Zur Wirbeltheorie der Elektrodynamik - Aias.us

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EDyn3.doc 20 H. Eckardt 4. Januar 2004 5.4.1 Ein analytischer Ansatz Eine vereinfachte Vorgehensweise besteht darin, zunächst eine plausible Geschwindigkeitsverteilung festzulegen und dazu die Felder zu berechnen. Dann genügen die Gleichungen (3a,b). Dies ist zwar kein allgemeiner Lösungsweg, er kann aber Einblicke in die Natur typischer Wirbellösungen vermitteln. Wir nehmen ein kugelsymmetrisches Geschwindigkeitsfeld an. Dazu führen wir zweckmäßigerewise Kugelkoordinaten ein mit den Basisvektoren e r , e θ , e ϕ (Abb. 5a). Die Wirbelrichtung soll in West-Ost-Richtung verlaufen, der Geschwindigkeitsvektor hat also nur eine ϕ-Komponente. Das E-Feld soll nach außen zeigen, also in e r -Richtung liegen. Dann zeigt B θ in die negative e θ -Richtung. Für die Geschwindigkeit nehmen wir eine r-Abhängigkeit an, denn es ist plausibel, daß sich die Wirbelrotation auf allen Radien mit gleicher Umlauffrequenz erfolgt. Dann muß aber die Tangentialgeschindigkeit von r abhängen in der Form v ϕ = ωr. mit der Rotationsfrequenz ω=2π/T; T ist die Umlaufperiode. Dies gelte unabhängig vom Höhenwinkel θ. B θ v ϕ e r e ϕ v ϕ E r e θ θ ϕ r r a. Felder in Kugelkoordinaten b. Geschwindigkeits-Profil in der ϕ-Ebene Abbildung 5: Feldstruktur in Kugelkoordinaten Es ergibt sich damit das Geschwindigkeitsprofil, wie es in Abbildung 5b dargestellt ist. Nun gilt aber an allen Punkten des Raumes v=c. Dies ist nur mit unserem Ansatz vereinbar, wenn die Lichtgeschwindigkeit örtlich variiert. Wir erreichen dies durch eine spezielle Wahl von ε und µ. Wir definieren ε := ε 0 R/r, µ := µ 0 R/r mit dem Kugelradius R. Damit ist gewährleistet, daß c am Rand stetig in den Vakuumwert übergeht. Es ist somit: c(r) = (ε µ) -1/2 = (ε 0 µ 0 ) -1/2 r/R. Wir können die Konstanten ε 0 , µ 0 und R zu einer neuen Konstanten ω 0 zusammenfassen und erhalten wieder die oben definierte Form v ϕ = ω 0 r.
EDyn3.doc 21 H. Eckardt 4. Januar 2004 ω 0 identifizieren wir mit ω. Dieser Ansatz entspricht der Vorgehensweise in der Physik, Vielteilcheneffekte auf ein effektives Einteilchenproblem zurückzuführen. Denn wir müssen von vielen Wellen ausgehen, die an einem Wirbel beteiligt sind. Diese werden nach kleineren Radien hin konzentriert sein, d.h. die Feldstärken werden nach innen hin zunehmen. Dies läßt sich durch eine geeiget ansteigende Dielektrizitätskonstante und Permeabilität pauschalisieren. Zur Berechnung der Feldverhältnisse wenden wir zunächst die Faradaygleichungen an, wobei die Vektorkomponenten in Kugel-Koordinaten r, ϕ, θ zu schreiben sind. Das Kreuzprodukt folgt aus der Determinantenschreibweise: ⎜e r e θ e ϕ ⎜ ⎛-v ϕ B θ ⎞ E = v x B = ⎜0 0 v ϕ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜0 B θ 0 ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎜e r e θ e ϕ ⎜ ⎛ 0 ⎞ B = -1/c 2 v x E = -1/c 2 |0 0 v ϕ ⎟ = ⎜-v ϕ /c 2 E r ⎟ Einsetzen von E r in B θ liefert: ⎜E r 0 0 ⎜ ⎝ 0 ⎠ B θ = v 2 ϕ /c 2 B θ = ω 2 r 2 /c 2 B θ . Es ergibt sich wieder die bekannte Bedingung, daß v gleich der Lichtgeschwindigkeit sein muß: v ϕ = ωr = c. Beide Felder sind also gekoppelt durch die Beziehung E r = v ϕ B θ = ωr B θ . Wir betrachten im folgenden E r als konstant gegeben. Nun berechnen wir die verschiedenen Differentialoperatoren (s. Anhang 8.3 für deren Form in Kugelkoordinaten): ⎛ω cot θ⎞ div v = 0, rot v = ⎟ -2ω ⎜, ⎝ 0 ⎠ div D = div ε E = ε 0 R/r 2 E r , rot E = 0, ⎛ 0 div B = -cot θ E r /ωr 2 , rot H = ⎜-E r /µ 0 ωr 2 ⎟. ⎝ 0 ⎠ Wegen der Ortsabhängigkeit von c müssen wir hierbei zwischen E und D bzw. H und B unterscheiden. Wir berechnen die Ladungen in der Kugel. Die elektrische Ladung ist Q e = ∫ div D d 3 r = ∫ 0 R R/r 2 ε 0 E r r 2 dr ∫ 0 π sinθ dθ ∫0 2π dϕ = 4πR 2 ε 0 E r . Sie ist proportional der Oberfläche. Für die „magnetische“ Ladung folgt Q m = ∫ div B d 3 r = ∫ 0 R Er /ω r 2 dr ∫ 0 π cosθ dθ ∫0 2π dϕ = 0, ⎞
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Seite 19: EDyn3.doc 19 H. Eckardt 4. Januar 2

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