1 Wiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis Wenn wir ...

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Abstand eines Punktes von einer Ebene d(P,ǫ) = ∣AP ⃗∣ ∣∣,·⃗n 0 wobei ⃗n =⃗g × ⃗ h. Die RV ⃗g und ⃗ h spannen hier dieEbene ǫ auf.Wenn die RV⃗g und ⃗ h eine Ebene ǫ aufspannen, wobei ⃗n =⃗g× ⃗ h, dann können wir eine Ebene in der sogenanntenNormalvektorgleichung (NVGl) darstellen. Dazu nehmen wir einen frei gewählten, aber fixen Punkte A ∈ ǫ undeinen variabalen Punkt X ∈ ǫ. Da die beiden Vektoren ⃗n und AX ⃗ einen rechten Winkel einschließen, wissen wir(vgl. Vektor-Winkel-Gleichung), dass das Skalarprodukt 0 sein muss. Also⃗n· ⃗ AX = 0⃗n·(X −A) = 0Hinweis: der Normalvektor auf die Ebene ǫ kann entweder über das Vektorprodukt ermittelt bzw. direkt mit denKoeffizienten der parameterfreien Darstellung der Ebene angeschrieben werden.12. Volumen eines ParallelepipedsAllgemein gilt: Volumen ist gleich Grundfläche mal HöheDie Grundfläche wird von zwei Vektoren ⃗a und ⃗ b aufgespannt:∣G = ∣⃗a× ⃗ b∣ ... Parallelogramm∣h = ∣⃗c·(⃗a× ⃗ ∣ ∣∣b) 0 ... Normalprojektion von ⃗c = AE ⃗ in die Richtung des Normalvektors der Ebene ⃗n0 = (⃗a× ⃗ b) 0Falls die Höhe explizit nicht gefragt ist, lässt sich das Volumen kürzer über das sogenannte Spatprodukt berechnen:V = G·h∣= ∣⃗a× ⃗ ∣ ∣b∣·∣⃗c·(⃗a× ⃗ ∣ ∣∣b) 0 ∣= ∣⃗a× ⃗ ∣∣∣⃗c·(⃗a× ⃗ b) ∣b∣·∣∣⃗a× ⃗ b∣∣V = ∣⃗c·(⃗a× ⃗ b) ∣4
13. Abstand eines Punktes von einer Geraden: d(P,g) = ∣AP ⃗∣ ∣∣×⃗a 05
Seite 2: 5. VektorsubtraktionWir subtrahiere

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