Lösung zum Übungsblatt "Rastertunnelmikroskopie"

Rechenbeispiele zur Rastertunnelmikroskopie
j T = α·U
d
· exp (−2κd) mit κ = √ 2m eϕ
¯h
und α = e2 κ
4π 2¯h
Seien U = 0.05V , d = 0.1nm = 10 −10 m und ϕ = 2eV . Für die Einheiten der
Energie gilt 1eV = 1.602 · 10 −19 −19 kg·m2
J = 1.602 · 10
s 2 .
κ =
=
√
2 · 9.109 · 10
−31
kg · 2eV
√
1.054 · 10 −34 J · s
4 · 9.109 · 1.602 · 10 −50 kg 2 m 2
s 2
1.054 · 10 −34 kg·m 2
s
= 7.249 · 10 9 1 m
Also:
α = e2
4π 2¯h · κ
= 7.160 · 10 −15 ·
C 2
eV · s · m
Für die Tunnelstromdichte ergibt sich dann:
j T = 7.160 · 10 −15 ·
(Einsetzen von 1eV = 1.602 · 10 −19 C · V )
= 2.234 · 10 13 C
s · m 2 · 0.235
= 5.25 · 10 12 A m 2
0.05
10 · C 2 · V
−10 eV · s · m · exp (−2κ · 2 10−10 m)

Aufgabe a:
ϕ : 2V → 4V
˜ϕ = 2ϕ
√
2me (2ϕ)
˜κ =
¯h
= √ √ 2me ϕ
2 ·
¯h
= √ 2 · κ
˜α = √ 2 · α
Damit folgt dann für die neue Tunnelstromdichte:
√
j˜
2α · U
T =
d
= √ 2 · α · U
d
· exp (−2κd · √2)
√
· (exp (−2κd·)) 2
= √ 2 · 2.234 · 10 13 · 0.129 ·
= 4.076 · 10 12 ·
A
m 2
A
m 2
Die Tunnelstromdichte ist also um einen Faktor ≈ 1.3 kleiner geworden.
Aufgabe b:
d : 0.1nm → 1nm
˜d = 10 · d
Die Barrierenhöhe sei hier wieder wie zu Beginn ϕ = 2V . Dann ergibt sich:
j˜
T = 1
10 · α · U
d
= 1
10 · α · U
d
= 1.148 · 10 6 A m 2
· exp (−2κd · 10)
· (exp (−2κd·)) 10
Die Stromdichte wurde um einen Faktor von ≈ 4.6 · 10 6 verringert. (6 Größenordnungen!)

Aufgabe c:
m e : 1.18m e → 0.013m e
Zunächst berechnen wir den Strom für Silizium (mit den bisher verwendeten Parametern):
κ Si = √ 1.18 · κ
= 7.873 · 10 9 · 1
m
α Si = √ 1.18 · α
Es folgt:
j T Si = √ 1.18 · 2.234 · 10 13 · exp (−2κ10 −10 m · √1.18)
= 2.427 · 10 13 · (exp (−2κ10 −10 m))
= 5.034 · 10 12 A m 2
√
1.18
Und nun für InSb:
κ InSb = √ 0.013 · κ
= 8.264 · 10 8 · 1
m
α InSb = √ 0.013 · α
Also:
j T InSb = √ √
0.013 · 2.234 · 10 13 · (exp (−2κ10 −10 1.18
m))
= 2.159 · 10 12 A m 2
Von Si zu InSb nimmt die Tunnelstromdichte also um den Faktor ≈ 2.3 ab.