1 Wiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis Wenn wir ...

5. VektorsubtraktionWir subtrahieren ⃗a von ⃗ b indem wir − ⃗ b addieren. Wir drehen ⃗ b um 180 ◦ und hängen wie beim Addieren ⃗ b an ⃗aan. Man rechnet dies leicht nach.Beachte: Bei der Herleitung der Gleichung zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren mit Hilfe desCosinussatzes werden wir auf diese Darstellung zurückgreifen. Der parallel verschobene Differenzenvektor liegtsomit dem von ⃗a und ⃗ b eingeschlossenen Winkel gegenüber.6. Winkel zwischen zwei Vektoren: cos(⃗a, ⃗ b) =⃗a 0 ·⃗b 0Um dies zu zeigen, beschreiben wir die Strecke zwischen den beiden Vektoren auf zwei verschiedene Arten.(i) Mit Hilfe der Subtraktion (s. oben): c 2 ∣= ∣⃗a− ⃗ b∣ 2 und(ii) Mit Hilfe des Kosinussatzes aus der Trigonometrie in vektorieller Form: c 2 = |⃗a| 2 + ∣ ⃗ b∣ 2 −2·|⃗a|· ∣ ⃗ ∣b∣·cos(γ)Wenn wir (i) und (ii) gleichsetzen und komponentenweise aufschreiben erhalten wir, da die Subtraktion und dieMultiplikation komponentenweise erfolgt:∣∣⃗a− ⃗ b∣ 2 = |⃗a| 2 + ∣ ⃗ b∣ 2 −2·|⃗a|· ∣ ⃗ ∣b∣·cos(γ)(x a −x b ) 2 +(y a −y b ) 2 +(z a −z b ) 2 = x 2 a +ya 2 +za 2 +x 2 b +yb 2 +zb 2 −2·|⃗a|· ∣ ⃗ ∣b∣·cos(γ) (1)x a x b +y a y b +z a z b = |⃗a|· ∣ ⃗ ∣b∣·cos(γ) (2)cos(γ) =⃗a·⃗b|⃗a|· ∣ ⃗ b∣cos(γ) = a 0 ·b 0 (4)Von (2) auf (3) kommt man, wenn man die l.S. sauber ausquadriert und zusammenfasst. Es fallen alle Quadrateweg und man kann durch -2 dividieren. Bei (2) sieht man auf der l.S., dass dort genau das Skalarprodukt von⃗a·⃗b steht.7. OrthogonalitätskriteriumWenn man bei der Gleichung (3) oben auf der l.S. für γ = 90 ◦ setzt, erhält man bekanntlich für cos(90 ◦ ) = 0,d.h. falls das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist, schließen sie einen rechten Winkel ein!8. Fläche eines Parallelogramms/Dreiecks: Welche Varianten kennst du?Mit Hilfe der allgemeinen Berechnungsvorschrift für eine Dreiecksfläche aus der Trigonometrie in vektoriellerForm und der oben hergeleiteten Gleichung für cos(γ) sehen wir:A = 1 2 ·|⃗a|·∣ ∣∣ ⃗ b∣ ∣∣·sin(γ)mit [sin(γ) = √ 1−cos 2 (γ); und cos(γ) = ⃗a·⃗b|⃗a|·| ⃗ (vgl. Gl. (3))]·|⃗a|·∣ b|∣A = 1 ∣∣ ⃗ ∣∣·√2 b 1− (⃗a·⃗b) 2|⃗a| 2·| ⃗ b| 2√A = 1 2 · ⃗a 2 ·⃗b 2 −(⃗a·⃗b) 2(3)2

Abstand eines Punktes von einer Ebene d(P,ǫ) = ∣AP ⃗∣ ∣∣,·⃗n 0 wobei ⃗n =⃗g × ⃗ h. Die RV ⃗g und ⃗ h spannen hier dieEbene ǫ auf.Wenn die RV⃗g und ⃗ h eine Ebene ǫ aufspannen, wobei ⃗n =⃗g× ⃗ h, dann können wir eine Ebene in der sogenanntenNormalvektorgleichung (NVGl) darstellen. Dazu nehmen wir einen frei gewählten, aber fixen Punkte A ∈ ǫ undeinen variabalen Punkt X ∈ ǫ. Da die beiden Vektoren ⃗n und AX ⃗ einen rechten Winkel einschließen, wissen wir(vgl. Vektor-Winkel-Gleichung), dass das Skalarprodukt 0 sein muss. Also⃗n· ⃗ AX = 0⃗n·(X −A) = 0Hinweis: der Normalvektor auf die Ebene ǫ kann entweder über das Vektorprodukt ermittelt bzw. direkt mit denKoeffizienten der parameterfreien Darstellung der Ebene angeschrieben werden.12. Volumen eines ParallelepipedsAllgemein gilt: Volumen ist gleich Grundfläche mal HöheDie Grundfläche wird von zwei Vektoren ⃗a und ⃗ b aufgespannt:∣G = ∣⃗a× ⃗ b∣ ... Parallelogramm∣h = ∣⃗c·(⃗a× ⃗ ∣ ∣∣b) 0 ... Normalprojektion von ⃗c = AE ⃗ in die Richtung des Normalvektors der Ebene ⃗n0 = (⃗a× ⃗ b) 0Falls die Höhe explizit nicht gefragt ist, lässt sich das Volumen kürzer über das sogenannte Spatprodukt berechnen:V = G·h∣= ∣⃗a× ⃗ ∣ ∣b∣·∣⃗c·(⃗a× ⃗ ∣ ∣∣b) 0 ∣= ∣⃗a× ⃗ ∣∣∣⃗c·(⃗a× ⃗ b) ∣b∣·∣∣⃗a× ⃗ b∣∣V = ∣⃗c·(⃗a× ⃗ b) ∣4

13. Abstand eines Punktes von einer Geraden: d(P,g) = ∣AP ⃗∣ ∣∣×⃗a 05