Komplexe Zahlen , konjugierte komplexe Zahl, Polarform, Moivre ...

5.Vorlesung MafI II, SoSe 08, 29.04.2008
Thema: Komplexe Zahlen , konjugierte komplexe Zahl, Polarform, Moivre’sche Formel
Definition:
Eine komplexe Zahl ist ein Paar (a,b) von reellen Zahlen.
Menge der komplexen Zahlen
Rechenregeln:
a, b c, d ac,bd
a, b · c, d ac bd, ad bc
a = Realteil = Re z
b = Imaginärteil = Im z
Indem man Realteil und Imaginärteil als Koordinaten interpretiert,
kann man komplexe Zahlen als Punkt in der Gauß’schen
Zahlenebene darstellen.
Satz: Die komplexen Zahlen bilden mit + und · einen Körper mit dem Nullelement (0,0) und
Einselement (1,0).
Die reellen Zahlen sind in „enthalten“ als die komplexen Zahlen mit Imaginärteil = 0.
Die komplexe Zahl (0,1) heißt die imaginäre Einheit und wird mit i (manchmal auch j) bezeichnet.
Schreibweise: a, b ab
a, b
Nachrechnen: a ba, 0 0, b · 0,1 a, 0 0, b a,b
·0,1 · 0,1 1,0 1
In den komplexen Zahlen hat die Gleichung x 1 eine Lösung: „ √1“
Tatsächliches Rechnen mit komplexen Zahlen:
• Verwendung der Darstellung a b
• Ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz
• Vereinfachen mit der Regel 1
a b · c d ·ca·db·cb·dac bd adbc·
Nachprüfen der Körpereigenschaften:
„+“: assoziativ, kommutativ, Nullelement (0,0),
inverses Element: a, b a,b bzw. a b ab
„·“: assoziativ, kommutativ, Einselement (1,0)
inverses Element: a b
Definition: a, b
,
a, b 0,0
·
1

Die konjugierte komplexe Zahl zur komplexen Zahl ab ist die Zahl z ab.
Rechenregeln für komplexe Zahlen u + v:
uv uv u u
u·v u·v u u
u u
uu2·Re u uu2·Im u
u·ua b
Die Polarform von komplexen Zahlen ist die geometrische Interpretation von Addition und
Multiplikation.
Die Länge des Vektors vom Ursprung zum Punkt ab nennt man den Betrag von z
|| √a b .
Den Winkel zwischen dem Vektor und der positiven reellen
Achse nennt man das Argument von z:
φargz arctan (gemessen gegen Uhrzeigersinn)
φ 90° für a = 0
ab·cos φ · sin φ r·e
|u ·v| |u|·|v|
argu·vargu·argv
Beweis durch Nachrechnen und Anwendung von Summenformeln für sin und cos.
Nachprüfen von |u ·v| |u|·|v|:
|a b · c d| |a b| · |c d|
ac bd adbc·
ac bd adbc a b · c d a c a d b c b d
de Moivre’sche Formeln
cos x · sin x cosn ·x ·sinn ·x
Herleitung:
cos nα cos α 2 cos α·sin α 4 cos α·sin α 6 cos α·sin α
sin nα 1 cos α·sinα 3 cos α·sin α 5 cos α·sin α
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