bzw. Vektorprodukt

Vektoranalysis: Herleitung des Vektor- bzw. Kreuzproduktes
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Wir wollen eine Berechnungsvorschrift für einen neuen Vektor herleiten, welcher gewisse Rechenaufgaben elegant
abkürzt und in diversen Bereichen über die Mathematik hinaus Anwendung findet (typisches Beispiel aus der Physik:
das Drehmoment)
Zuerst rufen wir uns zwei wichtige Ergebnisse aus der Vektoranalysis in Erinnerung
1. Orthogonalitätskriterium
cos(90 ◦ ) = 0, d.h. falls das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist, schließen sie einen rechten Winkel ein!
2. Fläche eines Parallelogramms:
Mit Hilfe der allgemeinen Berechnungsvorschrift für ein Parallelogramm (vgl. Dreiecksfläche) aus der Trigonometrie
in vektorieller Form und der oben hergeleiteten Gleichung für cos(γ) sahen wir:
A =
√
⃗a 2 ·⃗b 2 − (⃗a ·⃗b) 2
Nach dieser Wiederholung wenden wir uns dem Kreuzprodukt zu. Als Symbol für diese Verbindung verwenden
wir das ×
Wenn wir so zwei Vektoren verbinden erhalten wir einen neuen Vektor, den wir mit ⃗n bezeichnen wollen.
ALSO: ⃗n = ⃗a × ⃗ b
⃗a × ⃗ b
3. Wir fordern folgende Eigenschaften an ein Vektorprodukt
(i) ⃗n soll normal auf ⃗a und
(ii) ⃗n soll normal auf ⃗ b stehen
(iii) Der Betrag von ⃗n soll die Fläche eines Parallelogramms, welches von ⃗a und ⃗ b aufgespannt wird, beschreiben.
Nun zur Herleitung der Berechnungsvorschrift für das Kreuzprodukt:
Wir beschreiben alle drei Forderungen an das Kreuzprodukt in Gleichungen und lösen das Gleichungssystem, wobei
⃗a und ⃗ b gegeben sind und ⃗n ist gesucht. Genauer wollen wir die drei unbekannten Größen x n , y n und z n wissen.
(I) der neue Vektor n soll auf a normal stehen, also ⃗n ·⃗a = 0, in Komponenten geschrieben
x a · x n + y a · y n + z a · z n = 0
(II) der neue Vektor n soll auch auf b normal stehen, also ⃗n ·⃗b = 0, in Komponenten geschrieben
x b · x n + y b · y n + z b · z n = 0
(III) der Betrag des neuen Vektors n soll auch die Fläche des von den gegebenen Vektoren a, b aufgespannten
Parallelogramms angegeben
Der Betrag von n lautet in Komponentenschreibweise: √ x 2 n + y2 n + z2 n , das soll also die Fläche A sein!
Bekanntlich können wir die Fläche eines Parallelogramms mit den Vektoren a und b berechnen
A =
√
⃗a 2 + ⃗ b 2 − (⃗a ·⃗b) 2
In Komponentenschreibweise lautet diese Vorschrift:
A = √ (y a · z b − y b · z a ) 2 + (x a · z b − x b · z a ) 2 + (x a · y b − x b · y a ) 2
Somit erhalten wir für die III. Gleichung durch quadrieren
x 2 n + y2 n + z2 n = (y a · z b − y b · z a ) 2 + (x a · z b − x b · z a ) 2 + (x a · y b − x b · y a ) 2

Beachte: die linke Seite dieser Gleichung ist unbekannt, die rechte Seite bekannt. Nun werden wir mit Hilfe der
Gleichungen I und II zwei Unbekannte, nämlich x n und y n , eliminieren. Somit erhalten wir eine Gleichung in2
der Unbekannten z n . Somit werden wir die Vorschriften erhalten, wie wir diese Größen berechnen können. Bei
einem Test werden wir sehen, dass damit tatsächlich alle drei Forderungen erfüllt sind!
Um x n zu ersetzen, formen wir die } I. und II. Gleichung folgend um und dividieren beide (y n kürzt sich heraus)
x a · x n + z a · z n = −y a · y n x a·x n+z a·z n
x b · x n + z b · z n = −y b · y x n b·x n+z b·z n
= ya
y b
⇔ x a · x n · y b + z a · z n · y b = x b · x n · y a + z b · z n · y a
x n herausheben und freistellen; z n heben wir auf der rechten Seite im Zähler ebenso heraus!
x n = y a · z b − y b · z a
x a · y b − x b · y a
· z n
Um y n zu ersetzen, formen wir die } I. und II. Gleichung folgend um und dividieren beide (x n kürzt sich heraus)
y a · y n + z a · z n = −x a · x n y a·y n+z a·z n
y b · y n + z b · z n = −x b · x y n b·y n+z b·z n
= xa
x b
⇔ y a · y n · x b + z a · z n · x b = y b · y n · x a + z b · z n · x a
y n herausheben und freistellen; z n heben wir auf der rechten Seite im Zähler ebenso heraus!
y n = x a · z b − x b · z a
x b · y a − x a · y b
· z n
Beachte, dass der Nenner bis auf das Vorzeichen gleich ist. Um den selben Nenner zu erhalten, heben wir -1
heraus!! Das ist der GRUND, WARUM man bei der BERECHUNG der Y-KOMPONENTE das Vorzeichen
verändern muss!!
y n = − x a · z b − x b · z a
x a · y b − x b · y a
· z n
Damit können wir nun das x n und das y n in der III. Gleichung ersetzen.
x 2 n + y2 n + z2 n = (y a · z b − y b · z a ) 2 + (x a · z b − x b · z a ) 2 + (x a · y b − x b · y a ) 2
Wenn wir genau hinsehen, erkennen wir, dass
z n = x a · y b − x b · y a sein muss!! - Es fehlt die z-Komponente
Das ist aber gerade der NENNER bei x n und das y n , wodurch sich dieser herauskürzt und es bleibt
x n = y a · z b − y b · z a ; es fehlt die x-Komponente
y n = −(x a · z b − x b · z a ); es fehlt die y-Komponente
Wir erkennen die kreuzweise Multiplikation, wobei die zu berechnende Komponente fehlt. Weiters sehen wir,
warum bei der y-Komponente das Vorzeichen zu verändern ist.
TEST: Berechne mit ⃗a =
⎛
⎝ 1 2
1
⎞
⎠ und ⃗ b =
⎛
⎝ −1
2
0
⎞
⎠ das Kreuzprodukt ⃗n = ⃗a × ⃗ b
Multipliziere (Skalarprodukt) ⃗n einmal mit dem Vektor ⃗a und einmal mit dem Vektor ⃗ b. Du wirst jedesmal als
Ergebnis 0 erhalten. Somit steht ⃗n tatsächlich auf beide normal.
∣
Berechne |⃗n| = ∣⃗a × ⃗ b∣ ... Die Fläche des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird.
Berechne dann z.B. mit A = |⃗a| · ∣ ⃗ b∣ · sin(α) ebenso die Fläche des Parallelogramms. Um α zu berechnen, der
Winkel der von den beiden Vektoren eingeschlossen wird, verwende die bekannte Vektor-Winkel-Formel mit
cos(α) = .... Du siehst, dass auch diese Forderung erfüllt wird!
!!! WOW !!!