über die Didaktische Konzeption

Hintergrundtheorie (Beispiel: Bruchrechnung)

„Roter Faden“ (Schlüsselbegriff, durchgängige

Problemstellung, durchgängige Methode)

Auswahl der Inhalte

Welche Begriffe, Sachverhalte, Verfahren, Anwendungen

und Probleme sollen wie ausführlich bearbeitet werden

„Lehre nichts, was dem Schüler dann, wenn er es lernt, noch nichts ist,

und lehre nichts, was dem Schüler später nichts mehr ist!“ (Diesterweg)

Anordnung/Verteilung der Inhalte

Genetisches Prinzip, operatives Prinzip, Prinzip der Isolation

der Schwierigkeiten, „Vom Leichteren zum Schwereren“

Unterrichtseinheiten nicht überladen

Gründlich beginnen und tragfähige Vorstellungen aufbauen


Didaktik der Mathematik

239

Unterrichtseinheit

Einstieg

Erarbeitung

Sicherung

Vertiefung

Ergebnisse

festhalten

Erreichen der

Lernziele mit

Hilfe geeigneter

Aufgaben

überprüfen


Didaktik der Mathematik

240

Unterrichtseinheit

Einstiege sollen

die Schüler motivieren, sich mit mathematischen Fragestellungen

auseinander zu setzen

den Unterricht von Beginn an problemorientiert ausrichten

den Unterrichtsverlauf (vor-)strukturieren

Übungen sollen

neue Entdeckungen zulassen

problemorientiert sein

das operative Prinzip berücksichtigen (Variation von

Darstellungsebene und Ausgangssituation)

produktiv sein (d.h. möglichst mit praktischen Tätigkeiten

verbunden)

anwendungsorientiert sein (d.h. Sachsituationen mit einbeziehen

und praktische Erfahrungen vermitteln)


Didaktik der Mathematik

Grundfragen der

Unterrichtsplanung

241

Wie ist die fachliche Struktur des Themas

Wie kann das Thema erarbeitet werden

Welche Voraussetzungen (Wissen & Fähigkeiten)

müssen die Schüler mitbringen

Welche Lernziele sollen erreicht werden

Wie sollen die Schüler motiviert werden

Wie soll der Einstieg in das Thema erfolgen

Welche Repräsentationsformen sind angemessen

Welche Medien sollen eingesetzt werden

In welchen Sozialformen soll gearbeitet werden

Welcher Grad der Selbsttätigkeit wird angestrebt

Wie soll geübt und vertieft werden


Didaktik der Mathematik

Sozialformen und

Selbsttätigkeitsgrad

242

Sozialform

Selbsttätigkeit

Instruktion

gelenktes

Entdecken

nur Impulse

Klassen- bzw.

Frontalunterricht

Lehrervortrag

Freies

Unterrichtsgespräch

Fragendentwickelnder

Unterricht

Gruppenarbeit

Gruppeninstruktion



Partnerarbeit

Partnerinstruktion



Einzelarbeit

Individualisierte

Instruktion



Didaktik der Mathematik

Beispiel: Unterrichtssequenz

Flächeninhalte, 3. Klasse AHS

243

Inhalte

Flächeninhalt des Dreiecks

Flächeninhalt des Parallelogramms

Flächeninhalt des Trapezes

inhaltsgleiche Figuren

Querverbindung zu binomischen Formeln

Lehrplan AHS Unterstufe

3.3 Arbeiten mit Figuren und Körpern

Formeln für Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken

begründen und damit Flächeninhalte berechnen können


Didaktik der Mathematik

244

Themenkreis Flächeninhalt

Flächeninhalt!

Axiome des

Flächeninhalts

Flächenmessung

Flächenvergleich

Seitenlängen

aus N

Ergänzungsgleichheit

Zerlegungsgleichheit

Seitenlängen

aus Q +

Seitenlängen

aus R +


Didaktik der Mathematik

Stufen beim

Erarbeiten von Größen

245

1. Stufe: Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln

2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten

3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter

Maßeinheiten

ein drittes Objekt als Vermittler benutzen

ein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen

4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter

Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen Messgeräten

5. Stufe: Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten

6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen (!!)

7. Stufe: Rechnen mit Größen


Didaktik der Mathematik

246

Axiome des Flächeninhalts

Nichtnegativität

Die Maßzahl A des Flächeninhalts ist nichtnegativ. (A 0)

Normierung

Ein Quadrat der Seitenlänge 1 LE

hat den Flächeninhalt A = 1 LE 2 .

Additivität

Der Flächeninhalt einer Figur ist gleich der Summe der

Flächeninhalte der Teilfiguren, in die die Fläche zerlegt

werden kann.

Kongruenz

Kongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt.


Didaktik der Mathematik

Rechtecksflächeninhalt

(a, b N)

247

Flächenmessung

Auslegen mit Einheitsquadraten.

b Reihen, zu je a Einheitsquadraten A = a · b

b

1 LE²

a


Didaktik der Mathematik

Flächengleiche Figuren:

Tangram

248


Didaktik der Mathematik

249

Flächeninhaltsbestimmung

Rechteck

Flächenmessung, d. h. Auslegen mit Einheitsquadraten

Dreieck

Flächenvergleich

mit dem Rechteck

Vieleck

Fläche des Rechtecks:

A Rechteck = g * h

Formel

deshalb ist die

Fläche des Dreiecks

A Dreieck = 1/2 * g * h

Regler nach rechts ziehen

----------------->

Triangulierung

(Einteilen in Dreiecke)

A

g

C

h

Das Dreieck kann an den Eckpunkten

verändert werden

B

A

C

h

Regler nach rechts ziehen

-------------->

R

B

Kreis (4. Klasse AHS)

Einschachtelung


Didaktik der Mathematik

250

Kreisinhaltsbestimmung


Didaktik der Mathematik

Fläche eines Kontinents

(Antarktis)

251

Schätze die Fläche

der Antarktis, indem

du den Maßstab der

Karte benutzt.

Schreibe deine

Rechnung auf und

erkläre, wie du zu

deiner Schätzung

gekommen bist.

Du kannst in der

Karte zeichnen, wenn

dir das bei deiner

Schätzung hilft.

Kilometer

PISA-Aufgabe 0

200 400 600 800

1000


Idee: Mit Einheitsfläche

„auslegen“

Schätze die Fläche

der Antarktis, indem

du den Maßstab der

Karte benutzt.

Schreibe deine

Rechnung auf und

erkläre, wie du zu

deiner Schätzung

gekommen bist.

Du kannst in der

Karte zeichnen, wenn

dir das bei deiner

Schätzung hilft.

Kilometer

PISA-Aufgabe 0

200 400 600 800

1000

Didaktik der Mathematik

Fläche mit Schelfeistafeln: 13 975 000 km 2

252


Didaktik der Mathematik

253

Parallelogramm

D

C

A

B

D

C

A

B


Didaktik der Mathematik

Flächeninhaltsbestimmung

am Trapez

254


Didaktik der Mathematik

255

Projekte

Ludwig: Projekte im Mathematikunterricht des Gymnasiums. Franzbecker, 1998

Projektthemen sollen …

aus den Inhalten der

Jahrgangsstufe erwachsen.

möglichst mehrere

mathematische Themen

miteinander verbinden und

früher behandelte Inhalte

einbeziehen.

möglichst Verbindungen zu

anderen Fächern herstellen.

einen Bezug zum Leben haben.

fachliche und historische

Hintergründe erhellen können.

Möglichkeiten zur Entfaltung

von Ideen und zu selbstständiger

Tätigkeit bieten.

unterschiedliche Interessen und

Fähigkeiten ansprechen.

die Beschaffung notwendiger

Informationen

durch die Schüler erlauben.

ergiebig sein, also Arbeit in

mehreren Gruppen

ermöglichen und Einsichten

vermitteln.

so gestaltet sein, dass am Ende

etwas vorgezeigt werden kann.


Didaktik der Mathematik

256

Projektorganisation

Projektorganisation

Zeitraum (benötigt / zur Verfügung stehend)

Gruppen

Präsentation

Materialien

Kosten (evtl. Sponsoring)

Beispiel

Einparken, Oberstufe

http://atfd.pbworks.com/Unterrichtseinheiten

SE Aktuelle Themen der Fachdidaktik


Didaktik der Mathematik

257

Methodik – Wie

Wie kann man ein mathematisches Thema unterrichten

Wahl von Einstiegen, Sozialformen, Lernformen

Stellung von Arbeitsaufträgen, Erklärungen

Ergebnissicherung, Übungsformen

Computereinsatz

Formen der Diagnose und Leistungsbeurteilung

SE Methodik des Mathematikunterrichts

Barzel, Büchter, Leuders (2007):

Mathematik Methodik - Handbuch

für die Sekundarstufe I und II.

Cornelsen Verlag, Berlin


Einführung in die Didaktik der Mathematik

Computereinsatz

am Beispiel DGS

Didaktik der Mathematik

Dynamisches Geometriessystem (DGS)

258


Didaktik der Mathematik

259

Einsetzbar …

in jeder Sozialform

in allen Graden der Selbsttätigkeit

für die Konstruktion von Lernumgebungen

als Werkzeug


Didaktik der Mathematik

260

Werkzeugcharakter von DGS

http://www.juergen-roth.de/veroeffentlichungen/dynamik_von_dgs/roth_dynamik_von_dgs.pdf

Konstruktionswerkzeug

Makros, …

Visualisierungswerkzeug

dynamische Ortslinien

Zugmodus


Erforschungswerkzeug

Begriffsumfang

Entdecken


Modellierungswerkzeug

rekonstruktives Modellieren, …

Heuristisches Werkzeug

vgl. „Dreiecksgrundformen“ im

Kapitel „Begriffe erarbeiten“

„Denkwerkzeug“

Auslagern mathematischer

Fertigkeiten

Dynamik von DGS

Wozu und wie sollte

man sie nutzen

Voraussetzung:

Bewegliches Denken


Didaktik der Mathematik

261

Bewegliches Denken

Bewegung hineinsehen

und damit argumentieren

Gesamtkonfiguration

erfassen und analysieren

Änderungsverhalten

erfassen und beschreiben


Didaktik der Mathematik

Funktionen von DGS

für „bewegliche Denker“

262

Kontrollinstanz

im Kopf abgelaufene bewegliche Denkvorgänge

auf ihre Tragfähigkeit hin kritisch überprüfen

Denkzeug

Verringerung der Komplexität

(Gedächtnisentlastung, Realisierung von Bewegungen)

Konzentration auf Planung, Interpretation,

Analyse und Argumentation wird möglich

Kommunikationsmittel

Ergebnisse beweglicher Denkvorgänge vermitteln

„dynamisches Vorführen“ von Veränderungen

Aufmerksamkeitsfokussierung


Didaktik der Mathematik

Ziele des DGS-Einsatzes

bzgl. der „Dynamik“

263

Schüler sollen

ohne Computer, also im Kopf, Bewegungen hineinsehen,

analysieren und Änderungsverhalten erfassen können

bei komplexeren Gegebenheiten einen geeigneten Computereinsatz

planen, vorstrukturieren und reorganisieren können

Auf dem Weg zu diesem Ziel

Fokussierungshilfen in Lernumgebungen einbauen

Konzentration auf Analyse- und Argumentationsprozesse


Didaktik der Mathematik

Drei Stufen der

Fokussierungshilfen

264

Konfiguration vollständig vorgegeben

Fokussierungshilfen für alle wesentlichen Aspekte

(z. B. Farbgebung, Linienstärken, Mitführung von Messwerten …)

Elemente können evtl. ein- und ausgeblendet werden

Variationsmöglichkeiten evtl. bewusst eingeschränkt

Veränderbare (Teil-)Konfiguration vorgegeben

kann / muss ergänzt oder verändert werden

nur einzelne Fokussierungshilfen vorhanden

Leeren, unstrukturierten DGS-Datei

DGS wird selbstständig und ohne Vorgaben benutzt


Didaktik der Mathematik

265

Zweck des DGS-Einsatzes

Bewegliche Argumentation kommunizieren

Beweisideen vermitteln

Verständnisgrundlagen

für Begriffe und ihre Eigenschaften bilden

Experimentelles Arbeiten

Entdecken von Zusammenhängen

Finden von Ideen im Problemlöseprozess

Reflexion von Problemlöseprozessen


Didaktik der Mathematik

Inhaltsdimension &

Unterstützungsdimension

266

► Grad der Fokussierungshilfen


Zweck des

DGS-Einsatzes

Fertig vorgegebene

Konfiguration

(evtl. Möglichkeit zum

Ein- und Ausblenden

von Elementen)

Veränderbare

Konfiguration

mit einzelnen

Fokussierungshilfen

Leere,

unstrukturierte

DGS-Datei

Bewegliche Argumentation

kommunizieren

Beweisideen vermitteln

Verständnisgrundlage

für Begriffe und ihre

Eigenschaften bilden

Experimentelles Arbeiten

• Entdecken von

Zusammenhängen

• Finden von Ideen im

Problemlöseprozess

Reflexion von

Problemlöseprozessen


Didaktik der Mathematik

267

Einführung in die Didaktik der Mathematik

Werkzeuge & Materialien


Didaktik der Mathematik

268

GeoGebra

http://www.geogebra.org

GeoGebra = Geometrie + Algebra

Interaktive dynamische Verbindung von

ikonischer & symbolischer Darstellungsform

(vgl. Bruner & operatives Prinzip)

Open Source, kostenlos verfügbar von

www.geogebra.org

Dynamische Geometrie,

Tabellenkalkulation, Computeralgebra

Speziell für den Mathematikunterricht

entwickelt

Freie Online-Unterrichtsmaterialien

GeoGebraWiki, www.geogebra.org/wiki

Creative Commons Share-Alike Lizenz


Didaktik der Mathematik

269

Maxima & Open Office Calc

Maxima

Computeralgebra

Open Source

http://wxmaxima.sourceforge.net

Open Office Calc

Tabellenkalkulation

Open Source

http://www.openoffice.org/


Didaktik der Mathematik

270

Empfohlene Webseiten

Fachportale

Lehrer Online, Fachportal Mathematik

ZUM, Fachportal Mathematik

Schule.at, Fachportal Mathematik

NCTM Illuminations, "Lessons" für alle Altersstufen

Themensammlungen

Medienvielfalt im MU, interaktive Lernpfade

Mathematik Labor, Materialien für Projekte

MathePrisma, interaktive Lernumgebungen

Interaktive Übungen & Arbeitsblätter

Realmath, interaktive Übungen

GeoGebraTube, dynamische Arbeitsblätter


Didaktik der Mathematik

271

Bücher & Zeitschriften

Zeitschriften

mathematik lehren

PM - Praxis der Mathematik in der Schule

Der Mathematikunterricht

Zeitschriften zum Mathematikunterricht

http://www.juergen-roth.de/zeitschriften.html

Siehe Fachbibliothek Mathematik

Kopfgebäude 7. Stock

Zeitschriftenaufstellung

Bücher

Bücher zur Mathematikdidaktik

http://www.juergenroth.de/literatur_zur_mathematikdidaktik.html

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