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Wiederholung: die mittlere StosszeitDie mittlere Stosszeit τ errechnet sich aus der"Matthiessen-Regel":1τ=1τG+1τK+1τV+ ...τ G= Streuung an Gitteratomenτ K= Streuung an Korngrenzenτ G= Streuung an VerunreinigungenWesentlich für die Grösse der Leitfähigkeit ist alsodie Art und die Anzahl der Defekte, an denenElektronen gestreut werden.Auch Grenzflächen jeder Art stellen Defekte dar.Damit ergibt sich automatisch die Abhängigkeit derLeitfähigkeit von der Schichtdicke!

Leitfähigkeit ohne E-FeldGenerelle Vorgangsweise zur Berechnung derLeitfähigkeit von Metallen:Ausgangspunkt: Stromdichter r r r rj nev ev dn ev N e=− =− ∫ =− =−nevV vNdn = 2⋅f 0( E) ⋅dΦf01( E) =(e E E f/ k B1 +− T ) Fermi-VerteilungdΦ=3 3dxdp3h2 Spin-ZahlPhasenraumvolumen,Anzahl der Zustände imPhasenraumvolumselement3 3dxdp

Berechnung der Stromdichte IKein E-Feld bedeutet keine Störung der Fermi-Verteilung:f0r(v)=1+e⎡⎛⎢⎜mv⎢⎜⎣⎝21mv−22f2⎞⎟/k⎟⎠B⎤T⎥⎥⎦r r r rj e v dn e vf v d me=− =− = d = ⎛ 3Φdxdvr Vr V ⎝ ⎜ ⎞∫ ∫3 320( ) Φ ⎟ =h ⎠Rv ,3Rv ,⎛r r r re m ⎞ 1− ⎜ ⎟h V dx vf vdv e m vf v d v⎝ ⎠ / ⋅ =− ⎛ ⎞∫3∫3⎜ ⎟ ∫32=r0( ) 20( ) 0r ⎝ h ⎠ rR v v3

Berechnung der Stromdichte IIE-Feld bedeutet Störung der Fermi-Verteilung durchStösse:rf (v) ≠ f0r(v)Die Berechnung der gestörten Verteilungsfunktion f(v)ist der Kern der Boltzmann’schen Transporttheorie!

Die Boltzmann-GleichungBeschreibung der Änderung von f durch Stösser rdf( , v, t)dtf= ⎛ ⎝ ⎜ ∂ ⎞⎟∂ ⎠tcollFormulierung für geladene Teilchen∂fr∂f dr rrrdv f+∇r+∇vf= ⎛ ∂t{ dt { dt ⎝ ⎜ ⎞⎟∂t⎠va F meE rr= / =−mcoll∂f∂tr eE ∂v fm f f+ ∇ r r rr− ∇v= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎟∂t⎠coll

Stösse und RelaxationAnsatz für den Kollisionsterm:Dieser Ansatz liefert:⎛⎜⎝−ft () − f = Ce ⋅tf∂t⎞⎟⎠0= −/ τ∂0collf (t) − fτDas bedeutet: Nach der Störung von f 0 durch einenStoss nähert die gestörte Funktion f wiederumexponentiell an f 0 an.

Die gestörte Verteilungsfunktion fAnsatz:f = f0 + A A...Störterm, unabhängig von vEinsetzen in die Boltzmann-Gleichung:rv∇ rf A eE r(/ 0+ / ) −mA=eEm∂fτ∂v0x∂( f0+ A)∂vx1=− ( f/ 0+ A− f/0)τf=f0+eEmτ∂f∂v0xDie Ableitung von f 0 nach v hateinen wesentlichen Einfluss auf dieBerechnung der Stromdichte j!

Berechnung der Stromdichte IV∂f∂v0 3Lösung von v d v :f(E)∫rvxx∫rvvx∂f∂v0xd3v =d3v = 4πv2dv=∫rvvx∂f∂v0x4πv2dv=df(E)/dEE fE∂f∂v0x=∂f0∂E∂E∂vx=∂f0∂E⋅mvx= 4πm∫rvv2x∂f0{ ∂E−δ(E−Ef)v2dvE−δf(E-E ) fNach einigen weiteren Umformungen (Anhang) erhältman:2 2 38πeτmvfj = E = σE33h

Vergleich: Drude-Modell/TransporttheorieDrude:Boltzmann:rj=ne τ2merE = σ⋅E2 rr8πeτm3hrE = σE2 2 3v re fj =3n==1V1V∫∫r rR,vdn2f0=3⎛ m ⎞⎜ ⎟ d⎝ h ⎠3xd3v=38π ⎛ vfm ⎞⎜ ⎟3 ⎝ h ⎠j Drude =1/2j Boltzmannrj=nem2 reτ rE = σ⋅E

Transporttheorie für dünne SchichtenBulk:zEDSchicht:E0x1τ=1τG+1τK+1τV1τ=1τG+1τK+1τV+1τIDie Grenzflächen bei z=0 und z=D stellen zusätzlicheElektronenstreuzentren dar!

Streuung an GrenzflächenSpekular:Total diffus:Spekulare Reflexion ändert die Leitfähigkeit imVergleich zum Bulk nicht!Der Realfall ist eine Überlagerung aus spekularer unddiffuser Streuung.

Die Stromdichte für dünne SchichtenAnsatz:f = f0 + A A...Störterm, A=A(z)Analoge Rechnung zu vorher ergibt (Anhang):3⎛j e m ⎞ r⎛eE ∂f⎞v f dv e m v eE fv z=− ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ + ⎛ e d v⎝ h ⎠ ⎝ m vx ⎠ ⎝ ⎜ −0 3 ⎞ r ∂0 τ 32 τ∫02 ⎟ τ ⋅∂h ⎠ ∫m ∂vx144444424444443144444 2444443j03zu lösen fürz= 0→ z=DIAus dieser Gleichung für j muss noch der Mittelwertvon z=0 bis z=D gebildet werden, um die Leitfähigkeiteiner Schicht der Dicke D zu ermitteln.z

Die Stromdichte für dünne Schichten ITotal diffuse Reflexion:⎛⎞2 ∞ − x2σ 3 3k 1σ 08 4 1 k 3 5= − + ⎜ −⎝ 12⎠⎟ e+ ⎜k∫x dx ⎝ 8− 8 − kk 16 + k16kTeilweise gerichtete Reflexion (Anteil p):⎛⎞⎟e⎠−kσ31 ( − p )3∞2 n−12 2= 1 − + ( 1 − p) ∑ p ⎢E1( kn)⎜ k n −σ 08k4kn=0⎝⎡⎣⎛k n12⎞ 1 5⎠⎟ + ⎛2− kn6 − k ne ⎜⎝ 12 + k n124 4 2 2 3 3kn⎞ ⎤⎟ ⎥⎠ ⎦E1( k)=∞∫k− xex dxk = D/λ 0 ,λ 0 = mittlere freie weglänge der Elektronen im Metallλ 0 = ca. 10 – 40 nm bei Raumtemperatur

Leitfähigkeit dünner Schichten IVereinfachungenTotal diffuse Reflexion:k>>10

Leitfähigkeit dünner Schichten II