Multivariate elliptische Verteilungen a) Die multivariate ...

d) Elliptische VerteilungenDefinition 5 Ein Zufallsvektor X ∈ IR d hat eine elliptische Verteilungwenn X d = µ+AY , wobei Y ∼ S k (ψ), µ ∈ IR d ist ein konstanter Vektorund A ∈ IR d×k ist eine konstante Matrix.Die charakteristische Funktion:φ X (t) = E(exp{it T X}) = E(exp{it T (µ+AY )}) = exp{it T µ}E(exp{i(A T t) T Y })wobei Σ = AA T .= exp{it T µ}ψ(t T Σt),Notation elliptische Verteilungen: X ∼ E d (µ,Σ, ψ)µ heißt Positionsparameter (location parameter),Σ heißt Dispersionsparameter (dispersion parameter),ψ heißt charakteristischer Generator der elliptischen Verteilung.Falls A ∈ IR d×d regulär, dann gilt folgende Relation zwischenelliptischen und sphärischen Verteilungen:X ∼ E d (µ,Σ, ψ) ⇔ A −1 (X − µ) ∼ S d (ψ), A ∈ IR d×d , AA T = Σ20

Theorem 4 ( Stochastische Darstellung der elliptischen Verteilung)Sei X ∈ IR d ein d-dimensinaler Zufallsvektor.X ∼ E d (µ,Σ, ψ) dann und nur dann wenn X d = µ+RAS, wobei S ∈ IR kist ein auf der Einheitskugel S k−1 gleichverteilter Zufallsvektor, R ≥ 0ist eine von S unahängige nicht negative Zufallsvariable, A ∈ IR d×kist eine konstante Matrix (Σ = AA T ) und µ ∈ IR d ist ein konstanterVektor.Simulation einer elliptischen Verteilung:(i) Simuliere s aus einer gleichmäßig verteilten Zufallsvektor in S d−1(zB. in dem y aus einer multivariaten Standard NormalverteilungY ∼ N d (0, I) simuliert und s = y/||y|| gesetzt wird).(ii) Simuliere r aus R.(iii) Setze x = µ + rAs.21

Beispiel 6 (Multivariate Normalverteilung)Sei X ∼ N(µ,Σ). Es existiert eine Matrix A ∈ IR d×k , sodass X d = µ+AZwobei Z ∈ N k (0, I) und AA T = Σ. Weiters gilt Z = RS wobei S eingleichmäßig verteilter Zufallsvektor in S k−1 ist und R 2 ∼ χ 2 k . Darausfolgt X d = µ+RAS und daher X ∼ E d (µ,Σ, ψ) mit ψ(x) = exp{−x/2}.Beispiel 7 (Multivariate normal variance mixture)Sei Z ∼ N d (0, I) ein normal-verteilter Zufallsvektor. Z ist sphärischverteiltmit stochastischer Darstellung Z d = V S wobei V 2 = ||Z|| 2 ∼ χ 2 d .Sei X = µ+WAZ eine Varianz-gemischte Normalverteilung. Dann giltX = d µ + V WAS wobei V 2 ∼ χ 2 dund V W eine nicht-negative von Zunabhängige ZV ist. D.h., X ist elliptisch verteilt mit R = V W.22

Theorem 5 (Eigenschaften der elliptischen Verteilung)Sei X ∼ E k (µ,Σ, ψ). X hat folgende Eigenschaften:Lineare Kombinationen:Für B ∈ IR k×d und b ∈ IR k gilt:Randverteilungen:(Setze X T = X (1)T , X (2)T) fürBX + b ∈ E k (Bµ + b, BΣB T , ψ).X (1)T = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) T und X (2)T = (X n+1 , X n+2 , . . . , X k ) T undanalog(( )µ T = µ (1)T , µ (2)T) Σ(1,1)Σsowie Σ =(1,2)Σ (2,1) Σ (2,2) . Es gilt dann))X 1 ∼ N n(µ (1) ,Σ (1,1) , ψ und X 2 ∼ N k−n(µ (2) ,Σ (2,2) , ψ .23

Bedingte Verteilungen:Wenn Σ regulär, dann ist auch die bedingte VerteilungX (2) ∣ ∣∣X (1) = x (1) elliptisch verteilt:X (2) ∣ ∣∣X (1) = x (1) ∼ N k−n(µ (2,1) ,Σ (22,1) , ˜ψ )wobeiµ (2,1) = µ (2) + Σ (2,1) (Σ (1,1) ) −1 (x (1) − µ (1) )undΣ (22,1) = Σ (2,2) − Σ (2,1) (Σ (1,1) ) −1Σ (1,2) .Typischerwise sind ˜ψ und ψ unterschiedlich(siehe Fang, Katz und Ng 1987).24

Quadratische Formen:Wenn Σ regulär, dann giltD 2 = (X − µ) T Σ −1 (X − µ) ∼ R 2 .wobei R die nicht-negative ZV aus der stochastischen Darstellung )Y = RS der spherischen Verteilung Y mit S ∼ U(S (d−1) undX = µ+AY ist. Die Zufallsvariable D heißt Mahalanobis Distanz.Faltung:Seien X ∼ E k (µ,Σ, ψ) und Y ∼ E k (˜µ,Σ, ˜ψ) zwei unabhängigeZufallsvektoren. Es gilt dann X + Y ∼ E k (µ + ˜µ,Σ, ¯ψ) wobei ¯ψ =ψ˜ψ.Achtung: Σ muss i.a. dieselbe für X und Y sein.Anmerkung: Aus X ∼ E k (µ, I k , ψ) folgt nicht, dass die Komponentenvon X unabhängig sind. Die Komponenten von X sind dann und nurdann unabhängig wenn X multivariat normalverteilt mit der Einheitsmatrixals Kovarianzmatrix ist.25