Themenheft Mathematik „Kommunizieren“ - Pädagogische ...

ImpressumHerausgeber:Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklungdes österreichischen SchulwesensAlpenstraße 121 / 5020 Salzburgin Kooperation mit demBundesministerium für Unterricht, Kunst und KulturAbt. I/1Minoritenplatz 5 / 1014 WienThemenheft Mathematik zum allgemeinen Kompetenzbereich „Kommunizieren“BIFIE (Hrsg.), Graz: Leykam, 2010ISBNEinbandgestaltung: Die Fliegenden Fische, Salzburg& Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales Management & ServicesLayout & Satz: Sandra Hechenberger, BIFIE I Zentrales Management & ServicesDruck: Druckerei Theiss GmbH, 9431 St. Stefan i. L.Vertrieb an den Buchhandel: Leykam Buchverlagsgesellschaft m.b.H. Nfg. & Co.KG, 8054 Graz© Bundesministerium für Unterricht, Kunst und KulturAbt. I/1Die Texte und Beispiele zur Umsetzung im Unterricht können in österreichischen Schulen sowie vonden Pädagogischen Hochschulen in den Bereichen der Lehreraus-, Lehrerfort- und Lehrerweiterbildungin dem für die jeweilige Lehrveranstaltung erforderlichen Umfang von der Homepage (www.bifie.at) heruntergeladen, kopiert und verbreitet werden.Autorengruppe:Prof. Mag. Maria Fast, Dipl.-Päd.Prof. Mag. Dr. Maria KothVD Gudrun Laimer, MA, Bakk. phil., Dipl.-Päd.VD OSR Rudolf Langer, Dipl.-Päd.BSI RR Franz NöstererProf. Mag. Franz Platzgummer, Dipl.-Päd.BSI Elisabeth Repolusk, Dipl.-Päd.Koordination:MR Dr. Brigitta ScheiberRedaktion:MR Dr. Brigitta ScheiberVD Brigitte Zöchlinger, MSc, Dipl.-Päd.

Inhalt3 Vorbemerkungen4 Vorwort5 1. „Kommunizieren“ im Mathematikunterricht der Grundschule6 2. „Kommunizieren“ als Kompetenzbereich der Bildungsstandards fürMathematik, 4. Schulstufe9 3. Kooperatives Lernen als eine Lernform, die „Kommunizieren“ imMathematikunterricht begünstigt10 Eine Auswahl kooperativer Lernformen10 3.1 ICH-DU-WIR11 3.2 Tischset („Platzdeckchen“, „Placemat“, „Ideenkarten“)12 3.3 Strategiekonferenz13 3.4 Lernheft („Lerntagebuch“, „Lernjournal“, „Reisetagebuch“, „Logbuch“,„Forschungsheft“, „Zahlenforscherheft“, „Das-kann-ich-schon-Heft“)14 4. Kommunikationsfördernde Unterrichtskultur16 5. Möglichkeiten, „Kommunizieren“ im Unterricht umzusetzen16 5.1 Fragen, Gespräche, Erklärungen16 5.1.1 MIMI-Zahlen18 5.1.2 Zahlengitter19 5.1.3 Entdeckungen auf der Hundertertafel21 5.2 Fachbegriffe verwenden21 5.2.1 Vom Orientieren im Raum zum Orientieren im Zahlenraum21 5.2.2 Mathematische Sachverhalte in Worten und mit Hilfe von Symbolenbeschreiben22 5.3 Geeignete Veranschaulichungsmittel22 5.3.1 Zwanzigerfeld24 5.3.2 Rechenstrich25 5.3.3 Dekadische Blöcke26 5.3.4 Skizzen zum Lösen von Sachaufgaben27 5.3.5 Skizzen zum Lösen geometrischer Aufgaben28 5.3.6 Diagramme und Piktogramme

32 5.4 Muster und Beziehungen32 5.4.1 Geometrische Muster35 5.4.2 Arithmetische Muster36 5.5 Schreiben und Protokollieren36 5.5.1 Zählbecher (-schachtel, -kiste, ...)37 5.5.2 Alle Lösungen finden38 5.6 Präsentieren, Diskutieren, Lesen, Schreiben und Zuhören38 5.6.1 Präsentieren39 5.6.2 Diskutieren40 5.7 Fehler – Anlässe zur Reflexion41 6. Mathematische Fachbegriffe41 6.1 Fachbegriffe für die Grundstufe I41 6.1.1 Aufbau der natürlichen Zahlen/Rechenoperationen41 6.1.2 Größen42 6.1.3 Geometrie42 6.2 Fachbegriffe für die Grundstufe II42 6.2.1 Aufbau der natürlichen Zahlen (Bruchzahlen) und Rechenoperationen43 6.2.2 Größen44 6.2.3 Geometrie44 Abkürzungen45 Literaturverzeichnis46 Kommentierte Literaturempfehlungen45 Anhang50 Bildungsstandards für „Mathematik“, 4. Schulstufe53 Rechtliche Grundlagen

6 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II2. „Kommunizieren“ als Kompetenzbereichder Bildungsstandards für Mathematik,4. Schulstufe„Kommunizieren“ wird in den Bildungsstandards als eigenermathematischer Kompetenzbereich innerhalb der allgemeinenmathematischen Kompetenzen genannt. Diese Kompetenzenbetonen wichtige Aspekte des Mathematikunterrichts,die bisher wenig berücksichtigt wurden.Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich in derlebendigen Auseinandersetzung mit der Mathematik. Eshandelt sich um prozessbezogene Kompetenzen, die Schüler/innenin der Auseinandersetzung mit mathematischenInhalten erwerben. Die angeführten Kompetenzen beschreibenHandlungen, die für die Bearbeitung und Nutzung derinhaltlichen Teilbereiche notwendig sind. [BIFIE & BMUKK,2009, S. 8]KompetenzbereicheOperierenKommunizierenModellierenProblemlösenAllgemeine mathematischeKompetenzenInhaltliche mathematischeKompetenzenArbeiten mit ZahlenArbeiten mit Ebene undRaumArbeiten mit OperationenArbeiten mit GrößenKompetenzbereiche [BIFIE & BMUKK, 2009, S. 7]

8 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + IIIm Unterricht ist sowohl auf standardsprachliches Sprechenals auch auf die korrekte Verwendung der Fachbegriffezu achten.Das Erlernen und Anwenden der Fachsprache der Mathematikerfordert entsprechende Unterrichtssituationen. Indiesen wird Alltagssprache mit mathematischer Spracheund Symbolik in Verbindung gesetzt. Das sachgerechteFormulieren eines mathematischen Zusammenhanges miteigenen Worten trägt zum vertiefenden Verständnis desUnterrichtsgegenstandes bei.Das Verwenden von geeigneten Veranschaulichungsmitteln,die ein Kommunizieren über mathematischeStrukturen ermöglichen, ist notwendig.Da Kindern oft die passenden Worte fehlen, um ihreDenkweise auszudrücken, müssen geeignete Veranschau -lich ungs mittel zur Verfügung stehen. Für Kinder ist es erleichterndund hilfreich, anfangs für häufig verwendete Strategienund Lösungswege individuell vereinbarte Zeichen und Namenzu verwenden. Diese sollen im Laufe der Zeit in eineFachsprache übergeführt werden.Legen, Beschreiben (verbal/schriftlich) und Zeichnenvon Mustern und Beziehungen unterstützen das Analysierenvon mathematischen Situationen.Sowohl in der Arithmetik als auch in der Geometrie könnenKinder viele Aufgaben selbst erfinden oder durch Vorlegen,Beschreiben oder Aufzeichnen Aufgaben einander stellen.Auch Schreiben und Protokollieren sind Kommunikationsformen,die im Mathematikunterricht der Grundschuleregelmäßig von den Kindern durchgeführt werdenmüssen.Eigene Lösungsversuche mündlich oder schriftlich festzuhaltenheißt, sich reflektierend mit der gestellten Problematikauseinander zu setzen (Metaebene). Weiters ermöglichenschriftliche Dokumentationen einen zeitunabhängigen Einblickin die Denkwege und damit die Möglichkeit, sich mitAspekten auseinanderzusetzen, die ohne schriftliche Fixierungvielleicht verloren gegangen wären.Die Kinder sollen erkennen, dass Präsentieren, Diskutieren,Lesen, Schreiben und Zuhören in der Mathematikein notwendiger Teil des Lernens und Nutzens derMathematik sind.Durch entsprechende Techniken wie etwa „Strategieplakate“(als Ergebnis von Strategiekonferenzen), „Notationen derLernwege“ oder „Rechentagebücher“ können Denkweisenfür Kinder und Lehrer/innen sichtbar gemacht werden.Fehler sind Bestandteile des Lernprozesses und bietenAnlässe zur Reflexion der eigenen Denkstrategien.Fehler sind unumgängliche Begleiterscheinungen des Lernensund können darüber hinaus vielfach positiv genutztwerden. Vorerst gilt es eine Atmosphäre zu schaffen, in derSchüler/innen offen, ehrlich und produktiv mit den eigenenFehlern umgehen lernen. Sie brauchen einen Schonraum, indem sie angstfrei Lösungsstrategien ausprobieren und auchFehler machen dürfen. Dabei ist es wichtig, Situationen zuschaffen und zu nutzen, in denen der Verlauf des Lernenstransparent wird. Nur so können die Kinder erkennen, dassEinsicht in Vorgänge zu haben wichtiger ist als das Streben,Fehler zu vermeiden. Das kann geschehen durch eineDiskussion im Klassenverband oder in Gruppen, in der diegünstigen und weniger günstigen Lösungswege thematisiertwerden. Aber auch ein klärendes Gespräch zwischenLehrenden und Lernenden sollte im Sinne des „Schonraumes“stattfinden. Beim Vergleich von Lösungsstrategienentstehen Situationen, bei denen Kinder die eigenen und dieDenkstrategien anderer durchschauen und auch neue zielführendeLösungswege finden. Außerdem unterstützt dasNachdenken, Reden und Reflektieren über den Lösungswegund die eventuell entstandenen Fehler Schüler/innen beimtieferen Durchdringen des mathematischen Sachverhalts.[BIFIE & BMUKK, 2009, S. 13]

10 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + IIEine Auswahl kooperativer LernformenIm Folgenden werden einige Beispiele kooperativer Lernformen vorgestellt, die im Mathematikunterricht der Grundschuleeingesetzt werden können.3.1 ICH-DU-WIRZiel ist, dem eigenen (Nach-)Denken und dem Austausch der Lösungsmöglichkeiten innerhalb der Klassengemeinschaft einPodium zu geben.• Die kritische Bestandsaufnahme zu einem Problem ist der erste Schritt.• Jedes Individuum leistet wichtige Beiträge für die gemeinsame Gruppenarbeit.• Die Gruppe nimmt individuelle, durch den Austausch mit einer Gesprächspartnerin/einem Gesprächspartner bereits „geschärfte“Beiträge zur Kenntnis und erweitert ihr Spektrum (divergentes Denken).• Im Kennenlernen unterschiedlichster Ideen/Lösungswege liegt der Vorteil dieser Methode.• Bündelung von Sichtweisen: Welche Aspekte werden von allen/den meisten als wesentlich erachtet (konvergentes Denken)?Wie?Die Lehrerin bzw. der Lehrer stellt den Kindern die Aufgabe vor.In der ICH-Phase wird die Aufgabe von jedem Kind selbst bearbeitet. Jedes Kind hat Zeit, sich inRuhe mit der Aufgabe auseinanderzusetzen, ohne von anderen in seinen Gedanken beeinflusstoder gestört zu werden. Der Prozess des Auseinandersetzens mit dem Thema steht im Vordergrund.In der DU-Phase werden die eigenen Gedanken mit der Partnerin/dem Partner ausgetauscht undbesprochen. Hier kann in einem „geschützten Raum“ argumentiert und begründet werden. VieleKinder teilen ihre Ideen und Gedanken einer einzelnen Person viel lieber mit als dem ganzenPlenum. Günstig ist es, die Partnerin oder den Partner nach dem Zufallsprinzip zuzuweisen.Dadurch wird die Flexibilität der Kinder, sich auf verschiedene Partner/innen einzustellen, verbessert.Weiters fördert das unterschiedliche Verbalisieren das eigene Sprechen und hilft die Gedanken zuschärfen.In der WIR-Phase werden die Ideen einer Kleingruppe (4–6 Kinder) oder der ganzen Klassevorgestellt.

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 133.4 Lernheft („Lerntagebuch“, „Lernjournal“, „Reisetagebuch“, „Logbuch“,„Forschungsheft“, „Zahlenforscherheft“, „Das-kann-ich-schon-Heft“)Ziel ist, dass Schüler/innen ihre individuellen Lernprozesse z. B. in eigenen Worten, symbolisch oder zeichnerisch festhalten.Das Lernheft ist damit ein dauerhafter Lernbegleiter, der dem Kind ermöglicht, seine Lernprozesse nachzuvollziehen.• Das Lernheft kann vielerlei Funktionen erfüllen, wie z. B. das Festhalten von Vorgangsweisen, Fehlern, zündenden Ideenoder Problemen.• Das Dokumentieren und Reflektieren mathematischer Lernprozesse steht dabei im Mittelpunkt. Vor allem in länger andauerndenErkundungs- und Entdeckungsphasen erweist sich das Lernheft als besonders nützlich.Wie?Jedes Kind führt über längere Zeit sein Lernheft. Zu Beginn wird besprochen, was alles in diesem Heft festgehalten werdenkann (ev. Merkzettel ins Heft einkleben). Zum Abschluss der Woche oder eines Themenbereichs können die Aufzeichnungender Kinder unter verschiedenen Gesichtspunkten reflektiert werden. Z. B. kann Geschriebenes vorgelesen, präsentiert oderdiskutiert werden. Das Kind kann damit auch der Lehrerin bzw. dem Lehrer oder anderen Kindern Einblicke in sein Denkenermöglichen. Die Einträge können im Sinne der individuellen Förderung der Lernenden kommentiert werden.Lukas, 2. Schulstufe

14 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II4. KommunikationsförderndeUnterrichtskulturSchülerinnen und Schüler sollen immer wieder Gelegenheithaben, sich mathematischen Phänomenen selbstständigund eigenaktiv auf der Basis ihrer Erfahrungen und ihresWissens nähern zu können. Sie sollen ihre Lösungswege reflektierenund sich über ihre Rechenwege austauschen. VerschiedeneRechenwege zeigen mögliche Alternativen auf,erweitern somit das Repertoire eigener Strategien und förderndie Flexibilität im mathematischen Denken. Durch dasPräsentieren des eigenen Lösungsweges üben die Kinderdas Argumentieren und Begründen ihrer Lösungen. Überein Gespräch hinaus erleichtert eine Verschriftlichung desLösungsweges (z. B. auf einem Präsentationsplakat) denVerstehensprozess und gibt Lehrerinnen und Lehrern wertvolleEinblicke in die Lern- und Denkstrukturen der Kinder.Lernförderliche FehlerkulturEin respektvolles und kooperatives Klassenklima ist Voraussetzungdafür, dass die Kinder offen für die Beiträge anderersind. Sie sollen sich sicher sein, dass all ihre Beiträge, unabhängigdavon, ob richtig oder falsch, eingebracht werdenkönnen.Ein wichtiges Element beim Aufbau einer lernförderlichenFehlerkultur ist das Schaffen von Zeiten, die nicht für dieLeistungs- und Informationsfeststellungen herangezogenwerden. Eine klare Trennung zwischen Phasen des Probierens,Nachdenkens, Erkundens und Fragens im Sinne derLernformen in der Grundschule (Punkt 6 der AllgemeinenBestimmungen des Lehrplans der Volksschule) und jenenSituationen, in denen Leistungen beurteilt bzw. Informationsfeststellungendurchgeführt werden, ist dabei empfehlenswert.Dann werden Kinder Mut für eigene Deutungenund Erklärungsversuche haben, originelle Lösungsideenentwickeln und ihr Kreativitätspotenzial nutzen. Durch deutlichformulierte Hinweise sollte den Kindern der „Freiraum“,in dem ohne Scheu probiert oder nach Lösungen gesuchtwerden kann, erkennbar gemacht werden. Z. B.: „Jetztdarfst du fragen, forschen, entdecken …, suche und probiereLösungen, es können auch Umwege dabei sein …“Kommunikationsfördernde Fragen und ImpulseIn den Präsentations- sowie Vergleichsphasen könnenKinder durch gezielte Leitfragen der Lehrer/innen dazu angehaltenwerden, länger über ihre Aussagen zu sprechen,präzise zu begründen, sich stärker aufeinander zu beziehenund Erkenntnisse gemeinsam auf andere Lösungswege undStrategien zu übertragen. Durch gezielte Fragen und Einwürfesteuert die Lehrerin bzw. der Lehrer den Prozess undwirkt damit auch beispielgebend auf das argumentative undkommunikative Verhalten der Schüler/innen. Diese sollendadurch angeregt und ermutigt werden, selbst nachzufragenund sich mit anderen Gedankengängen zu beschäftigen.Erarbeiten von Lösungen und Präsentieren derLösungswege• Stelle deinen Lösungsweg dar/vor. Wie hast du die Aufgabegelöst?• Schreibe, erkläre deinen Lösungsweg.• Kannst du deine Überlegung/deinen Lösungsweg aufzeichnen?• Worauf muss man achten?• Was fällt dir auf? Was hast du herausgefunden?• Kann das stimmen? Begründe.• Ist das immer richtig?• Wodurch bist du ganz sicher? Gib Gründe an.• Was geschieht, wenn … ?• Was würde sich ändern, wenn … ?• Gibt es noch andere Möglichkeiten?• Welche Aufgaben hast du im Kopf gerechnet? Warum?• Welche Rechentricks hast du verwendet?• Was ist dir schwer/leicht gefallen? Warum?• Wo warst du dir nicht sicher? Wo hättest/hast du Hilfegebraucht?• …Vergleichen von Lösungswegen• Gibt es gleiche Lösungswege?• Wie hat … gerechnet? Erkläre die Lösung von … .• Verstehst du, wie … gerechnet hat?• Wie würdest du rechnen?• Was meinst du? Wer hat Recht?• Hätte man auch ganz anders rechnen können?• Wo unterscheiden sich die Lösungen?• Was ist gleich, was ist verschieden?• Welche Lösungswege kommen dir leichter/schwierigervor? Begründe.• Welcher Lösungsweg erscheint dir besonders geschickt/besonders interessant?• Was könntest du jetzt an deinem Lösungsweg verändern,verbessern?

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 15• Welcher Lösungsweg ist kürzer/länger? Wo muss mansich mehr merken? Bei welchem Weg muss man mehraufschreiben?• Entdeckst du den Fehler bei der Rechnung von … ? Wiewäre es richtig?• Was ist daran nicht richtig? Wie kannst du das verbessern?• Kannst du den Lösungsweg/die Begründung von …noch einmal zusammenfassen?• …Reflexion nach verschiedenen Präsentationen• Wer hat seinen Rechenweg verständlich beschrieben?Was hat die Beschreibung verständlich gemacht? Warsie vollständig?• Was habt ihr/hast du Neues/mehr/anderes erfahren/herausgefunden?• Was hat dir weitergeholfen?• Was hat dich überrascht?• …

16 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II5. Möglichkeiten, „Kommunizieren“ imUnterricht umzusetzenIm Kapitel 2 wurden sieben Rahmen- und Lernbedingungen als gute Voraussetzungen für die Umsetzung des Kompetenzbereichs„Kommunizieren“ im Mathematikunterricht angeführt.Im Folgenden werden den einzelnen Rahmen- und Lernbedingungen passende Aufgabenformate bzw. Umsetzungsmöglichkeitenzugeordnet. Sie zeigen, wie Kompetenzen im Bereich „Kommunizieren“ im Mathematikunterricht erworben werdenkönnen. Einige Fallbeispiele von Kindern veranschaulichen gelungene Umsetzungen.5.1 Fragen, Gespräche, ErklärungenRahmen- undLernbedingungBezug zu denKompetenzbereichenBeispiele fürUmsetzungsmöglichkeitenDen Kindern sind Unterrichtsformen anzubieten, die Fragen aufwerfen, Gesprächebegünstigen und Erklärungen verlangen. [BIFIE & BMUKK, 2009, S. 13]AK 3 – KommunizierenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 2 – Arbeiten mit OperationenMIMI-ZahlenZahlengitterEntdeckungen auf der Hundertertafel5.1.1 MIMI-ZahlenMIMI-Zahlen (vgl. Selter, 2009) sind Zahlen, die folgendermaßen aussehen: 3131 oder 7474.MIMI-Aufgaben erhält man, wenn man von einer MIMI-Zahl die jeweils kleinere Umkehrzahl subtrahiert: 3131–1313. (Die Ergebnisseder MIMI-Aufgaben sind stets Vielfache von 909, und zwar nur die Zahlen 909, 1818, 2727, 3636, 4545, 5454, 6363, 7272,8181).Umsetzung im Unterricht:Kinder suchen möglichst viele MIMI-Zahlen und subtrahieren deren Umkehrzahlen.Anschließend werden die Ergebnisse der MIMI-Aufgaben der Größe nach geordnet. Danach sollen die Kinder aufschreiben,was ihnen an den Ergebnissen auffällt.Schreibt auf, was euch an den Ergebnissen der MIMI-Aufgabe auffällt.Larissa/Sandro, 4. Schulstufe

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 17Sophia/Laura, 4. SchulstufeReam/Melina, 4. Schulstufe

18 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II5.1.2 ZahlengitterFür das Zahlengitter (vgl. de Moor, 1980) gilt folgende Vorschrift:Sowohl der nach rechts gerichtete als auch der nach unten gerichtete Operator bleibt unverändert. Die Kinder erhalten einGitter mit einer Startzahl (links oben) und einer Zielzahl (rechts unten). Nun sollen sie möglichst viele verschiedene Zahlengitterfinden.Umsetzung im Unterricht:AufgabenstellungEine der möglichen LösungenMoritz, 3. SchulstufeVgl. Kompetenzorientierung in Mathematik, Präsentation von Franz Nösterer/Franz Platzgummer im Rahmen der BIFIE-Veranstaltung„Implementierung der Bildungsstandards“ 20.–21. Jänner 2010, Salzburg

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 195.1.3 Entdeckungen auf der HundertertafelUmsetzung im Unterricht:Wie oft kommen die Ziffern 0, 1, 2, 3, … 8, 9 auf der Hundertertafel vor?Ariane, 2. Schulstufe

20 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II• Wähle einen dieser Vierlinge, lege ihn auf die Hundertertafel und decke damit genauvier Zahlen ab. Addiere diese abgedeckten Zahlen.• Verschiebe den Vierling um ein Feld nach links, rechts, nach oben oder unten undaddiere wieder die vier Zahlen.• Vergleiche die Ergebnisse. Was fällt dir auf?Moritz, 4. Schulstufe Moritz, 4. Schulstufe

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 215.2 Fachbegriffe verwendenUm spontanes Sprechen zu erreichen, dürfen Kinder in der ihnen momentan zur Verfügung stehenden Sprache reden. Lehrer/innen dagegen verwenden immer die korrekte Fachsprache. Im Kapitel 6 sind mathematische Fachbegriffe für die Grundschuleangeführt.Rahmen- undLernbedingungBezug zu denKompetenzbereichenBeispiele fürUmsetzungsmöglichkeitenIm Unterricht ist sowohl auf standardsprachliches Sprechen als auch auf die korrekteVerwendung der Fachbegriffe zu achten. [BIFIE & BMUKK, 2009, S. 13]AK 3 – KommunizierenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumVom Orientieren im Raum zum Orientieren im ZahlenraumMathematische Sachverhalte in Worten und mit Hilfe von Symbolen beschreiben5.2.1 Vom Orientieren im Raum zum Orientieren im ZahlenraumUmsetzung im Unterricht:Orientieren im RaumZeig mir die Schultasche, die vor dem Tisch steht.Leg den Bleistift zwischen das Buch und das Heft.Wo liegt der Radiergummi? Der Radiergummi liegt…Orientieren im ZahlenraumNenne einige Zahlen, die in der Zahlenreihe vor 14 stehen.Welche Zahlen stehen zwischen 395 und 405?Nenne Zahlen, die kleiner sind als 87....5.2.2 Mathematische Sachverhalte in Worten und mit Hilfe von Symbolen beschreibenUmsetzung im Unterricht:Symbolische Darstellungen verbalisieren48 – 3 = 45 heißt z. B.: „Wenn ich von 48 drei wegnehme,dann erhalte ich 45.“Welche Worte gibt es noch für den Vorgang desSubtrahierens?Verbale Beschreibungen in eine symbolische DarstellungübersetzenSchreib als Rechnung das Achtfache von 37.Niklas, 4. SchulstufeLara, 2. Schulstufe

22 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II5.3 Geeignete VeranschaulichungsmittelIm Folgenden werden exemplarisch einige Veranschaulichungsmittel vorgestellt, die das Kommunizieren über mathematischeInhalte unterstützen.Rahmen- undLernbedingungBezug zu denKompetenzbereichenBeispiele fürUmsetzungsmöglichkeitenDas Verwenden von geeigneten Veranschaulichungsmitteln, die ein Kommunizierenüber mathematische Strukturen ermöglichen, ist notwendig. [BIFIE & BMUKK, 2009, S. 13]AK 1 – ModellierenAK 2 – OperierenAK 3 – KommunizierenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumZwanzigerfeldRechenstrichDekadische BlöckeSkizzen zum Lösen von SachaufgabenSkizzen zum Lösen von geometrischen AufgabenDiagramme und Piktogramme5.3.1 ZwanzigerfeldUmsetzung im Unterricht:Hilfreich beim Lösen vieler mündlicher Additionsaufgaben können die folgenden heuristischen Strategien sein.a) TauschaufgabenAufgabe und Tauschaufgabe haben immer dasselbeErgebnis. Dadurch wird die Zahl der auswendig zulernenden Einspluseinsaufgaben auf ca. die Hälftereduziert.Beispiel: 2 + 7 = 7 + 22 + 7 = 7 + 2b) AnalogieaufgabenDas Erkennen von Analogien zwischen dem ersten und demzweiten Zehner erleichtert das Lösen von Additionsaufgabeninnerhalb des zweiten Zehners und ist später genauso imHunderterraum anwendbar.Beispiel: 3 + 4 = 7 13 + 4 = 1723 + 4 = 2733 + 4 = 37...3 + 4 = 713 + 4 = 17c) VerdoppelungsaufgabenVerdoppelungsaufgaben prägen sich Grundschulkindernerfahrungsgemäß besonders leicht ein und bilden guteStützpunkte für die Lösung vieler weitererAdditionsaufgaben.Beispiele: 4 + 4 = 86 + 6 = 129 + 9 = 18...

2 + 7 = 7 + 2Themenheft b) AnalogieaufgabenMathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 23Das Erkennen von Analogien zwischen dem ersten und demzweiten Zehner erleichtert das Lösen von Additionsaufgabeninnerhalb des zweiten Zehners und ist später genauso imHunderterraum anwendbar.Beispiel: 3 + 4 = 7 13 + 4 = 173 + 4 = 723 + 4 = 2733 + 4 = 37...13 + 4 = 17c) VerdoppelungsaufgabenVerdoppelungsaufgaben prägen sich Grundschulkindernerfahrungsgemäß besonders leicht ein und bilden guteStützpunkte für die Lösung vieler weitererAdditionsaufgaben.Beispiele: 4 + 4 = 86 + 6 = 129 + 9 = 18...7 + 7 = 14d) Schrittweises Rechnen„Schwierige“ Additionsaufgaben wie 7 + 8 können durchschrittweises Rechnen auf einfachere Aufgabenzurückgeführt werden. Wichtige Beispiele dazu sind etwadie folgenden Strategien:- „Zuerst zum Zehner und dann weiter“:7 + 8 = 7 + (3 + 5) = (7 + 3) + 5 = 10 + 5 = 157 + 87 + 3 + 5- „Fastverdoppelungsstrategien“Doppel-Sieben plus 1:7 + 8 = 7 + (7 + 1) = (7 + 7) + 1 = 14 + 1 = 15Doppel-Sieben7 + 7 + 1oderDoppel-Acht minus 1:7 + 8 = (8 – 1) + 8 = (8 + 8) – 1 = 16 – 1 = 15e) Gegensinniges VerändernWird einer der beiden Summanden vergrößert undgleichzeitig der zweite Summand um dieselbe Zahlverkleinert, so ändert sich das Ergebnis nicht.Auch diese Strategie hilft dabei, schwierige Aufgaben zuvereinfachen.Doppel-Acht8 + 8 – 17 + 8 = (7 + 3) + (8 – 3) == 10 + 5 = 157 + 8 = (7 – 2) + (8 + 2) == 5 + 10 = 15

24 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II5.3.2 RechenstrichUmsetzung im Unterricht:Darstellen von ZahlbeziehungenWelche Zahl liegt genau zwischen 750 und 870?Raphael, 3. SchulstufeDarstellen von RechenoperationenAddiere 45 und 38.Bernadette, 2. SchulstufeDarstellen von ZeitspannenMartin fuhr mit dem Zug von Hollersbach nach Zell am See.Er war 49 Minuten unterwegs und kam um 14:15 Uhr an.Gabriel, 3. Schulstufe

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 255.3.3 Dekadische BlöckeUmsetzung im Unterricht:Stelle 4 143 und 6 092 dar.Leo, 4. SchulstufeDenk dir eine Zahl und stell sie dar.Nina, 4. Schulstufe

26 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II5.3.4 Skizzen zum Lösen von SachaufgabenUmsetzung im Unterricht:WeitspringerDer Löwe kann nur 4 m weniger weit als der Mensch springen.Der Hirsch springt doppelt so weit wie der Löwe.Ein Mensch kann ungefähr 9 m weit springen.Sieger ist das Känguru, es springt 4 m weiter als ein Mensch.Wie weit können diese Lebewesen springen? Zeichne eine Skizze.Alex, 2. Schulstufe

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 275.3.5 Skizzen zum Lösen geometrischer AufgabenUmsetzung im Unterricht:Wie groß ist der Flächeninhalt dieser Figur?Stelle drei verschiedene Lösungswege vor.Alex, 4. Schulstufe

28 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II5.3.6 Diagramme und PiktogrammeUmsetzung im Unterricht:Ein Diagramm erstellenSo setzt sich der durchschnittliche Gesamtverbrauch von täglich 130 LiternWasser pro Einwohnerin und Einwohner in Wien zusammen:Duschen, Baden, Körperpflege: 53 LiterWC-Spülung:40 LiterWäsche waschen, Putzen: 23 LiterTrinken, Kochen, Geschirr spülen: 9 LiterSonstiges:5 LiterTrage die Angaben in das Diagramm ein.Wasserverbrauchin Liter5040302010Tina, 4. Schulstufe

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 29Die Grafik zeigt 400 Fichten und 250 Tannen.Für wie viele Bäume steht ein ?Magdalena, 3. SchulstufeMonika hat die Autos auf dem Parkplatz vor dem Supermarkt gezählt und dieAnzahl in einem Bilddiagramm dargestellt.= 4 Autosa) Wie viele blaue Autos, rote Autos, graue Autos und schwarze Autos hat siegezählt?b) Sie hat außerdem noch 12 Autos sonstiger Farbe gezählt. Wie viele Bilderbenötigt sie für die Darstellung dieser Autos? Zeichne ein!Magdalena, 3. Schulstufe

30 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + IIJulia, 4. Schulstufe

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 31Stelle die Einwohnerzahlen der folgendenOrte dar:Egg:Lech:Krumbach:3 512 Einwohner1 644 Einwohner990 EinwohnerBeatrice, 4. Schulstufe

32 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II5.4 Muster und BeziehungenRahmen- undLernbedingungBezug zu denKompetenzbereichenBeispiele fürUmsetzungsmöglichkeitenLegen, Beschreiben (verbal/schriftlich) und Zeichnen von Mustern und Beziehungenunterstützen das Analysieren von mathematischen Situationen. [BIFIE & BMUKK, 2009, S. 13]AK 3 – KommunizierenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumGeometrische MusterArithmetische Muster5.4.1 Geometrische MusterUmsetzung im Unterricht:Muster mit Dreiecken legenJedes Kind bekommt• zwei verschieden farbige Ausschneidebögen, auf denen drei verschieden große Dreiecke mehrmals abgebildet sind,• einen Vordruck mit zwei Quadraten und• ein Leerformular für das große Muster, bestehend aus vier solchen Quadraten.Die Seitenlängen der Dreiecke sind so gewählt, dass sie der Seitenlänge des Quadrats bzw. deren Hälfte entsprechen (vgl.Brandt & Nührenbörger, 2009).Name: _______________Hier klebst du dein Muster auf.Hier klebt dein/e Partner/indas Muster auf.

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 33Mit selbst gewählten Dreiecken soll das erste Quadratvollständig bedeckt werden (Dreiecke anschließendMit selbst gewählten Dreiecken soll das erste Quadrataufkleben).vollständig bedeckt werden (Dreiecke anschließendaufkleben).Dann wird auf einem Blatt Papier beschrieben, wie dieDreiecke in das Quadrat zu legen sind, damit dasDann wird auf einem Blatt Papier beschrieben, wie diegleiche Muster entsteht.Dreiecke in das Quadrat zu legen sind, damit dasgleiche Muster entsteht.Flora, 4. SchulstufeEin anderes Kind soll nach der Beschreibungdas Muster im zweiten Quadrat nachlegen.Ein anderes Kind soll nach der Beschreibungdas Muster im zweiten Quadrat nachlegen.Mit dem Ausgangsmuster kann nun ein großesBild (4 Felder) gestaltet werden.Mit dem Ausgangsmuster kann nun ein großesBild (4 Felder) gestaltet werden.

34 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + IISymmetrische Muster zeichnenErgänze zu einer symmetrischen Figur. Spiegle an der roten Achse.Patricia, 4. SchulstufeSpiegle das Wort FEIN an der roten Achse.Spiegle danach das Wort und auch sein Spiegelbild an der grünen Achse.Patricia, 4. Schulstufe

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 355.4.2 Arithmetische MusterUmsetzung im Unterricht:Rechne aus.Setze mit dazu passenden Rechnungen fort.Schreib auf, was dir aufgefallen ist.Finde selbst solche Päckchen.Vergleiche die Ergebnisse.Niklas, 3. SchulstufeAlexander, 4. Schulstufe

36 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II5.5 Schreiben und ProtokollierenRahmen- undLernbedingungBezug zu denKompetenzbereichenBeispiele fürUmsetzungsmöglichkeitenAuch Schreiben und Protokollieren sind Kommunikationsformen, die im Mathematikunterrichtder Grundschule regelmäßig von den Kindern durchgeführt werden müssen.[BIFIE & BMUKK, 2009, S. 13]AK 3 – KommunizierenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 2 – Arbeiten mit OperationenZählbecher (-schachtel, -kiste, ...)Alle Lösungen findenUm einen wertschätzenden Umgang mit Werken von Schülerinnen und Schülern zu gewährleisten, sollten ihre Produkte inHeften/Mappen festgehalten werden.5.5.1 Zählbecher (-schachtel, -kiste, …)Umsetzung im Unterricht:Kinder kommen mit unterschiedlichen Vorkenntnissen in die Schule. Die folgende Übung bietetEinsicht in die individuellen Lernstände der Kinder in den ersten Schulwochen. Die Kindererhalten verschiedene Objekte, deren Anzahl sie feststellen und notieren sollen.Schreib oder zeichne auf, was dueingefüllt hast, damit du es späterauch noch weißt.SerkanSonjaLeaKatharinaKevin• Serkan notiert bei jedem Element die jeweilige Zählzahl.• Kevin zeichnet die Würfel bzw. die Büroklammer nur einmal, schreibt jede Zählzahl auf.• Lea und Katharina zeichnen jedes Objekt einmal und schreiben nur eine Zahl. Sie wissen, dass ihre gewählte Zahl die Anzahlder Objekte angibt.• Sonja kann die Würfel und die Büroklammern symbolisieren.

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 375.5.2 Alle Lösungen findenUmsetzung im Unterricht:Finde alle Lösungen für die Aufgabe 79 __ __ = 69.Wie viele Lösungen gibt es?Wie bist du vorgegangen?Finde alle Lösungen für 48 + __+__ = 58 .Wie viele Lösungen gibt es?Wie bist du vorgegangen?Moritz, 2. SchulstufeAnja, 2. Schulstufe

38 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II5.6 Präsentieren, Diskutieren, Lesen, Schreiben und ZuhörenRahmen- undLernbedingungBezug zu denKompetenzbereichenBeispiele fürUmsetzungsmöglichkeitenDie Kinder sollen erkennen, dass Präsentieren, Diskutieren, Lesen, Schreiben undZuhören in der Mathematik ein notwendiger Teil des Lernens und Nutzens der Mathematiksind. [BIFIE & BMUKK, 2009, S. 13]AK 1 – ModellierenAK 3 – KommunizierenIK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 3 – Arbeiten mit GrößenPräsentierenDiskutieren5.6.1 PräsentierenUmsetzung im Unterricht:Die Kinder einer dritten Schulstufe sollen in Gruppen 132 : 4 lösen. Sie kennen zu dieser Rechnung weder ein halbschriftliches nochdas schriftliche Verfahren. Als Hilfsmittel verwenden sie Dekadische Blöcke bzw. Spielgeld. (Siehe dazu auch 3.3 „Strategiekonferenz“)Die Lehrerin/der Peppi Lehrer präsentiert wählt aus das den Vorgehen Schülerarbeiten ihrer Gruppe drei (wörtliches verschiedene Transkript): Rechenwege aus und schreibt diese auf ein Overheadtransparent.Die jeweiligen Schüler/innen präsentieren dann ihre Vorgangsweise.Peppi präsentiert das Vorgehen ihrer Gruppe (wörtliches Transkript):Peppi präsentiert das Vorgehen ihrer Gruppe (wörtliches Transkript):L: Erklär uns du deinen Lösungsweg, bitte.Overhead-FolieOverhead-FolieP: L: Also… Erklär Wir uns haben du deinen erst Lösungsweg, einmal nur ein bitte.kleines bisschen, nämlich 120, genommenP: und Also… dann Wir haben haben wir erst geteilt einmal durch nur 4 eingleich kleines 30. bisschen, nämlich 120, genommenund dann haben wir geteilt durch 4L: Kannst gleich du 30. mir, uns auch erzählen, warumihr gerade 120 genommen habt und nichtL: 100 Kannst oder du 90 mir, oder uns sonst auch etwas? erzählen, warumihr gerade 120 genommen habt und nichtP: Weil… 100 oder 13090 zum oder Beispiel sonst etwas? geht nicht,durch, eh, geht nicht durch 4 und, eh, undP: die Weil… nächste 130 Zahl zum wäre Beispiel dann geht so, nicht, ehm, mitden durch, Zehnern eh, geht wäre nicht dann durch 120. 4 und, eh, undEh.. die dann nächste haben Zahl wir wäre 30 gehabt. dann so, ehm, mitden Zehnern wäre dann 120.L: Gut! Eh.. dann haben wir 30 gehabt.P: L: Und Gut! dann haben wir den Rest von 132haben wir 120 genommen, dann habenP: wir Und noch dann 12 haben übrig gehabt. wir den Rest von 132Dann haben haben wir 120 wir genommen, 12 geteilt durch dann 4 habengerechnet, wir noch 12 eh, übrig da ist gehabt. dann 3 rausgekommen. Dann haben wir 12 geteilt durch 4Und gerechnet, dann 30 eh, plus da 3 ist gleich dann 33. 3 rausgekommen.L: Wunderbar! Und dann 30 Eine plus ganz 3 gleich tolle Lösung, 33. dieihr da gefunden habt.L: Wunderbar! Eine ganz tolle Lösung, dieihr da gefunden habt.Vgl. Fast et al. (2010)

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 395.6.2 DiskutierenDie Kinder einer dritten Schulstufe sollen in Gruppen zu dritt oder zu viert den Arbeitsauftrag ausführen. Sie diskutieren,welche Speisen und Getränke sie auswählen, um den genannten Betrag (51 €) nicht zu überschreiten. Eine Bestellliste wirdangefertigt.Umsetzung im Unterricht:SpeisekarteVorspeisenOmelette mit Kräutern 5,55Champignons mit Kräutersoße 6,50HauptgerichteVegetarischApfelstrudel mit Vanillesoße 5,80Kaiserschmarren mit Pfirsichkompott 6,70Spagetti mit Tomatensoße 6,95Kinderpizza mit Tomaten und Käse 4,60Pizza mit Gemüse und Käse 7,80Gemüseeintopf scharf mit Brot 8,50Fleischgerichte2 Faschierte Laibchen mit Kartoffelsalat 6,50Wiener Schnitzel mit Pommes und Salat 8,80Schweinebraten mit Knödel und Salat 9,90Steak mit Pommes und Salat 9,90Würzige Fleischspieße mit Kartoffeln 9,95GetränkeRadler 0,5 l 2,35Orangensaft 0,5 l 2,50Apfelsaft 0,5 l 2,40wörtliches TranskriptMama, Papa, Oma und die KinderKlara und Peter gehenmiteinander in ein Restaurant.Im Lokal merkt Papa, dass ernoch genau 51 Euro in derGeldbörse hat.Als sie die Speisekartedurchsehen, meint er: „Also1 Euro Trinkgeld bekommt dieKellnerin. Was können wir nunaussuchen?“Du musst wissen:Oma ist Vegetarierin.Mama möchte ein Fleischgerichtessen.Peter hat einen Bärenhunger. Ermöchte unbedingt eine Vorspeiseund ein Hauptgericht.Klara liebt Kinderpizza.Die Kinder trinken keinen Radler.Erstelle eine Bestellliste fürGetränke und Speisen!E: Ich glaub, der bestellt als Hauptspeise einFleischgericht, oder?B: Nein …K: Schnitzel …, Er nimmt ein Schnitzel mitPommes.E: Ja, ja, genau. Bernd, was sagst du?B: Ja, glaub auch.B: Schnitzel ... und als VorspeiseK: Schnitzel mit Pommes, und als VorspeiseE: Ehm ...K: Na, ich glaub Omelette. Champignons mitKräutersoße oder Omelette mit Kräutern?E: Ich glaub Champignons mit Kräutersoße.K: Ja, aber das ist so ... größer. Und er hat ...Aber glaubst du echt, dass der ein WienerSchnitzel noch verdrückt? Ja?E: Ja.K: Ja, na sicher.E: Ja, sicher, da steht, der hat einenBärenhunger.K: Aber … Das ist aber teuer.E: Ja, und? Das geht sich trotzdem aus.K: Na gut, probieren wir´s einfach.Vgl. Fast et al. (2010), Reutner (2010)

40 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II5.7 Fehler – Anlässe zur ReflexionRahmen- undLernbedingungBezug zu denKompetenzbereichenBeispiele fürUmsetzungsmöglichkeitenFehler sind Bestandteile des Lernprozesses und bieten Anlässe zur Reflexion dereigenen Denkstrategien. [BIFIE & BMUKK, 2009, S. 13]AK 3 – KommunizierenIK 2 – Arbeiten mit OperationenVerdoppelnUmsetzung im Unterricht:Umgang mit einem Fehler anhand der Aufgabenstellung „Verdoppeln“ (2. Schulstufe).Fehler beim Verdoppeln (wörtliches Transkript)Sina (S) hat im Heft Aufgaben mit Verdoppeln gemacht. Der Lehrer (L) entdeckteinen Fehler und macht sie darauf aufmerksam.2·12=22 L: Sina, hier steht nicht die richtige Lösung.S: Wieso? Das Doppelte von 10 gleich 20 und 2, also sind es 22.L: Versuche die Rechnung mit den Rechenplättchen zu legen,leg die bereits bekannte Zahl.S: So, ein Zehner und 2 Einer.L: Gut. Und nun verdopple die 12 Plättchen.Sina legt nochmals einen Zehner und zwei Einer auf.S: Ah, jetzt weiß ich es! Ich habe die Einer nicht zweimalgenommen.L: Jetzt stimmt es Sina, nun schreib noch die passendeRechnung in dein Heft.2·12=24 L: Und nun rechne weiter: Das Doppelte von 14.S: Jetzt darf ich die Einer nicht mehr vergessen.Sina schreibt die Rechnung ins Heft.2·14=28 L: Richtig.L: Wie hast du da gerechnet?S: Zuerst 2 mal 4 und dann 2 mal 10, dann sind´s zusammen 28.L: Das hast du gut gemacht.

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 416. Mathematische Fachbegriffe6.1 Fachbegriffe für die Grundstufe I6.1.1 Aufbau der natürlichen Zahlen/Rechenoperationen+ plus– minus· mal: geteilt durch: enthalten in= gleich≠ ungleich< kleiner> größerZahlenreiheZahlenstrahlZwanzigerfeldHunderterfeldgerade Zahlenungerade ZahlenPlusrechnungMinusrechnungMalrechnungTauschaufgabenUmkehraufgabenNachbaraufgabenVerdoppeln / Halbieren6.1.2 GrößenLängeMeterDezimeterZentimetermdmcm1 m = 100 cmGewichtKilogrammDekagrammkgdag1 kg = 100 dagRauminhalt Liter lGeldEuroCent€c1 € = 100 cZeitStundeMinuteSekundeJahr – Monat – Woche – Taghmins1 h = 60 min1 Tag = 24 Stunden1 Woche = 7 Tage1 Jahr = 12 MonateNotation derUhrzeit11 12 110 293847 6 57:30 Uhrhalb acht

42 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II6.1.3 GeometrieRäumliche Positionen und Lagebezeichnungenoben – untenüber – unterdarüber – darunteroberhalb – unterhalbvorne – hintenvor – hinterdavor – dahinterGeometrische Körper und Flächenlinks – rechtslinks von – rechts vonzwischen / dazwischenneben / danebeninnen – außenaußerhalb – innerhalbin der Mitte – auf demRandspitz – stumpfeckig – rundkrumm – geradeoffen – geschlossenWürfelKugelkantig – eckig – rundKanteEckeDreieckViereckKreis6.2 Fachbegriffe für die Grundstufe II6.2.1 Aufbau der natürlichen Zahlen (Bruchzahlen) und RechenoperationenZiffer – Stellenwert einer ZifferBeispiel 3 472 Ziffer 4 hat Stellenwert HunderterRunden von ZahlenAbrunden / AufrundenÜberschlagen von RechnungenAbschätzen von ErgebnissenSkizzeGrafikDiagrammTabelleRechenstrichZahlenstrahlOrdnen von ZahlenRechenprobeVergleichen von ZahlenBruchzahlGanzeHalbe / HälfteViertelAchtelZählerNennerBruchstricha + ba – ba plus ba minus ba · ba : ba mal ba geteilt durch b(b in a)a = ba ≠ ba ≈ ba gleich ba ungleich ba ungefähr ba < ba > ba kleiner als ba größer als b

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 43Additionaddieren(Summe)Subtraktionsubtrahieren(Differenz / Unterschied)Multiplikationmultiplizieren(Produkt)Divisiondividieren(Quotient)vergrößernvermehrendazugebenhinzufügenvereinigen…verkleinernverringernwegnehmenabziehenergänzen…malnehmenvervielfachendas Doppeltedas Dreifache…teilen – messenverteilen – aufteilendie Hälfteder vierte Teilein Viertel…6.2.2 GrößenLängeKilometerMeterDezimeterZentimeterMillimeterkmmdmcmmm1 km = 1 000 m 1 m = 10 dm1 m = 100 cm1 m = 1 000 mm1 cm = 10 mmGewichtTonneKilogrammDekagrammGrammtkgdagg1 t = 1 000 kg 1 kg = 100 dag1 kg = 1 000 g1 dag = 10 gFlächeninhaltQuadratkilometerHektarArQuadratmeterQuadratdezimeterQuadratzentimeterQuadratmillimeterkm²haam²dm²cm²mm²1 m² = 100 dm²1 dm² = 100 cm²1 cm² = 100 mm²GeldEuroCent€c1 € = 100 c 2,78 € = 2 € 78 c = 278 c0,15 € = 15 cZeitStundeMinuteSekundeZeitpunkt:Zeitdauer:hmins1 h = 60 min1 min = 60 s7:15 Uhr8 h 26 min1 Tag = 24 Stunden1 Woche = 7 Tage7 Uhr 158 Stunden 26 Minuten1 Jahr = 12 Monate1 Jahr ≈ 52 Wochen1 Jahr = 365 Tage(366 Tage)

44 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II6.2.3 GeometrieLinienkrumme Liniegerade Linie / GeradeStreckeparallele Geradeschneidende GeradeSchnittpunktrechter WinkelEbene FigurenDreieckViereckVieleckRechteckQuadratKreisEckpunktSeitegleich lange Seitenparallele SeitensymmetrischSpiegelachsedeckungsgleichvergrößernverkleinernUmfangFlächeninhaltGeometrischeKörperWürfelQuaderPyramideKanteEckeBegrenzungsflächeZylinderKegelKugelAbkürzungenAKIKAllgemeine mathematische KompetenzenInhaltliche mathematische Kompetenzen

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 45LiteraturverzeichnisBarzel, B., Büchter, A. & Leuders, T. (2008). Mathematik Methodik. Handbuch für die Sekundarstufe I und II. Berlin: CornelsenScriptor.BIFIE & BMUKK (Hrsg., 2009). Praxishandbuch für „Mathematik“ 4. Schulstufe. Bildungsstandards – für höchste Qualität anÖsterreichs Schulen. Information für Lehrer/innen. Graz: Leykam.Brandt, B., Nührenbörger, M. (2009). Strukturierte Kooperationsformen im Mathematikunterricht der Grundschule (Dreiecksmusterim Quadrat). In Die Grundschulzeitschrift 23 (S. 222–223). Braunschweig: Westermann.Fast, M., et al. (Hrsg., 2010). Bildungsstandards Mathematik 4. Unterrichtsvideos und Begleitmaterialien. Wien: Kirchliche pädagogischeHochschule Wien/Krems.Johnson, D. W. & Johnson, R. T. (1994). An overview of cooperative learning. In Thosuand, J./Villa, A./Nevin, A. (Hrsg.). Creativityand Collaborative Learning. Baltimore: Brookes Press.Johnson, D. W., Johnson, R. T. & Holubec, E. (2002): Circles of Learning (5th Ed.). Edina: MN: Interaction Book Company.Johnson, D. W. (2003). Social interdependence: The interrelationships among theory, research and practice. In American Psychologist58 (S. 934–945).Johnson, D.W. & Johnson, R.T. (2005). New developments in social interdependence theory. In Genetic, Social, and General PsychologyMonographs 131 (S. 285–358).Leuders, T. (2008). Kooperation im Mathematikunterricht fördern. In Mathematikunterricht entwickeln. Bausteine für kompetenzorientiertesUnterrichten. Berlin: Cornelsen Scriptor.Moor, Ed de. (1980). Wiskobas bulletin. Leerplanpublikatie 11. Utrecht: IOWO.Reutner, R. (2010). Speisekarte – eine Verbindung zum Fach Deutsch: In Ulm, V. (Hrsg). Lehrer-Bücherei: Grundschule. Gute AufgabenMathematik (S. 93–95). Berlin: Cornelsen Scriptor.Ruf, U. & Gallin, P. (1995). Ich-du-wir. Sprache und Mathematik. 1. – 3. Schuljahr. Zürich: Lehrmittelverlag des Kantons Zürich.Selter, C. (2004). Zahlengitter – eine Ausgangsaufgabe, viele Variationen. In Die Grundschulzeitschrift 18 (S. 42–45).Selter, C. (2009). Jedes Kind kann mathematisch forschen. In Mathemagische Momente (S. 180–193). Berlin: Cornelsen.Verordnung der Bundesministerin für Unterricht, Kunst und Kultur für Bildungsstandards im Schulwesen. BGBI. II Nr. 1/2009 v.2.1.2009.URL: http://www.bmukk.gv.at/schulen/recht/erk/vo_bildungsstandards.xml [12.01.2009]

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 47Goldfluss, K. J., Rosenberg, M. & Russell, M. (2007). Fördermaterial Sachaufgaben verstehen. Kompetenzstufe 1. Mülheim ander Ruhr: Verlag an der Ruhr.Goldfluss, K. J., Rosenberg, M. & Russell, M. (2007). Fördermaterial Sachaufgaben verstehen. Kompetenzstufe 2. Mülheim ander Ruhr: Verlag an der Ruhr.Das Ziel dieser beiden Bände ist, den Kindern flexible Strategien beim Lösen von Sachaufgaben, insbesondere mit Problemcharakter,anzubieten. Es werden in jedem Band ca. zehn konkrete Lösungsverfahren/Strategien präsentiert. Zu jederStrategie werden Vorschläge zur gemeinsamen Erarbeitung angeboten. Aufgabenkarten helfen beim Üben bestimmterStrategien. Tippkarten, die Impulse und Fragen enthalten, können die Kinder vor, während oder nach der Arbeit benutzen,um zu Lösungen zu gelangen bzw., um sie zu überprüfen. Abschließend werden auch Beispielstrategien mit Lösungenvorgestellt.Hengartner, E., Hirt, U. & Wälti, B. (Hrsg., 2006). Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte. Zug: Klett undBalmer.Lehrpersonen in der Volksschule erleben innerhalb ihrer Klassen ein breites Spektrum mathematischer Kompetenzen.So gibt es immer eine Anzahl flotter Rechner/innen sowie einige langsamere Schüler/innen. Zwischen diesen Gegensätzensteht die Mehrzahl der Lernenden, deren Fähigkeiten jedoch nicht homogen, sondern wiederum breit gestreut sind.Die Unterrichtsvorschläge aus dem Titel „Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte“ ermöglichen es Lehrpersonen,alle Kinder einer Klasse an den gleichen Aufträgen arbeiten zu lassen und dabei jedes Kind auf dem ihm angemessenenNiveau zu fordern. Im Zentrum stehen die grundlegenden Themen des Mathematikunterrichts der Primarstufe.Alle Lernumgebungen wurden in der Unterrichtspraxis mehrfach erprobt. Kernstück des Buches sind die kommentiertenSchülerdokumente aus den Erprobungen, die das Spektrum möglicher Lernergebnisse veranschaulichen. Die beigelegteCD-ROM enthält Kopiervorlagen zu den Lernumgebungen.Hirt, U. & Wälti, B. (2008). Lernumgebungen im Mathematikunterricht. Natürlich differenzieren für Rechenschwache und Hochbegabte.Seelze: Kallmeyer.Die Unterrichtsbedingungen in einer Klasse mit Schülerinnen und Schülern, die unterschiedliche Lernvoraussetzungenmitbringen, erfordern besondere Aufmerksamkeit. Lernumgebungen sind Aufgabenpakete, welche sowohl für langsamLernende zugänglich sind, dank ihrer Reichhaltigkeit aber auch Forderungen für Hochbegabte bieten. Das Niveau der Aufgabenbearbeitungbestimmen die Kinder selbst. Hirt und Wälti entwickelten und erprobten gemeinsam mit Lehrpersonenund Studierenden in einem mehrjährigen Projekt Lernumgebungen zu zentralen Themengebieten der Volksschulmathematik.Das Autorenteam zeigt, wie Lernumgebungen erfolgreich im Mathematikunterricht der Grundschule eingesetzt werdenkönnen. Das Buch enthält praktische Vorschläge für einen differenzierten Mathematikunterricht, basierend auf zahlreichenOriginaldokumenten der Lernenden. Auch die fachliche Relevanz, unabdingbar beim Umgang mit Lernumgebungen, wirdbeschrieben.Leuders, T., Hefendehl-Hebeker, L. & Weigand, H.-G. (Hrsg., 2009). Mathemagische Momente. Berlin: Cornelsen.Das Buch präsentiert verschiedene Beiträge aus der Grundschule und aus der Sekundarstufe I. Zu jedem Beitrag gibt esein oder mehrere konkrete Unterrichtsbeispiele, didaktische Erläuterungen zum Hintergrund und konkrete Umsetzungsvorschlägefür eine Verwendung im Rahmen von Fortbildungsveranstaltungen. Hinweise zur Weiterarbeit mit Literatur,Internet und der beiliegenden DVD ergänzen die Ausführungen. Auf der DVD sind zu jedem Beitrag Videos mit Unterrichtsausschnitten,Arbeitsblätter für den Unterricht bzw. für die Fortbildung und Powerpoint-Vorträge zur Weiterverwendung zufinden.Maak, A. (2003). So geht´s: Zusammen über Mathe sprechen. Mülheim an der Ruhr: Verlag an der Ruhr.Die Autorin schlägt einen problemorientierten Unterricht vor, in dem Vorgehensweisen und Lösungsmöglichkeiten, die inGruppen gefunden wurden, in gemeinsamen Gesprächen mit den Kindern reflektiert werden. Die Kinder hinterfragen, beschreiben,diskutieren, begründen und verstehen. Das Buch enthält anregende Beispiele mit Kopiervorlagen und direktemUnterrichtsbezug, allerdings entsprechen einige Beispiele nicht dem österreichischen Lehrplan.

48 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + IIMaass, K. (2009). Mathematikunterricht weiterentwickeln. Aufgaben zum mathematischen Modellieren. Erfahrung aus derPraxis. Für die Klassen 1 bis 4. Berlin: Cornelsen Scriptor.Der Umgang mit realitätsbezogenen Aufgaben ist das zentrale Thema des allgemeinen mathematischen KompetenzbereichsModellieren. In diesem Buch wird der Modellierungsprozess beschrieben. Zusätzlich werden Hilfestellungen zurBearbeitung angeboten und ein konstruktiver Umgang mit Fehlern gezeigt. Zu einer Vielzahl realistischer Modellierungsaufgaben,die von Lehrerinnen und Lehrern gestaltet und beschrieben worden sind, gibt es Lösungen und didaktischeHinweise. Ausgewählte Unterrichtseinheiten werden ausführlich dargestellt.Nührenbörger, M. & Pust, S. (2006). Mit Unterschieden rechnen, Lernumgebungen und Materialien für einen differenziertenAnfangsunterricht Mathematik. Seelze: Kallmeyer.Dieses Buch bietet Vorschläge für die Organisation und Umsetzung eines differenzierten Mathematikunterrichts auf derGrundstufe I. Lerninhalte, Aufgabenformate und Medien wurden so gewählt, dass die gleichzeitige Arbeit aller Kinder aneinem Thema möglich ist und ein kooperativ-kommunikativer Austausch zwischen den Kindern stattfinden kann. CD-ROMmit Material und Kopiervorlagen.Padberg, F. (2005). Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung (3. Auflage). Heidelberg: SpektrumAkademischer Verlag.Das Buch beschreibt übersichtlich und schlüssig gegliedert die Kenntnisse, die Volksschullehrer/innen besitzen sollten. DerAutor charakterisiert mathematisch und didaktisch den Arithmetikunterricht und seine alltäglichen Probleme. Dank konsequenterPraxisorientierung und einer Vielzahl erläuternder Beispiele aus bundesdeutschen Schulbüchern finden Lehrpersonensinnvolle Anregungen für den eigenen Unterricht. (Literaturempfehlung aus dem Praxishandbuch für „Mathematik“,4. Schulstufe)Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (1996). Handbuch für den Mathematikunterricht 1. Schuljahr. Hannover:Schroedel.Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (1998). Handbuch für den Mathematikunterricht 2. Schuljahr. Hannover:Schroedel.Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (1999). Handbuch für den Mathematikunterricht 3. Schuljahr. Hannover:Schroedel.Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (2000). Handbuch für den Mathematikunterricht 4. Schuljahr. Hannover: Schroedel.Die Handbuchreihe bietet zahlreiche Anregungen, Hilfen, Übungen und Kopiervorlagen zu allen inhaltlichen Themen desMathematikunterrichts von der ersten bis zur vierten Schulstufe. Sie ist ein willkommenes Nachschlagewerk für die alltäglicheUnterrichtspraxis. Den Kern jedes Handbuches bilden die theoretischen Hintergrundinformationen und ausführlichenPraxisanregungen zu den drei zentralen Inhaltsbereichen Arithmetik, Geometrie und Sachrechnen/Größen. Jeder Bandwird ergänzt durch zahlreiche Kopiervorlagen und eine (bundesdeutsche) Lehrstoffübersicht. (Literaturempfehlung ausdem Praxishandbuch für „Mathematik“, 4. Schulstufe)Rasch, R. (2003). 42 Denk- und Sachaufgaben. Wie Kinder mathematische Aufgaben lösen und diskutieren. Seelze: Kallmeyer.Das Buch stellt Aufgaben vor und umreißt kurz deren Struktur und didaktischen Gehalt. Anschließend wird beschrieben,welche unterschiedlichen Lösungsstrategien die Kinder entwickelt haben. Die gefundenen Lösungen werden anhand vonRechnungen und Zeichnungen dokumentiert. Dieses Buch bietet Einblicke in das mathematische Denken und in Arbeitenvon Kindern und stellt zugleich Lehrerinnen und Lehrern einen Aufgabenfundus bereit, der bei Schülerinnen und Schülerndas Entwickeln von eigenständigen Lösungsstrategien fördert.Rasch, R. (2009). Offene Aufgaben für individuelles Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule 1 und 2. Aufgabenbeispieleund Schülerbearbeitungen. CD-ROM mit Aufgabenblättern (2. Auflage). Donauwörth: Auer.Rasch, R. (2009). Offene Aufgaben für individuelles Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule 3 und 4. Aufgabenbeispieleund Schülerbearbeitungen. CD-ROM mit Aufgabenblättern (2. Auflage). Donauwörth: Auer.Die beiden vorliegenden Bände zum Arbeiten mit offenen Aufgaben sollen Lehrpersonen ermutigen, häufiger Aufgabenstellungenzu wählen, die auf den individuellen Voraussetzungen der Lernenden aufbauen. Aus allen Bereichen der Grund-

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 49schulmathematik werden Aufgaben vorgestellt. Jedem Beispiel angeschlossen sind Arbeitsprodukte der Kinder, die zeigen,wie diese auf verschiedenen Niveaus Aufgaben bearbeiten können. Die diagnostischen Ergebnisse geben konkrete Hinweisezur Förderung im Bereich Mathematik.Schipper, W. (2009). Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Hannover: SchroedelDas Buch ist eine Fundgrube für Ideen und Denkansätze zur Gestaltung des Mathematikunterrichts von der ersten biszur vierten Schulstufe. Im ersten Teil werden allgemeine Ziele, Modelle und Prinzipien des Mathematikunterrichts knappdiskutiert, außerdem wird ein kurzer Überblick über die Geschichte des Mathematikunterrichts gegeben. Der zweite undumfassendste Teil des Buches erläutert die Unterrichtsinhalte von der ersten bis zur vierten Schulstufe. Neben einer Begriffsbestimmung,Hinweisen zur methodischen Vorgangsweise enthält jeder Abschnitt Vorschläge zur Aufarbeitung imUnterricht. Der dritte Teil behandelt oft diskutierte Themen, wie z. B. Spielen und Üben im Mathematikunterricht oderLernschwierigkeiten.Schütte, S. (2008). Qualität im Mathematikunterricht der Grundschule sichern. Für eine zeitgemäße Unterrichts- und Aufgabenkultur.München: Oldenbourg.Die Autorin beschreibt die Kernideen einer zeitgemäßen Aufgaben- und Unterrichtskultur. Sie verbindet aktuelle didaktischeErkenntnisse mit den Anforderungen des Unterrichtsalltags. Themen sind Kriterien für die Auswahl der Aufgaben.Im Zentrum steht dabei die Gestaltung eines Unterrichts, in dem die Kinder selbstständig auf ihrem Niveau arbeiten, aberauch lernen, über Mathematik zu kommunizieren. Thematisiert wird auch die Bewertung von Leistungen nach den neuenKompetenzanforderungen.Selter, C. & Sundermann, B. (2006). Beurteilen und Fördern im Mathematikunterricht. Berlin: Cornelsen Scriptor.Schularbeiten sind ein wichtiges, sollen aber nicht das zentrale Element der Leistungsbeurteilung sein. Fördernde und individualisierendeElemente einer alternativen, aber auch herkömmlichen Leistungsfeststellung, wie schriftliche und mündlicheStandortbestimmungen, informative und offene Aufgaben, Lernberichte, Selbstbeurteilung und ermutigende Rückmeldungen,werden vorgestellt.Spiegel, H. & Selter, C. (2003). Kinder & Mathematik. Was Erwachsene wissen sollten. Seelze-Velber: Kallmeyer.Das Buch zeigt anhand von anschaulichen Beispielen Einsichten in das Denken der Kinder. Das Buch richtet sich anErwachsene, sowohl an Eltern als auch an Lehrer/innen. Mathematik wird als Tätigkeit beschrieben, bei der man selbstständigEntdeckungen machen und Freude am Denken gewinnen kann. Die Ausführungen sind weniger für den Unterrichtselbst gedacht, sie sollen vielmehr die ihn begleitende Reflexion anregen.Ulm, V. (Hrsg., 2008). Gute Aufgaben Mathematik. Heterogenität nutzen. 30 gute Aufgaben für die Klassen 1 bis 4. Berlin:Cornelsen Scriptor.Jedes Kind soll nach seinen unterschiedlichen Begabungen, Fähigkeiten, Fertigkeiten und Erfahrungen gefördert werden.Doch wie ist das im Schulalltag zu leisten? Realitätsbezogene Themen und offene Aufgabenstellungen sind zwei möglicheZugänge. Sie regen die Kinder an, sich mit den mathematischen Inhalten intensiv auseinanderzusetzen. Der Bezug zuden bundesdeutschen Bildungsstandards wird angeführt. Die Begleit-CD enthält sowohl Kopiervorlagen für jedes der 30Buchkapitel als auch zusätzliche Materialien.Walther, G., Heuvel-Panhuizen, M., Granzer, D. & Köller, O. (Hrsg., 2008). Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematikkonkret. Berlin: Cornelsen Scriptor.Dieses Buch bezieht sich auf die Bildungsstandards für die Grundschule der Bundesrepublik Deutschland, die sich vonden österreichischen unterscheiden. Das Buch präsentiert ein breites Spektrum an Aufgaben und Anregungen für dieUmsetzung dieser Standards im Unterricht und in der Fortbildung. Die Aufgaben wurden von Lehrpersonen im Unterrichterprobt. Die Begleit-CD enthält sämtliche Aufgaben, exemplarische Schülerlösungen und weitere Unterrichtsbeispiele.(Literaturempfehlung aus dem Praxishandbuch für „Mathematik“, 4. Schulstufe)

50 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 51Bildungsstandards für „Mathematik“4. SchulstufeAllgemeine mathematischeKompetenzen (AK)Kompetenzbereich: Modellieren (AK 1)1.1 Eine Sachsituation in ein mathematischesModell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieseslösen und auf die Ausgangssituation beziehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen,• passende Lösungswege finden,• die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.1.2 Ein mathematisches Modell in eine SachsituationübertragenKompetenz:Die Schülerinnen und Schüler können• zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen.Kompetenzbereich: Operieren (AK 2)2.1 Mathematische Abläufe durchführenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren,• arithmetische Operationen und Verfahren durchführen,• geometrische Konstruktionen durchführen.2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeitenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• Tabellen und Grafiken erstellen,• Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.Kompetenzbereich: Kommunizieren(AK 3)3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren undbegründenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht inWort und Schrift benützen,• ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren,• Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisenbegründen.3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichenRepräsentationsformen darstellenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformenfesthalten,• Zeichnungen und Diagramme erstellen.Kompetenzbereich: Problemlösen(AK 4)4.1 Mathematisch relevante Fragen stellenKompetenz:Die Schülerinnen und Schüler können• ein innermathematisches Problem erkennen und dazurelevante Fragen stellen.4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren,Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden,• zielführende Denkstrategien wie systematisches Probierenoder Nutzen von Analogien einsetzen.Inhaltliche mathematischeKompetenzen (IK)Kompetenzbereich: Arbeiten mitZahlen (IK 1)1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• Zahlen im Zahlenraum 100 000 lesen und darstellen,• sich im Zahlenraum 100 000 orientieren, Zahlen vergleichenund diese in Relation setzen,• arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen.

52 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, … Zehntausenderrunden,• Anzahlen schätzen.1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• Bruchzahlen darstellen,• Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen,• Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen.Kompetenzbereich: Arbeiten mitOperationen (IK 2)2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre ZusamenhängeverstehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler• verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen,• können die Zusammenhänge zwischen den Grundrechnungsartenerklären,• können Umkehroperationen verwenden, auch zur sinnvollenÜberprüfung des Ergebnisses,• können Tausch-, Nachbar- und Analogieaufgaben verwenden.2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler• beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgabenim Zahlenraum 20,• beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgabenim Zahlenraum 100,• können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschrittendurchführen,• können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen,• können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungendurchführen.2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler• verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenverfahren,• können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren fürAddition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen,• können die Lösung mit Hilfe einer Probe überprüfen.Kompetenzbereich: Arbeiten mitGrößen (IK 3)3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler• kennen genormte Maßeinheiten und können diese denGrößenbereichen zuordnen,• können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben,• können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen.3.2 Größen messen und schätzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler• beherrschen den Grundvorgang des Messens,• können mit geeigneten Maßeinheiten messen,• können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen.3.3 Mit Größen operierenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• Größen miteinander vergleichen,• mit Größen rechnen.Kompetenzbereich: Arbeiten mitEbene und Raum (IK 4)4.1 Geometrische Figuren erkennen, benennen unddarstellenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• geometrische Körper und Flächen benennen,• die Eigenschaften geometrischer Figuren beschreiben,• Modelle von geometrischen Körpern herstellen,• geometrische Figuren zeichnen oder konstruieren.

Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + II 534.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und inder Ebene beschreiben und nutzen,• vorgegebene geometrische Muster erkennen, selbstentwickeln oder fortsetzen,• den Zusammenhang zwischen Plan und Wirklichkeitherstellen.4.3 Mit geometrischen Figuren operierenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusammensetzen,• Netze den entsprechenden Körpern zuordnen und umgekehrt.4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können• den Umfang einer geometrischen Figur mittels Einheitslängenmessen,• den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen,• den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächenmessen,• den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen.

54 Themenheft Mathematik „Kommunizieren“, Volksschule Grundstufe I + IIRechtliche GrundlagenSiehe dazu:BGBl. I Nr. 117/2008BGBl. II Nr. 1/2009

www.bifie.atLeykam Buchverlagverlag@leykam.comwww.leykamverlag.atISBN 978-3-7011-7741-7

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